Appunti di Teoria dei Giochi
per la Strategia di Impresa ∗
Mauro Sylos Labini†
Scuola Superiore Sant’Anna, Pisa.
Gennaio 2004
1
Introduzione
Il Capitolo di Teoria dei Giochi ha ormai conquistato un posto stabile nei manuali
adottati nei corsi base di Microeconomia e Strategia di Impresa. In genere tali
manuali trattano l’argomento con pochi esempi (si parte di solito dal dilemma del
prigioniero...) e qualche accenno al concetto di equilibrio di Nash (reso popolare
dal film A beautiful Mind, vincitore di diversi premi oscar)1 . Il rischio è quello
di passare ad alta velocitá su argomenti che invece richiedono un maggiore grado
di approfondimento. In queste pagine il mio obiettivo è, da un lato, offrire una
trattazione appena piú formale di alcuni concetti base, senza per altro richiedere
al lettore la conoscenza di nozioni di matematica sofisticate; dall’altro, evidenziare
sia le luci che le ombre dell’applicazione della Teoria dei Giochi allo studio della
Strategia di Impresa.
Il motivo dominante sará quello di rimarcare come, per provare ad analizzare
rigorosamente l’interazione strategica di agenti i cui obiettivi possono essere in
conflitto, sia necessario fare delle assunzioni sul tipo di razionalitá che tali agenti
∗
Queste pagine vogliono essere un riassunto preliminare (da non far circolare per evitarmi
brutte figure! ) e non esaustivo dei principali argomenti di Teoria dei Giochi trattati durante il
corso di Strategia di Impresa (anno accademico 2003/04, secondo periodo didattico, Universitá
di Camerino).
†
Scuola Superiore Sant’Anna, P.zza Martiri della Liberta’ 33, 56127 Pisa, Italy. E-mail :
[email protected].
1
Al lettore curioso si consiglia di dare un’occhiata al contributo di Marco Li Calzi
sull’argomento ”Nash e la teoria dei giochi” al sito:
http://venus.unive.it/licalzi/NashEponimo.pdf.
1
hanno. In particolare, per ottenere soluzioni piú precise a problemi complessi,
l’approccio della teoria dei giochi è quello di fare assunzioni forti (e quindi restrittive!) sulla razionalitá degli agenti.
Un’ultima osservazione riguarda, in pillole, l’utilitá e, al tempo stesso, la problematicitá della teoria dei giochi per chi si avvicina allo studio della Strategia
di Impresa. Tale materia ha a volte finalitá positive (capire come le imprese si
comportano), a volte finalitá normative (cosa dovrebbe fare un manager che deve
prendere decisioni concrete). La teoria dei giochi offre contributi in entrambe le
direzioni. L’utilitá risiede nell’affrontare formalmente questioni che di solito sono
lasciate all’intuizione, al buon senso o (peggio!) a razionalizzazioni ex-post dei comportamenti delle imprese. L’importante, e qui siamo alla problematicitá, è capire
quali siano i limiti in entrambe le direzioni su menzionate: in un’ottica positiva la
realtá economica è in genere piú complessa di un gioco, in un’ottica normativa solo
raramente gli attori economici conoscono la teoria dei giochi e quindi attenzione a
comportarsi seguendo le sue regole quando si interagisce con tali individui.
2
I giochi in forma strategica e alcuni modi per
risolverli
2.1
Qualche definizione
Per prima cosa occorre chiarire che in queste pagine ci occuperemo soltanto di
giochi non cooperativi: l’unitá d’analisi è il singolo giocatore che cerca di compiere
le scelte per sé migliori date le regole del gioco e i vincoli posti dall’interazione
strategica con altri giocatori (in maniera un po’ imprecisa non possono essrere fatti
ex-ante accordi vincolanti con altri giocatori che ex-post conviene infrangere). In
questo tipo di giochi nulla vieta che i giocatori possano giocare strategie cooperative 2 .
Il primo tipo di giochi che consideriamo sono i quelli definiti in forma strategica
(o normale). Un gioco in forma strategica è definito da una tripla
G = {N, S, Π}
Dove N = 1, 2, ..., n indica il numero dei giocatori, S l’isieme delle strategie
di tutti i giocatori (indicheremo con si ∈ Si una particolare strategia del giocatore
del giocaatore i−esimo che appartiene al suo insieme di strategie) e Π rappresenta
l’insieme delle vincite o risultati (payoff per chi non sa l’Italiano). Inoltre definiamo
ui : S → Πi come quella funzione che associa a ciascun insieme delle strategie una
vincita. Cosı́, per esempio, scriveremo πi = ui (si , s−i ) per indicare le vincite del
2
L’esperienza ci insegna che (quando conviene!) persino i piú cinici cooperano.
2
giocatore i-esimo e di tutti gli altri nel caso egli abbia giocato la strategia si e gli
altri le strategie s−i 3 .
Nella stragrande maggioranza dei nostri esempi tratteremo giochi con due giocatori, per i quali è conveniente offrire rappresentazioni matriciali del tipo
Donna
partita
2,1
Uomo partita
cinema
0,0
cinema
0,0
1,2
Tale gioco rappresenta una versione della cosiddetta battaglia dei sessi (o gioco
delle coppie), la cui rappresentazione non richiede particolari spiegazioni (soprattutto per chi abbia un fidanzato o una fidanzata). Basti osservare che il primo
numero in ciascuna casella rappresenta la vincita di Uomo e il secondo quella di
Donna (d’ora in poi il primo numero rappresenterá la vincita del giocatore riga e
il secondo quella di colonna). Il problema fondamentale del gioco sembra quello di
coordinarsi per evitare di essere in un posto diverso da quello del proprio compagno
e beccarsi uno 04 .
