Porte, giochi e compleanni: la Probabilitá é un paradosso?

Porte, giochi e compleanni:
la Probabilitá é un paradosso?
Maria Teresa Giraudo
Universitá di Torino
Liceo Gioberti
26/02/2013
(Paradossi della Probabilitá)
Liceo Gioberti 26/02/2013
1 / 38
Cosa diremo?
1
Qualche citazione
2
Un’introduzione per figure
3
Cos’é la probabilitá?
4
Calcolo delle probabilitá
5
Alcuni paradossi nella probabilitá
(Paradossi della Probabilitá)
Liceo Gioberti 26/02/2013
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Qualche citazione
Qualche citazione
La teoria delle probabilitá é in fondo soltanto senso comune ridotto a calcolo.
Pierre Simon Laplace, Teoria analitica delle probabilitá, 1812
La probabilitá che qualcosa accada é inversamente proporzionale alla sua
desiderabilitá.
Arthur Bloch, La legge di Murphy, 1977
(Paradossi della Probabilitá)
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Qualche citazione
Qualche citazione
La teoria delle probabilitá é in fondo soltanto senso comune ridotto a calcolo.
Pierre Simon Laplace, Teoria analitica delle probabilitá, 1812
La probabilitá che qualcosa accada é inversamente proporzionale alla sua
desiderabilitá.
Arthur Bloch, La legge di Murphy, 1977
Le probabilitá di incontrare qualcuno che conosci aumentano quando sei con
qualcuno con cui non vuoi essere visto.
Arthur Bloch, La legge di Murphy II, 1980
(Paradossi della Probabilitá)
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Qualche citazione
Qualche citazione
La teoria delle probabilitá é in fondo soltanto senso comune ridotto a calcolo.
Pierre Simon Laplace, Teoria analitica delle probabilitá, 1812
La probabilitá che qualcosa accada é inversamente proporzionale alla sua
desiderabilitá.
Arthur Bloch, La legge di Murphy, 1977
Le probabilitá di incontrare qualcuno che conosci aumentano quando sei con
qualcuno con cui non vuoi essere visto.
Arthur Bloch, La legge di Murphy II, 1980
Per quanto ne sappiamo, é chiaro ormai che la probabilitá di trovare vita
intelligente su qualche altro pianeta é talmente scarsa da essere di poco
superiore soltanto a quella di poter trovare vita intelligente qui sulla Terra.
Giovanni Soriano, Finché c’é vita non c’é speranza, 2010
(Paradossi della Probabilitá)
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Qualche citazione
Qualche citazione
La teoria delle probabilitá é in fondo soltanto senso comune ridotto a calcolo.
Pierre Simon Laplace, Teoria analitica delle probabilitá, 1812
La probabilitá che qualcosa accada é inversamente proporzionale alla sua
desiderabilitá.
Arthur Bloch, La legge di Murphy, 1977
Le probabilitá di incontrare qualcuno che conosci aumentano quando sei con
qualcuno con cui non vuoi essere visto.
Arthur Bloch, La legge di Murphy II, 1980
Per quanto ne sappiamo, é chiaro ormai che la probabilitá di trovare vita
intelligente su qualche altro pianeta é talmente scarsa da essere di poco
superiore soltanto a quella di poter trovare vita intelligente qui sulla Terra.
Giovanni Soriano, Finché c’é vita non c’é speranza, 2010
(Paradossi della Probabilitá)
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Un’introduzione per figure
Un’introduzione per figure
La probabilitá puó far ridere...
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Un’introduzione per figure
...entrare nell’uso comune anche divertente...
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Un’introduzione per figure
... ma la probabilitá é (anche) molto utile!
Nelle previsioni del tempo
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Un’introduzione per figure
Nello studio sismico
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Un’introduzione per figure
Nello studio delle malattie
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Un’introduzione per figure
Nelle decisioni che ci riguardano...
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Un’introduzione per figure
...anche molto da vicino!
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Cos’é la probabilitá?
Cos’é la probabilitá?
DEFINIZIONE CLASSICA La probabilitá di un evento casuale é il rapporto
tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili, supposti tutti gli
eventi elementari equiprobabili.
