Teoria Inform e Segnali

TELECOMUNICAZIONI (TLC)
Tele (lontano)
Comunicare (inviare informazioni)
Comunicare a distanza
Generico sistema di telecomunicazione (TLC)
Segnale non
elettrico
Sorgente di
informazione
Segnale elettrico
TRASMESSO sx(t)
Condizionamento:
(filtraggio, Amplific.
modulazione)
Trasduttore
DISTURBI
Ricevitore
(RX)
Condizionamento:
Amplific. Filtraggio,
De-modulazione
Trasmettitore
(TX)
Canale
Attuatore
Segnale elettrico
RICEVUTO sY(t)
Destinatario
dell’informazione
Segnale non
elettrico
CENNI DI TEORIA (MATEMATICA) DELL’INFORMAZIONE
La Teoria (matematica) dell’informazione è stata sviluppata da Claude Shannon (e
altri) verso il 1940 ed è applicabile alle comunicazioni numeriche. Vediamo alcune
definizioni:
Informazione = è ciò che elimina incertezza
Messaggio = supporto dell’informazione. Ad es. questa pagina è un (lungo) messaggio in
cui vi sono informazioni su argomenti che dovrete studiare. Anche una fotografia o un
filmato o un brano audio sono messaggi, in quanto in essi si trova informazione!! E gli
esempi possono continuare.
1
Viene trasmessa tanta più informazione quanto più l'utilizzatore è "sorpreso" dal
messaggio che è stato trasmesso. Dunque, la trasmissione dell'informazione implica un
certo grado di incertezza da parte di chi riceve; chi trasmette invece non ha
incertezze, se no, che cosa trasmetterebbe?
L’informazione contenuta in un messaggio è dunque tanto maggiore quanto più piccola è
la probabilità dell’evento descritto in quel messaggio.
Ad es. se il messaggio è: “Il 22 Agosto ci sarà il sole” la quantità di informazione
contenuta è piccola perché è molto probabile che il 22 di Agosto splenda il sole!!!
Invece il messaggio: “Una bomba termonucleare ha prosciugato l’Oceano Pacifico”
contiene molta informazione perché la probabilità che questo capiti è estremamente
piccola… PER FORTUNA!!!
Dunque la quantità di Informazione si può misurare- L’unità di misura più usata è il
“bit” (ma vi è anche il “nat” e l’”hartley” che NON useremo però) .
BIT = Quantità di Informazione contenuta nel verificarsi di un
evento tra 2 possibili ed ugualmente probabili.
Attenzione: il bit di informazione è un’altra cosa rispetto al “bit” usato in elettronica
digitale, anche se c’è un legame tra i due. In particolare il “bit” di informazione è in
genere un numero reale (con la virgola cioè) mentre il “bit digitale” è un numero intero.
Ad es. il messaggio: “ho lanciato una moneta ed è uscito Testa” contiene 1 bit di
informazione (gli eventi sono 2: o esce Testa o Croce.. e suppongo la moneta NON
truccata! (Se invece è truccata, la quantità di informazione è più piccola o più
grande di 1 bit ??)
P= probabilità che si verifichi l’ evento di cui vogliamo misurare la quantità di
informazione. E’ un numero compreso SEMPRE tra 0 (evento impossibile) e 1 (evento
certo)
Una definizione di “probabilità” è la seguente: (-> Approfondire in Matematica)
P=
n°casi _ in _ cui _ si _ verifica _ l _ evento P = 0; evento impossibile
n°casi _ tot _ che _ possono _ avvenire P = 1; evento certo
Non è l’unica e nemmeno la migliore; nella pratica infatti NON sappiamo quanti sono i
“casi” finché non abbiamo fatto degli esperimenti e determinato la “frequenza
statistica” (vedi dopo) ma per quel poco che facciamo ci va più che bene.
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Definizione di Quantità di informazione I
I = log2
P = 0; evento impossibile I = ∞
P = 1; evento certo
I=0
1
= − log2 P
P
log2 X = logaritmo in base 2 di X. Poiché sulla calcolatrice NON c’è il tasto log2 ma c’è
quello di log10 (spesso indicato con Log) allora:
log2 X = 3,32 log10 X (circa)
Il perché chiederlo al prof. di matematica !!!
Esempi:
Calcolare la quantità di informazione del messaggio: “lancio una monete ed esce T”
T = testa
EVENTO = lancio di una moneta
C = croce
Esce T? P = 1/2 = 0.5 = 50%
I = lg2 (1/0,5) = lg2 2 = 3,32 log10 2 = 1 bit
Calcolare la quantità di informazione del messaggio: “lancio due monete ed esce TT”.
