SCELTA DEL CONSUMATORE

SCELTA DEL CONSUMATORE
Preferenze
Vincolo di Bilancio
Cosa vorrebbe
l’individuo
Cosa può fare
l’individuo
La decisione
Cosa l’individuo
effettivamente fa
NB: Assioma di Razionalità Individuale
1
PREFERENZE
Ipotesi: solo due beni, x1 e x2
x2
x2A
A
x2B
B
x1A
x1B
Panieri di consumo: A : (x1A; x2A)
x1
B : (x1B; x2B)
Tre possibilità: (i) A f B; (ii) B f A; (iii) A ∼B
2
Assiomi e Ipotesi
1) Completezza (assioma)
Dati A e B: A%B, B%A o A∼B
2) Transitività (assioma)
Dati A, B e C: se A%B e B%C, allora A%C
3) Non-Sazietà (ipotesi)
Un paniere contenente una quantità maggiore di uno dei
due beni verrà sempre preferito a un paniere che ne
contiene una quantità minore ceteris paribus.
3
1
x2
Panieri meno
appetibili A
?
Panieri
preferibili ad A
A
?
x1
x2
A
Indifference
Curve
CURVA D’INDIFFERENZA:
La curva di indifferenza passante
per A rappresenta l’insieme di
tutte le combinazioni considerate
equivalenti ad A
x1
4
Prendamo
piano ad
livello di
In una un
funzione
diun
utilità
utilità dato
u
U(x1,x2)
curva di
indifferenza
x2
0
5
x1
Ripetiamo
l’operazione
per
Sulla
stessa funzione
di utilità
un altro livello di utilità dato
u
U*(x1,x2)
Un’altra
curva di
indifferenza
x2
0
6
x1
2
Ipotizziamo che le curve di indifferenza
O abbiano maggiore l’utilità tanto
maggiore è la distanza dall’origine
O siano strettamente convesse
O e con derivate prime continue
7
Non è possibile avere curve
strettamente convesse, ma
x
singolari
2
to
en
em nze
r
c
In fere
e
pr
x1
8
Non è possibile avere curve
non convesse in senso stretto
x2
to
en e
em
cr renz
n
I
e
ef
pr
x1
9
3
Non è possibiole avere curve non
convesse
x2
o
nt
me
re enze
c
In fer
e
pr
x1
10
Pendenza della curva d’indifferenza
x2
Pendenza =
A
Δx2
Δx2
Δx1
B
Δx1
x1
11
Saggio marginale di sostituzione
Pendenza della curva di indifferenza:
Δ x
Δ x
2
1
NB: la pendenza è sempre negativa se vale la non sazietà!
Saggio marginale di sostituzione (MRS):
MRS 21 = −
Δx 2
Δx1
MRS21 : indica il rapporto al quale il consumatore è
disposto a scambiare un bene con l’altro (x2 con x1)
mantenendo lo stesso livello di soddisfazione.
12
4
x2
A
Δx2 ↓
B
Δx1 ↑
x1
NB: per ipotesi, l’MRS è decrescente man mano che ci si
sposta verso li basso in una curva di indifferenza
In termini matematici, una curva con pendenza decrescente si
dice convessa rispetto all’origine.
13
MRS decrescente
Se stessimo consumando 100 mele (M) e 1 arancia (A),
potremmo voler scambiare 10 mele per 1 arancia
In questo caso: MRS = -'M/'A =10/1= 10
Se invece avessimo 1 mela e 100 arance, potremmo essere
disposti a scambiare 1 mela per 10 arance
In questo caso: MRS = -'M/'A =1/10= 0.1
Il rapporto al quale il consumatore è disposto a scambiare mele
per arance diminuisce all’aumentare del numero di arance
consumate.
14
Riepilogo:
• L’MRS fra x2 e x1: l’ammontare di x2 richiesto per
compensare esattamente la perdita di un’unità di x1
• MRS = -'x2/'x1
• L’MRS è l’opposto della pendenza di una curva di
indifferenza
• MRS decrescente: al crescere di x1, MRS decresce (per
convessità)
15
5
Mappa d’indifferenza
Mappa d’indifferenza: serie completa di curve di
indifferenza
x2
B
C
A
x1
x2
NO!