DEFINIZIONE FREQUENTISTA (legge empirica del caso) Al crescere delle
prove la frequenza dell’esito si avvicina alla sua probabilitá. La prima
definizione implicita di probabilitá nella storia é quella frequentista.
(Paradossi della Probabilitá)
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Cos’é la probabilitá?
Cos’é la probabilitá?
DEFINIZIONE CLASSICA La probabilitá di un evento casuale é il rapporto
tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili, supposti tutti gli
eventi elementari equiprobabili.
DEFINIZIONE FREQUENTISTA (legge empirica del caso) Al crescere delle
prove la frequenza dell’esito si avvicina alla sua probabilitá. La prima
definizione implicita di probabilitá nella storia é quella frequentista.
DEFINIZIONE SOGGETTIVISTA La probabilitá di un evento A rappresenta
il grado di fiducia che un individuo coerente attribuisce, secondo le sue
informazioni, all’avverarsi di A.
Se vogliamo essere piú operativi possiamo dire che la probabilitá di un evento
per un individuo é il prezzo che egli stima equo attribuire a un importo
unitario esigibile, se A si verifica.
(Paradossi della Probabilitá)
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Cos’é la probabilitá?
Cos’é la probabilitá?
DEFINIZIONE CLASSICA La probabilitá di un evento casuale é il rapporto
tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili, supposti tutti gli
eventi elementari equiprobabili.
DEFINIZIONE FREQUENTISTA (legge empirica del caso) Al crescere delle
prove la frequenza dell’esito si avvicina alla sua probabilitá. La prima
definizione implicita di probabilitá nella storia é quella frequentista.
DEFINIZIONE SOGGETTIVISTA La probabilitá di un evento A rappresenta
il grado di fiducia che un individuo coerente attribuisce, secondo le sue
informazioni, all’avverarsi di A.
Se vogliamo essere piú operativi possiamo dire che la probabilitá di un evento
per un individuo é il prezzo che egli stima equo attribuire a un importo
unitario esigibile, se A si verifica.
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Cos’é la probabilitá?
Serve qualche definizione!
Un evento é un insieme di risultati o esiti di un esperimento al quale viene
assegnata una probabilitá. Lo spazio campionario é l’insieme di tutti i possibili
esiti.
Un evento elementare ω é uno solo dei possibili esiti di un esperimento.
Un esempio: Se riuniamo un mazzo di 52 carte da gioco e due jolly ed estraiamo
una singola carta dal mazzo, allora lo spazio campionario é un insieme di 54
elementi, poiché ogni carta individualmente é un possibile risultato. Eventi
potenziali includono:
Rosso e nero insieme ma non jolly (0 elementi)
Il 5 di cuori (un elemento)
Un Re (4 elementi)
Una carta di picche (13 elementi)
Una carta (54 elementi).
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Cos’é la probabilitá?
Riusciamo a calcolare la probabilitá di qualcuno degli eventi che abbiamo
elencato?
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Calcolo delle probabilitá
Calcolo delle probabilitá
La probabilitá di un evento P(E) é sempre un numero compreso fra 0 e 1:
0 ≤ P(E ) ≤ 1
Un evento che ha probabilitá 0 é detto evento impossibile.
Un evento che ha probabilitá 1 é detto evento certo.
Esempio 1. Estraendo una carta da un mazzo di 40, qual é la probabilitá che sia
un 10 di cuori?
I casi possibili sono 40 e i casi favorevoli sono 0, perché nei mazzi da 40 carte non
ci sono i numeri 8, 9, 10. Quindi:
P(10 di cuori) = 0/40 = 0
(Paradossi della Probabilitá)
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Calcolo delle probabilitá
Esempio 2. Estraendo una carta da un mazzo di 54, qual é la probabilitá che sia
una carta di cuori?
I casi possibili sono 54 e i casi favorevoli sono 13, quindi:
P(carta di cuori) = 13/54.
Questa é l’applicazione della definizione classica.
Esempio 3. Lanciando un dado, qual é la probabilitá che venga un numero pari?
I casi possibili sono 6 e i casi
favorevoli sono 3, quindi:
P(numero pari) = 3/6.