Conviene (quando si può) disegnare l’insieme di tutti i casi possibili, chiamato in
statistica Universo. Quindi contare i casi favorevoli (1, cioè TT) e quelli totali, che
sono 4
UNIVERSO
1° Moneta
I = log2(1/0,25) = lg2 4 = 3,32 log10 4 = 2 bit
2°
Moneta
TT
CT
TC
CC
Provare a calcolare I per “lancio 2 monete ed esce T C o C T”
Provare a calcolare I per “lancio n monete ed escono tutti T ” per n = 3, 4, 5
ESERCIZI da fare a casa
1) Lancio 1 dado, qual è I che esca il numero 4?
2) Lancio 2 dadi, I che la somma dei numeri sia ≥ 7 ( maggiore o uguale a 7)
3) Lancio 2 dadi, I che la somma dei numeri sia ≤ 6 (minore o uguale a 6)
4) Lancio una moneta truccata per cui la probabilità che esca T è doppia di quella che
esca C. Qual è I nel caso esca T? E che esca C?
3
Suggerimento: PT, PC = probabilità che esca T o C è l’evento certo, la cui probabilità =
1, quindi PT + PC = 1; PT = 2PC dunque 3PC = 1 e quindi PC = 1/3 e PT = 1 - PC = 2/3
5) Lancio 2 dadi, qual è l’I che esca un numero ≥ 8? ( maggiore o uguale a 8)
1° dado
UNIVERSO
2° dado
P=
1
2
3
4
5
6
n°casi _ Favorevoli
n°casi _ Possibili
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Continuare ora da soli….
Per il momento ci fermiamo qui visto che NON siamo ingegneri e NON progettiamo …
Torneremo alla Teoria quando vedremo la codifica ed entreremo più nei dettagli delle
Trasmissioni Digitali.
4
CENNI DI TEORIA SEI SEGNALI
Nelle telecomunicazioni l’Informazione, contenuta nel messaggio, deve poi essere
trasportata a distanza. Questo lo si fa tramite un segnale.
Segnale = grandezza fisica (tensione, corrente, onda elettromagnetica, ma anche
impulso luminoso o pressione acustica ecc.) nelle cui variazioni è “impressa”
l’informazione. Il messaggio deve quindi essere convertito in un segnale per
trasportare a distanza l’informazione. Possiamo dunque dire che un segnale trasporta
l’informazione
Attenzione: affinché una grandezza sia un segnale deve variare (perché l’informazione
prevede una variazione), ma una grandezza che varia NON è detto che sia un segnale !!
Ad Es. La tensione fornita dall’ENEL è sinusoidale e quindi varia MA NON E’ un
segnale (… potrebbe però esserlo in due casi.. Quali sono ?)
Il segnale che giunge all'utilizzatore è di fatto sconosciuto finché non viene
completamente ricevuto; se così non fosse, non ci sarebbe bisogno del sistema di
comunicazione, e non si avrebbe scambio di informazione!
Poiché ci interessiamo di comunicazioni elettriche il segnale:
Una tensione
Per noi è
Una corrente
Una Intensità di Campo (onda elettromagnetica /luce)
Segnali determinati e indeterminati (o probabilistici o stocastici)
Vediamo di seguito due grandezze fisiche che variano. Sulle ascisse (variabile
indipendente) mettiamo il tempo, sulle ordinate (variabile dipendente) mettiamo le
ampiezze (tensione, corrente, ecc.). Un tale grafico in elettronica si chiama forma
d’onda (spesso abbreviato con “onda” ma NON è un’onda!) o fdo e lo strumento che lo
visualizza e consente di misurare è l’Oscilloscopio.
Il primo ha un andamento casuale… E’ imprevedibile e dunque chi riceve NON può
conoscerlo prima di averlo ricevuto. Dunque può davvero trasportare informazione.
Tali segnali li chiamiamo Segnali indeterminati, o probabilistici, o stocastici.
Li possiamo conoscere solo a livello statistico (-> Approfondire in Matematica).
5
Due tra le molte grandezze statistiche sono il valore medio
standard
µ
e la
deviazione
σ (che in elettronica chiamiamo valore efficace)
15
10
Ampiezze
5
0
1
3
5
7
9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47
tempo
-5
-10
-15
μ = Valore Medio (AV) = 0,660
σ = Valore Efficace (RMS) =
6,888
Il secondo, qui sotto, ha invece un andamento molto regolare.. troppo regolare! Ed
infatti è generato dalla formula 10*sen(2*π*0,1 + 1). Ma se c’è una formula chi
riceve lo può “costruire” quando vuole, e dunque è inutile trasmetterlo, pertanto NON
è un segnale, anche se lo chiameremo segnale deterministico. Per questi NON serve la
statistica!