B
BfA, B ~ C, A~ C
A
C
A~ B ???
x1
16
Preferenze regolari, o “usuali”
i)
Pendenza negativa
ii) MRS21 =
−
Δ x
Δ x
2
1
iii) MRS21 decrescente
iv) Le curve d’indifferenza non si intersecano
v) Curve d’indifferenza più lontane dall’origine
rappresentano un livello di soddisfazione
maggiore
17
Preferenze particolari
U1
Uo
Perfetti Sostituti
Perfetti Complementi
“Mali”
• MRS costante
• proporzioni fisse
• Non vale la non sazietà
18
6
x2
A
Δx2 ↓
B
Δx1 ↑
x1
Rapporto tra Differenze finite di una curva. Per due punti
passa una e una sola retta e il coefficiente angolare di
questa retta è una approssimazione della tangente in uno
dei due punti A o B.
19
LA DERIVATA PER I PRINCIPIANTI
Rapporto incrementale, cioè pendenza della retta secante in
(x,y) e (x0,y0):
Δy y − y0 Δf ( x ) f ( x ) − f ( x0 )
=
=
=
Δx x − x0
Δx
x − x0
La derivata di f(x) in x0:
df ( x0 )
Δf ( x ) f ( x ) − f ( x0 )
≡ lim x→ x0
=
dx
x − x0
Δx
20
NB: La derivata di una funzione corrisponde alla sua pendenza
nel punto x0
NB: La derivata di una funzione corrisponde al limite del
rapporto incrementale:
df ( x )
f ( x + Δx ) − f ( x )
Δy
= lim Δx →0
= lim Δx →0
dx
Δx
Δx
Differenziale di una funzione semplice: df(x)= f’(x)dx
21
7
Concetto di derivata parziale
• Consideriamo una funzione di tre variabili,
due variabili dipendenti x e y e una
variabile dipendente z.
• Z = f(x, y)
• A livello grafico, la derivata mostra una
importante differenza…
22
Concetto di derivata parziale
Δz(x,y)
/Δy
y
x2
Δz(x,y)
/Δx
A
Δx2 ↓
B
Δx
Δy
y
Δ x1 ↑
x1
x
In una funzione semplice c’è una sola direzione di variazione, in una a
tre variabili ce ne sono infinite, anche se quelle rilevanti sono quelle
“ortogonali”
23
Concetto di derivata parziale
• Le direzioni ortogonali hanno una espressione
relativamente semplice, poiché la variazione
rispetto all’altra variabile è 0
• Le direzioni possibili “ortogonali” sono due e le
derivate in queste sue direzioni si chiamano
“parziali” (perché varia solo una variabile e non
l’altra). L’espressione analitica tipica è:
∂f ( x, y )
f ( x + Δx, y ) − f (x, y )
= lim Δx→0
∂x
Δx
24
8
Concetto di derivata parziale
• Poiché la variazione dell’altra variabile è nulla,
nelle regole di derivazione viene considerata
come costante.
• Quindi in una funzione del tipo z = x2y,
abbiamo:
• Zx’ = 2xy (in questo caso y è costante e Δy = 0);
• Zy’ = x2 (in questo caso x è costante e Δx = 0);
25
Concetto di differenziale totale
• Se in una funzione di due variabili il
differenziale è pari a:
• dy= f’(x)dx
• In una funzione di più variabili il
differenziale totale della funzione assume la
seguente forma:
• dz = zx’dx + zy’dy
26
TEORIA DELL’UTILITA’
L’ordinamento delle preferenze può essere rappresentato da
una funzione che assegni ad ogni paniere un numero che
indica il livello di soddisfazione relativo.
Funzione di utilità:
U(x1,x2) tale che =
U(A) > U(B) A f B
U(A) = U(B) A ~ B
Utilità marginale:
MU 1 =
∂ U ( x1 ; x 2 )
∂ x1
MU
2
=
∂ U ( x1 ; x 2 )
∂x2
27
9
Il differenziale totale di U(x):
dU = MU 1 dx 1 + MU 2 dx 2
Quando ci muoviamo lungo la stessa curva di indifferenza,
manteniamo l’utilità costante (per definizione), cioè dU=0.