Questa é un’altra applicazione
della definizione classica.
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Calcolo delle probabilitá
Esempio 2. Estraendo una carta da un mazzo di 54, qual é la probabilitá che sia
una carta di cuori?
I casi possibili sono 54 e i casi favorevoli sono 13, quindi:
P(carta di cuori) = 13/54.
Questa é l’applicazione della definizione classica.
Esempio 3. Lanciando un dado, qual é la probabilitá che venga un numero pari?
I casi possibili sono 6 e i casi
favorevoli sono 3, quindi:
P(numero pari) = 3/6.
Questa é un’altra applicazione
della definizione classica.
(Paradossi della Probabilitá)
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Calcolo delle probabilitá
E la rappresentazione frequentista?
Ricordiamo che la frequenza relativa di un evento é il rapporto fra il numero di
volte che si é verificato tale evento e il numero totale delle prove fatte.
Si puó esprimere come frazione, come numero decimale o come percentuale.
Esempio 4. In un’urna ci sono palline bianche e palline nere, ma non si sa quante
sono. Estraendo una pallina, qual é la probabilitá che sia nera?
Supponiamo di aver fatto 85
prove e di aver estratto una
pallina nera per 16 volte. Si
calcola quindi la frequenza
relativa delle prove favorevoli,
ottenendo cosı́ un valore
approssimato della probabilitá.
frequenza relativa = 16/85
dunque:
P(pallina nera) = 18,8% circa.
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Calcolo delle probabilitá
Eventi dipendenti o no
Due eventi casuali A e B sono indipendenti se la probabilitá del verificarsi
dell’evento A non dipende dal fatto che l’evento B si sia verificato o no, e
viceversa.
Esempio Abbiamo due mazzi di carte da 40. Estraendo una carta da ciascun
mazzo, i due eventi:
E1 = La carta estratta dal primo mazzo é un asso
E2 = La carta estratta dal secondo mazzo é una carta di fiori
sono indipendenti.
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Calcolo delle probabilitá
Eventi dipendenti o no
Due eventi casuali A e B sono indipendenti se la probabilitá del verificarsi
dell’evento A non dipende dal fatto che l’evento B si sia verificato o no, e
viceversa.
Esempio Abbiamo due mazzi di carte da 40. Estraendo una carta da ciascun
mazzo, i due eventi:
E1 = La carta estratta dal primo mazzo é un asso
E2 = La carta estratta dal secondo mazzo é una carta di fiori
sono indipendenti.
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Calcolo delle probabilitá
Eventi dipendenti
Un evento casuale A é dipendente da un altro evento B se la probabilitá
dell’evento A dipende dal fatto che l’evento B si sia verificato o meno.
Esempio Abbiamo un mazzo di carte da 40. Estraendo due carte in successione,
senza rimettere la prima carta estratta nel mazzo, i due eventi:
E1 = La prima carta estratta é un asso
E2 = La seconda carta estratta é un asso
sono dipendenti.
Perché??
Importante: La probabilitá che due eventi indipendenti si verifichino uno dopo
l’altro é il prodotto delle due probabilitá :
P(E1 e E2) = 4/40 x 3/39.
(Paradossi della Probabilitá)
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Calcolo delle probabilitá
Eventi dipendenti
Un evento casuale A é dipendente da un altro evento B se la probabilitá
dell’evento A dipende dal fatto che l’evento B si sia verificato o meno.
Esempio Abbiamo un mazzo di carte da 40. Estraendo due carte in successione,
senza rimettere la prima carta estratta nel mazzo, i due eventi:
E1 = La prima carta estratta é un asso
E2 = La seconda carta estratta é un asso
sono dipendenti.
Perché??
Importante: La probabilitá che due eventi indipendenti si verifichino uno dopo
l’altro é il prodotto delle due probabilitá :
P(E1 e E2) = 4/40 x 3/39.
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Calcolo delle probabilitá
Eventi incompatibili, quasi nemici?
Si dicono incompatibili quegli eventi casuali che non possono verificarsi
simultaneamente in una data prova.
Gli eventi si rappresentano (anche) come insiemi:
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Calcolo delle probabilitá
Eventi incompatibili, quasi nemici?