15
10
Ampiezze
5
tempo
0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47
-5
-10
-15
Valore Medio (AV) = 0,0
Valore Efficace (RMS) = 7,071
Periodo T = 10 Frequenza = 0,1
6
Vediamo che il grafico si ripete ogni 10 s. Il tempo di ripetizione si chiama Periodo T
[s]. Dunque è un segnale Periodico.
In TLC siamo però più interessati alla frequenza f:
frequenza = 1/periodo ; f = 1/ T misurata in [hertz] o [Hz]
In generale la frequenza ci dice quante “cose” (nel nostro caso i “periodi”) avvengono
in 1 secondo.
Un’altra grandezza utile quando si hanno segnali periodici sinusoidali (sen, cos) è la
pulsazione ω = 2 * π * f = 2 * π / T misurata in [radianti / secondi] = [rad/s]
Gli ingegneri delle Telecomunicazioni hanno le conoscenze matematiche per trattare i
segnali indeterministici, noi NO! Dunque nello studio useremo solo quelli deterministici
che sono “l’ombra” di quelli “veri”. Ma meglio un’ombra che niente!!!
Come sono stati ottenuti i due grafici qui sopra? Tramite il foglio di calcolo
“segnali.xls” che trovate nel sito.
1) Per il segnale deterministico ho usato la formula 10*sen(2*π*0,1*t + 1) che è
quella generale che esprime un “segnale” sinusoidale: A*sen(ω*t + φo). Per
confronto si ricava:
•
•
•
A = ampiezza o valore massimo o valore di picco = 10 [volt o ampere o…]
ω = 2*π*f = pulsazione. Da cui ricaviamo che ω =0,628 rad/s; f =0,1 Hz; T =10 s
φo = fase iniziale = 1 rad (nella formula gli angoli devono essere in radianti)
Per chi non lo sapesse in un angolo giro (360°) ci stanno 2π radianti, per cui 1 rad = 57°
(circa). Per passare da gradi a rad e viceversa si usano le formulette:
rad = (π/180) * gradi
e
gradi = (180/π) * radianti
(rifare a casa questi calcoli e verificare se tornano -> Poi Approfondire in
Matematica).
Le sinusoidi sono importantissime in elettronica e in TLC perché hanno delle proprietà
uniche e che “scopriremo” nel prosieguo del corso… dunque vanno comprese e studiate
bene!!!
2) Per il segnale indeterministico ho usato la formula - 20*CASUALE() +10 che
genera un numero casuale tra -10 e 10. In generale casuale() da un numero tra 0
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(non compreso) e 1 (compreso). Per far generare numeri casuali tra “min” e “max” si
deve usare la formula - (max – min) * casuale() + max.
Attenzione che benché si usi una formula, il segnale è indeterministico, in quanto ogni
volta la formula da un numero diverso e imprevedibile. Il valore medio µ = 0,660
dovrebbe essere = 0. Infatti se i numeri sono a caso tanti ce ne sono di positivi quanti
di negativi e la media dovrebbe essere = 0. (Perché NON lo è?).
Provare a effettuare molte ripetizioni (premere il tasto F9) e vedere come cambiano
il grafico, µ e σ
Un ultima osservazione: Nel calcolo del valore efficace per la sinusoide si usa la
formuletta (che vedremo meglio più avanti): valore efficace = A / √2 = 10/√2=
7,071. Ma è possibile, con buona approssimazione, usare anche la statistica, in questo
caso la deviazione standard σ = DEV.ST(C3:C50) = 7,265, con un errore del solo 2%
nell’esempio. Stessa cosa sul valore medio statistico µ = MEDIA(C3:C54) che ci da
-0,02 e che in teoria dev’essere = 0. Bene a sapersi, magari per qualche esercizio?,
ESERCIZI da fare a casa
1) Dato un angolo di 60°, 45°, 30° 10°, 1° calcolare l’equivalente in rad
2) Dato un angolo di π, (2/3)*π, (1/2)*π, (1/3)*π radianti, calcolare l’equivalente in
gradi
3) Realizzare un foglio di calcolo di una sinusoide di ampiezza A = 5, Periodo T=2 e
fase iniziale -2 rad. Si vogliono visualizzare N° 3 periodi con 10 valori a periodo.
Calcolare la frequenza f. Valutare il valor medio ed efficace
4) Realizzare un foglio di calcolo di una sinusoide di ampiezza A = 10, frequenza f=3 e
fase iniziale 30°. Si vogliono visualizzare N° 2 periodi con 20 valori a periodo.
Calcolare il periodo T. Valutare il valor medio ed efficace
5) Realizzare un foglio di calcolo di un segnale indeterministico (usare 60 valori).