−
MU 1 dx 1 + MU 2 dx 2 = 0
MRS21 =
Quindi:
dx 2
MU
=
dx 1
MU
1
2
MU1
MU2
28
VINCOLO DI BILANCIO
Price taker (non facente il prezzo): un consumatore per il
quale il prezzo unitario di un bene non dipende dal numero di
unità acquistate
p1 x1 + p 2 x 2 = I
Per un price taker:
pi : prezzo del bene i
xi : quantità consumata del bene i
I : reddito
NB: Il vincolo di bilancio rappresenta I panieri tra cui il
consumatore può scegliere, dato il suo reddito e i prezzi dei
beni.
29
x2 =
p1 x1 + p 2 x 2 = I
I
p
− 1 x1
p2 p2
NB: Il vincolo di bilancio definisce implicitamente una retta
nello spazio (x1; x2)
x2
x 2 (x1 ) =
I / p2
−
I
p
− 1 x1
p2
p2
Insieme dei
panieri
ammissibili
p1
p2
I / p1
x1
30
10
NB: L’intercetta orizzontale e quella verticale rappresentano
panieri in cui è presente uno solo dei due beni
NB: La pendenza del vincolo di bilancio è pari a –p1 / p2.
Questa pendenza indica il costo opportunità di un bene in
termini dell’altro bene, cioè la quantità di un bene a cui un
consumatore deve rinunciare per consumare un’ulteriore unità
dell’altro
Quando diminuiamo x1 di 1 unità, risparmiamo p1
Con p1 possiamo comprare p1/p2 unità di x2
Quindi il costo opportunità di x1 in termini di x2 è –p1/p2
31
x2
x2
p1 ↓
p2 ↑
x1
x1
x2
I↑
x1
32
Riepilogo
Data che il reddito è limitato, gli individui devono scegliere in un
sottoinsieme di tutti i panieri: l’insieme dei panieri ammissibili
(budget set)
•Quando il reddito aumenta, il budget set si espande
•Quando il reddito diminuisce, il budget set si contrae
•Quando i prezzi aumentano, il budget set si contrae
•Quando i prezzi diminuiscono, il budget set si espande
Il vincolo di bilancio è limite superiore dell’insieme dei panieri
ammissibili
•Una variazione del reddito sposta parallelamente il vincolo di
bilancio
•Una variazione del prezzo fa ruotare il vincolo di bilancio
33
11
L’EQUILIBRIO DEL CONSUMATORE
Principio generale
I consumatori scelgono
nell’insieme dei panieri
ammissibili il paniere che
massimizza l’utilità
Scelta ottimale
34
x2
B
Il paniere A può essere
acquistato. E’ la migliore
scelta possibile?
D
C
A
x1
x2
x*
x*: equilibrio del
consumatore
x1
35
Una scelta di consumo
x2
Strettamente preferiti
ad A, ma non
ammissibili
A
Aè
preferito
A tutti gli altri
panieri ammissibili
La scelta è A
x1
36
12
L’equilibrio del consumatore
Il punto di tangenza fra:
1) Il vincolo di bilancio
2) La curva di indifferenza più lontana dall’origine
Livelli di utilità
più alti
x2
x*
x1
37
NB: In X* le pendenze del vincolo di bilancio e della curva di
indifferenza sono uguali! Vale la seguente condizione di
equilibrio:
MRS21 =
Rapporto in cui il
consumatore è
disposto a
scambiare i beni
p1
p2
Rapporto in cui il
consumatore può a
scambiare i beni
NB: Questa condizione di equilibrio è necessaria (ma non
sufficiente) per una soluzione interna.
38
Possiamo riscrivere la condizione di equilibrio così:
MU1 MU2
=
p1
p2
Utilità marginale
per eurocent speso
per il bene 1
Utilità marginale
per eurocent speso
per il bene 2
Quando l’utilità marginale dell’ultimo eurocent speso è la
stessa per ogni bene, non c’è modo di aumentare l’utilità totale
riallocando il reddito fra i beni
39
13
Un equilibrio interno può essere trovato analiticamente
risolvendo il seguente sistema:
MRS21 =
p1
p2
p1 x1 + p 2 x 2 = I
NB: se p1 , p2 e I aumentano proporzionalmente la soluzione
non cambia
40
14