Ci si puó sbizzarrire:
Quali relazioni tra gli eventi rappresentano i diversi insiemi??
(Paradossi della Probabilitá)
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Calcolo delle probabilitá
Un’ultima cosa importante: la probabilitá condizionata
La probabilitá che accada l’evento A, calcolata a condizione che l’evento B si sia
verificato, si dice probabilitá condizionata o probabilitá di A sotto la condizione B
e si denota con P(A |B ):
P(A e B)
P(A|B) =
P(B)
Esempio. Qual é la probabilitá
che estraendo 2 carte da un
mazzo di 40, la seconda sia di
denari, nota l’informazione che la
prima é stata anche di denari?
P(denari|denari ) =
(10/40X9/39)/(10/40) = 9/39
(Paradossi della Probabilitá)
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Alcuni paradossi nella probabilitá
Alcuni paradossi nella probabilitá
Non é raro che pubblicazioni di carattere dilettevole legate alla matematica
propongano giochi, quesiti e problemi in cui interviene la nozione di probabilitá.
Probabilmente la ragione di tale fatto sia da ricercarsi negli aspetti paradossali che
molti di questi problemi presentano.
L’aggettivo paradossale viene qui utilizzato in senso lato, per caratterizzare un
risultato o un’argomentazione inattesi, in quanto contrari all’intuizione o al
comune modo di ragionare.
Paradosso: Proposizione che appare inaccettabile perché in contrasto con
un’opinione comune.
L’etimologia del termine paradosso deriva proprio dal Greco παρα (contro) e
δoξα (opinione) .
(Paradossi della Probabilitá)
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Alcuni paradossi nella probabilitá
Alcuni esempi di paradossi
Vedremo alcuni esempi di problemi legati alla nozione di probabilitá la cui
risoluzione viene in genere ritenuta paradossale.
Probabilmente gli aspetti contrari all’intuizione e al senso comune sono dovuti
all’applicazione, piú o meno consapevole, di particolari schemi concettuali
inadeguati ad un corretto approccio ai problemi proposti...
... e questo vale sia per gli studenti che per gli insegnanti!
Paradosso dei compleanni
Paradosso del secondo figlio
Paradosso di Parrondo
Paradosso di Monty Hall
(Paradossi della Probabilitá)
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Alcuni paradossi nella probabilitá
Alcuni esempi di paradossi
Vedremo alcuni esempi di problemi legati alla nozione di probabilitá la cui
risoluzione viene in genere ritenuta paradossale.
Probabilmente gli aspetti contrari all’intuizione e al senso comune sono dovuti
all’applicazione, piú o meno consapevole, di particolari schemi concettuali
inadeguati ad un corretto approccio ai problemi proposti...
... e questo vale sia per gli studenti che per gli insegnanti!
Paradosso dei compleanni
Paradosso del secondo figlio
Paradosso di Parrondo
Paradosso di Monty Hall
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Alcuni paradossi nella probabilitá
Il paradosso dei compleanni: il problema
In una classe vi sono n studenti. Sapendo che nessuno é nato il 29/02, si chiede
qual é la probabilitá che almeno due studenti siano nati nello stesso giorno
dell’anno.
Notiamo innanzitutto che:
1
se gli studenti fossero 366 la
probabilitá sarebbe 1;
2
se vi fosse un solo studente
la probabilitá sarebbe 0.
Chiediamoci quale sia, fra i
seguenti numeri: 60 ; 134 ; 15 ;
82 ; 10 quello che approssima il
minimo numero k di studenti per
cui la probabilitá sia maggiore di
0.5.
Voi cosa ne dite??
(Paradossi della Probabilitá)
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Alcuni paradossi nella probabilitá
Il paradosso dei compleanni: la soluzione
Giá con una classe di 23 studenti la probabilitá di trovarne almeno due nati nello
stesso giorno dell’anno é maggiore di 0.5!
Calcoliamo la probabilitá dell’evento contrario, che tutti gli n studenti della classe
siano nati in giorni diversi.