Effettuare il grafico e provare la simulazione per un valore minimo del valor medio
statistico µ. Quanto vale in corrispondenza il valor efficace “statistico” σ ?
Segnali Analogici (Continui in matem) e Numerici (Discreti in matem)
NELLE AMPIEZZE
Un segnale è Analogico se può assumere infiniti valori tutti significativi. Le ampiezze
fanno cioè parte dei numeri reali R. Se anche uno solo di quei valori cambia, cambia
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pure l’informazione trasportata. In altre parole se la forma cambia, cambia anche
l’informazione.
Un Segnale è Numerico (o Digitale o Quantizzato) se i valori significativi che assume
in opportuni istanti è un numero finito (2; 3; 4; 5; ….). Le ampiezze fanno cioè parte
dei numeri naturali N. L’informazione si trova solo in quei valori, e quindi segnali
diversi, ma coincidenti in quei particolari valori, sono equivalenti per quanto riguarda
l’informazione trasportata. In altre parole la forma del segnale NON ha importanza,
purché assuma i valori “giusti” in certi particolari istanti di tempo (istanti di
osservazione o di lettura).
Per motivi tecnologici è bene che il passaggio da un livello all’altro avvenga “quasi”
istantaneamente, e quindi la fdo risulti “squadrata”, proprio come si trova nei libri,
anche se nella realtà le cose sono un po’ diverse.
Nell’Es. che segue (foglio: Segnali.xls) i valori significativi sono 0; 2; 4; 6 (4 livelli) e i
tempi di osservazione sono 2; 5; 8; 11; 14 ecc. In tali istanti il valore dei due segnali
sono gli stessi e quindi,pur avendo fdo diverse, questi sono equivalenti.
Segnali Numerici Equivalenti
7
6
5
Ampiezze
4
3
2
1
0
2
1
4
3
6
5
8
7
9
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37
tempo
Riconoscere molti livelli rende difficile il loro riconoscimento da parte del RX, quindi
molto spesso i livelli sono solo due: H (ampiezza maggiore) ed L (ampiezza minore). Se
il numero di valori è 2 il segnale è detto Digitale.
Vediamo un esempio di un segnale digitale ideale e reale Poiché il RX legge i valori al
centro di ciascun bit, questi sono equivalenti.
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Segnale Binario Ideale
H
L
Segnale Binario Ideale
Segnale Binario Reale
Istanti di lettura
Segnali Analogici Discreti nei TEMPI (Campionati)
Prendete un segnale Analogico e supponete di essere al buio. Ogni tanto si accende un
flash, come nelle discoteche quando viene attivata la luce stroboscopica. Cosa vedete?
Vedete dei “pezzi” (si dice… dei “campioni”) del segnale. Abbiamo reso il tempo
discreto, ossia il tempo varia ora a “scatti”… Vediamo un esempio:
In color rosso il segnale analogico, in nero il segnale campionato (discreto nei tempi).
L’operazione di campionamento è l’importantissima prima operazione da fare quando si
vuole convertire un segnale analogico in uno digitale e la vedremo in seguito. Da notare
che il segnale campionato è ancora Analogico.
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Segnali Analogici Discreti nei TEMPI e nelle Ampiezze (Campionati e Quantizzati)
Dopo il campionamento segue la quantizzazione, che rende il segnale numerico.. E’ alla
base della moderna Telefonia e di tutte le applicazioni delle comunicazioni moderne..
Compresa la TV digitale, CD musicali, gli MP3 ecc… Avremo modo di sviluppare
l’argomento in seguito.
Vantaggi del Segnale (e quindi dei sistemi) Digitali
possibilità di usare circuiteria digitale a basso costo;
possibilità di cifratura dei messaggi per preservare privatezza o segretezza;
possibilità di trasmettere segnali con grande dinamica (rapporto tra il valore
massimo e minimo del segnale stesso)
unificazione del formato di dati, voce e video che vengono trasmessi attraverso
un unico sistema di trasmissione comune;
assenza dell'effetto di accumulo del rumore in comunicazioni su lunghe distanze
con ripetitori intermedi;
immunità ai disturbi nella rilevazione dei dati trasmessi;
possibilità di diminuire gli errori di trasmissione dovuti ai disturbi con l'uso di
opportune codifiche.
D'altro canto, le comunicazioni digitali hanno anche i seguenti svantaggi:
in generale, maggiore richiesta di banda;
necessità della sincronizzazione dei segnali.
Naturalmente, i vantaggi sono così importanti da più che controbilanciare gli
svantaggi, e ciò giustifica la massiccia adozione delle tecniche digitali nella
trasmissione dell'informazione cui si è assistito negli ultimi anni.
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