Il primo puó essere nato in uno qualunque di 365 giorni, il secondo in uno
qualunque dei 364 rimanenti, il terzo in uno qualunque dei 363 giorni rimanenti,...,
l’ n-esimo in uno qualunque dei 365 − (n − 1) giorni diversi da quelli in cui sono
nati i primi n − 1.
Detto E l’evento ”nessuno degli n studenti é nato nello stesso giorno dell’ anno”,
la probabilitá di E é:
p(E ) =
365 · 364 · 363... · (365 − n + 1)
365 · 365... · 365
con 0 < n < 366 per la regola della probabilitá (composta) per eventi
indipendenti.
(Paradossi della Probabilitá)
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Alcuni paradossi nella probabilitá
Quindi...
Quindi la probabilitá che almeno due degli n studenti siano nati nello stesso giorno
dell’anno á data da 1 − P(E ).
Se n = 23, trovare almeno due studenti che hanno lo stesso compleanno é piú
probabile di ottenere, nel lancio di una moneta non truccata, una delle due facce.
Se n = 80, si ha quasi la certezza di trovare almeno due persone che abbiano lo
stesso compleanno!
Vogliamo provare cosa succede, ovvero quante coincidenze ci possono essere,
all’aumentare di n?
Esistono simulatori in rete di questo problema, come
http://www-stat.stanford.edu/ susan/surprise/Birthday.html
jeff.aaron.ca/cgi-bin/birthday
Proviamoli!
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Alcuni paradossi nella probabilitá
Il paradosso del secondo figlio: il problema
Il quesito in questione é, in una
delle prime formulazioni (proposta
da Martin Gardner sulle pagine
del Scientific American):
Il signor Smith ha due bambini.
Almeno uno dei due é un
maschio. Qual é la probabilitá
che entrambi i bambini siano
maschi?
La risposta intuitiva é che se,
poniamo, é maschio il primo
bambino, la probabilitá che anche
l’altro lo sia é 1/2 = 50%.
Secondo voi la risposta é
corretta??
(Paradossi della Probabilitá)
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Alcuni paradossi nella probabilitá
Il paradosso del secondo figlio: la soluzione
In realtá, come riconosciuto da Gardner stesso, la domanda é posta in modo
ambiguo (é facile pensare che con ”almeno uno” si intenda ”sicuramente uno che
ho chiaramente individuato - ed eventualmente anche l’altro”), e una possibile
riformulazione - intuitivamente equivalente - che non dia adito ad ambiguitá é la
seguente:
Il signor Smith ha due bambini. Non sono due femmine. Qual é la probabilitá che
entrambi i bambini siano maschi?
Non é difficile, utilizzando semplici strumenti di probabilitá classica, scoprire che
la risposta é allora 1/3 = 33.3%.
Infatti, i possibili modi in cui si combinano i due figli sapendo che uno é maschio
sono 3 (MM, MF, FM), di cui 1 solo corrisponde alla richiesta (MM).
(Paradossi della Probabilitá)
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Alcuni paradossi nella probabilitá
Il paradosso di Parrondo: il problema
Una combinazione di strategie
perdenti puó essere vincente.
Il paradosso prende il nome dal
suo scopritore, Juan Parrondo,
che ne trattó nel 1996.
Un esempio semplificato.
Consideriamo due giochi, A e B,
con le regole seguenti:
Nel gioco A si perde sempre,
3 euro ad ogni giocata.
Nel gioco B si conta la
somma che si ha ancora; se é
un multiplo di 5 si vincono 8
euro, altrimenti si perdono 6
euro.
(Paradossi della Probabilitá)
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Alcuni paradossi nella probabilitá
Il paradosso di Parrondo: il problema
Una combinazione di strategie
perdenti puó essere vincente.
Il paradosso prende il nome dal
suo scopritore, Juan Parrondo,
che ne trattó nel 1996.
Un esempio semplificato.
Consideriamo due giochi, A e B,
con le regole seguenti:
Il gioco A é evidentemente
perdente, ma anche il gioco B,
perché si perdono 18 euro ogni 8
guadagnati, quindi in media
(18 − 8)/4 = 2.5 euro a giocata.
Nel gioco A si perde sempre,
3 euro ad ogni giocata.
Nel gioco B si conta la
somma che si ha ancora; se é
un multiplo di 5 si vincono 8
euro, altrimenti si perdono 6
euro.
(Paradossi della Probabilitá)
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Alcuni paradossi nella probabilitá
Il paradosso di Parrondo: il problema
Una combinazione di strategie
perdenti puó essere vincente.
Il paradosso prende il nome dal
suo scopritore, Juan Parrondo,
che ne trattó nel 1996.
Un esempio semplificato.
Consideriamo due giochi, A e B,
con le regole seguenti:
Il gioco A é evidentemente
perdente, ma anche il gioco B,
perché si perdono 18 euro ogni 8
guadagnati, quindi in media
(18 − 8)/4 = 2.5 euro a giocata.
Nel gioco A si perde sempre,
3 euro ad ogni giocata.
Nel gioco B si conta la
somma che si ha ancora; se é
un multiplo di 5 si vincono 8
euro, altrimenti si perdono 6
euro.
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Alcuni paradossi nella probabilitá
Il paradosso di Parrondo: la soluzione
Peró: Se si giocano i due giochi nella successione ABABAB, allora alla lunga si
vince. Infatti:
la prima volta che si gioca B avendo ancora un multiplo di 5 euro, si guadagnano
8 euro, quindi si gioca A e si perdono 3 euro, si gioca B e si guadagnano altri 5
euro; da qui in poi si continuano a vincere 5 euro ad ogni coppia di giochi A, B.
Quindi, anche se il gioco B porta ad una perdita se giocato da solo, dal momento
che i suoi esiti sono influenzati dall’esito del gioco A l’ordine con cui i due giochi
sono alternati influenza l’esito del gioco B e quindi produce esiti diversi dal caso in
cui i due giochi siano giocati separatamente.
... Ma questo é matematico, vero??
(Paradossi della Probabilitá)
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Alcuni paradossi nella probabilitá
Il paradosso di Monty Hall
Questo quesito é noto come il dilemma di Monty Hall perché fu proposto agli
ospiti di un celebre gioco a premi televisivo americano, Let’s make a deal, il cui
conduttore era appunto Monty Hall (pseudonimo di Maurice Halprin), e suscitó
una accesa controversia sulla rivista Parade nel 1990, a seguito di una lettera
sull’argomento inviata alla rublica di Marilyn von Savant.
In realtá si tratta di una variante del Paradosso delle tre carte di Warren Weaver
(1950) il quale, a sua volta, deriva dal Paradosso delle tra scatole proposto per la
prima volta dal matematico francese Joseph Bertrand nel 1889.
Paul Hoffman, nel suo libro ”The man who loved only numbers”, afferma nel
capitolo 6 che questo problema creó qualche incomprensione anche al grande
matematico Paul Erdos.
(Paradossi della Probabilitá)
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Alcuni paradossi nella probabilitá
Il paradosso di Monty Hall: il problema delle 3 carte
Giochiamo con tre carte. Una é bianca su entrambi i lati, una é rossa su entrambi
i lati e una é bianca da un lato e rossa dall’altro.
Ogni carta é nascosta in una scatoletta nera.
Il giocatore sceglie una delle tre scatolette, estrae la carta e la posa sul tavolo in
modo che sia visibile un solo lato. Supponiamo che il lato che si vede sia bianco.
Il conduttore propone al giocatore di scommettere alla pari che é bianco anche
l’altro lato della carta (se é bianco vince il conduttore, se é rosso vince il
giocatore)
Conviene al giocatore accettare la scommessa? Perché?
(Paradossi della Probabilitá)
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Alcuni paradossi nella probabilitá
Il paradosso di Monty Hall: il problema delle 3 scatole
Ci sono tre scatole identiche.
Una contiene due monete d’oro, l’altra due monete d’argento e la terza una
moneta d’oro e una d’argento.
Il giocatore sceglie una scatola.
Supponiamo che il giocatore prenda una moneta a caso dalla scatola scelta e che
questa moneta sia d’oro. Dopo aver avuto questa informazione, qual é la
probabilitá che quella sia la scatola con due monete diverse?
Siccome le possibilitá per la seconda moneta sono solo 2 (oro o argento), la
probabilitá sembra essere passata da 1/3 a 1/2.
Non é vero. Dov’é l’errore nel ragionamento?
(Paradossi della Probabilitá)
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Alcuni paradossi nella probabilitá
Il paradosso di Monty Hall: il problema delle capre
Supponi di partecipare a un gioco a premi, in cui puoi scegliere tra tre porte.
Dietro una di esse c’é un’automobile, dietro a ciascuna delle altre c’é una capra.
Scegli una porta, diciamo la
numero 1, e il conduttore del
gioco a premi, che sa cosa si
nasconde dietro ciascuna porta,
ne apre un’altra, diciamo la 3,
rivelando una capra. Quindi ti
domanda: ”Vorresti scegliere la
numero 2?”
Ti conviene cambiare la tua scelta
originale?
(Paradossi della Probabilitá)
Liceo Gioberti 26/02/2013
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Alcuni paradossi nella probabilitá
Il paradosso di Monty Hall: la soluzione
La soluzione puó essere illustrata come segue.
Ci sono tre scenari possibili, ciascuno avente probabilitá 1/3:
Il giocatore sceglie la capra numero 1. Il conduttore sceglie l’altra capra, la
numero 2. Cambiando, il giocatore vince l’auto.
Il giocatore sceglie la capra numero 2. Il conduttore sceglie l’altra capra, la
numero 1. Cambiando, il giocatore vince l’auto.
Il giocatore sceglie l’auto. Il conduttore sceglie una capra, non importa quale.
Cambiando, il giocatore trova l’altra capra.
Nei primi due scenari, cambiando il giocatore vince l’auto; nel terzo scenario il
giocatore che cambia non vince.
Dal momento che la strategia cambiare porta alla vittoria in due casi su tre, le
chance di vittoria adottando la strategia sono 2/3... e non 1/3 come non
cambiando!
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Alcuni paradossi nella probabilitá
Il paradosso di Monty Hall: la soluzione
La soluzione puó essere illustrata come segue.
Ci sono tre scenari possibili, ciascuno avente probabilitá 1/3:
Il giocatore sceglie la capra numero 1. Il conduttore sceglie l’altra capra, la
numero 2. Cambiando, il giocatore vince l’auto.
Il giocatore sceglie la capra numero 2. Il conduttore sceglie l’altra capra, la
numero 1. Cambiando, il giocatore vince l’auto.
Il giocatore sceglie l’auto. Il conduttore sceglie una capra, non importa quale.
Cambiando, il giocatore trova l’altra capra.
Nei primi due scenari, cambiando il giocatore vince l’auto; nel terzo scenario il
giocatore che cambia non vince.
Dal momento che la strategia cambiare porta alla vittoria in due casi su tre, le
chance di vittoria adottando la strategia sono 2/3... e non 1/3 come non
cambiando!
(Paradossi della Probabilitá)
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Alcuni paradossi nella probabilitá
Il paradosso di Monty Hall: un film e una simulazione per
uno
Il problema di Monty Hall entra nel cinema (e come vedremo nella letteratura),
per esempio qui:
http://www.youtube.com/watch?v=PJWmi7Ovaag
Possiamo divertirci a ripetere il gioco proposto da Monty Hall un grande numero
di volte usando una simulazione on-line:
http://utenti.quipo.it/base5/probabil/montyhall.htm
Per convincerci della validitá della soluzione del paradosso utilizzando il risultato
della simulazione, quale definizione di probabilitá utilizziamo??
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Alcuni paradossi nella probabilitá
Il paradosso di Monty Hall: un libro da leggere
Nel libro ”Lo strano caso del cane ucciso a mezzanotte” di Mark Haddon l’io
narrante é un ragazzo di 15 anni, di nome Christofer, affetto dalla sindrome di
Asperger (una forma di autismo), che ama particolarmente la matematica e che
riuscirá a superare un esame, proprio di matematica, particolarmente difficile per
la sua etá.
Christopher risolve il problema di Monty Hall sia attraverso il procedimento
matematico, sia attraverso un semplicissimo diagramma a blocchi:
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Alcuni paradossi nella probabilitá
... E GRAZIE MOLTE A VOI PER LA VOSTRA ATTENZIONE!
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