2.2
Primi passi di razionalitá
Il gioco forse piú conosciuto è il cosiddetto dilemma del prigioniero nel quale le
vincite (si fa per dire) sono gli anni di galera. Ognuno puó raccontarsi la storia
come meglio crede e la sua rappresentazione è
Prigioniero 2
confessa
confessa
−2,−2
Prigioniero 1
non confessa
−3, 0
non confessa
0,−3
−1,−1
Nonostante la sua soluzione, come vedremo piú avanti, porti ad una sorta
di dilemma, il gioco presenta una caratteristica che lo rende piuttosto banale.
Entrambi i giocatori, infatti, hanno una strategia (confessa) che conduce a vincite
piú alte indipendentemente da cosa faccia l’altro. Si parla in questo senso di
dominanza. Piú formalmente
3
Per chi sa cosa significhi, s−i è un vettore con n − 1 componenti. Possiamo anche osservare
che la vincita dipende dall’esito del gioco (che a sua volta dipende dalle strategie giocate) e non
dal modo in cui a tale esito si è arrivati. Il lettore appassionato di filosofia avrá notato che questo
tipo si assunzione è legato alle premesse dell’utilitarismo. A poker si puó vincere sia bluffando
che avendo dei punti alti e per alcuni giocatori le due vincite non sono equivalenti. La Teoria dei
Gochi, di solito, non considera queste complicazioni.
4
La cosa puó non essere scontata per chi ha un’alta propensione al tradimento.
3
Def 1 Una strategia s0i è (debolmente) dominante per i se
ui (s0i , s−i ) ≥ ui (si , s−i ), ∀si ∈ Si , ∀s−i ∈ S−i .
Sembra, quello di dominanza, un requisito piuttosto neutro: se c’è una strategia
che ci da vincite piú alte indipendentemente da quello che fanno gli altri, sembra
ragionevole giocarla. Un problema potrebbe essere, in giochi complicati, la difficoltá di individuare tale proprietá, ma in questa sede, come chiarito all’inizio, tutti
i giocatori hanno seguito almeno un corso base di Teoria dei giochi e sono bravi
ad individuare strategie dominanti.
In situazioni appena piú complesse, comunque, il criterio di dominanza non
basta. Procediamo con un altro esempio
Riga
su
giú
Colonna
sinistra centro
1,0
1,2
0,3
0,1
destra
0,1
2,0
Qui né Colonna né Riga hanno a disposizione strategie dominanti e quindi,
per capire come giocano (ottica positiva) o dargli dei consigli su come giocare
(ottica normativa), bisogna espandere i requisiti di razionalitá. In particolare
possiamo chiederci se è ragionevole giocare una strategia se ne esiste un’altra per
la quale, qualsiasi cosa faccia l’avversario, quest’ultima porta a vincite maggiori.
Piú formalmente
Def 2 Una strategia s0i è strettamante dominata da s00i per il giocatore i se
ui (s0i , s−i ) < ui (s00i , s−i ), ∀s−i ∈ S−i .
Se ci fermassimo a tale definizione e al requisito di ragionevolezza al evidenziato
sopra non andremmo lontano. Potremmo infatti soltanto eliminare la strategia destra di Colonna che è strettamente dominata da centro. Entra qui in gioco l’ipotesi
di conoscenza comune per la quale non solo tutti gli ingividui sono razionali, ma
sanno che gli altri giocatori sono razionali, sanno anche che che tutti sanno che tutti
sono razionali... e cosı́ via fino all’infinito. Data questa ipotesi, infatti, possiamo
affermare che Riga sa che Colonna non gioca destra e, quindi, puó individuare
su come strategia dominante nella restante parte del gioco. Colonna, a questo
punto, sa che su è dominante per Riga e sceglierà di giocare centro. E’ opportuno
osservare che se nella nostra spiegazione sembra ci sia stato una dimensione temporale nella individuazione della soluzione, i giochi in forma normale sono statici.
Il processo descritto è implicito nella mente di ciascun giocatore e ognuno gioca
simultaneamente la sua strategia. Nel caso si eliminassero piú di una strategia
4
dominate occorre quindi procedere con ordine: partendo da uno qualsiasi dei giocatori e successivamente passando a quello che eventuialmente eliminerebbe l’altro.
Non possiamo cioè elinare due strategie consecutive dello stesso giocatore perchè
strettamente dominate.
2.3
Risposte ottime ed Equilibrio di Nash
Siamo finalmente arrivati al piatto forte. Possiamo, ancora una volta, motivare
questo paragrafo con un esempio.
Riga
su
centro
giú
Colonna
sinistra centro
0,4
4,0
4,0
0,4
3,5
3,5
destra
5,3
5,3
6,6
Non sembra che in tale gioco ci siano strategie dominanti o strategie strettamente dominate. La razionalità definita da Def 1 eDef 2 non ci basta piú né per
capire cosa succederá nel gioco, né per dare consigli sensati ai giocatori.
Per arrivare ad una soluzione, nonostante molti dei lettori avranno giá identificato utilizzando il buon senso quale sembra un buon esito del gioco, ci serviremo
del concetto di equilibrio di Nash. Prima peró conviene definire cos’è una risposta
ottima.
Def 3 Una strategia s∗i è di risposta ottima a s0−i per il giocatore i se
ui (s∗i , s0−i ) ≥ ui (si , s0−i ), ∀si ∈ Si .
Se prendiamo per data la strategia dell’avversario, la nostra risposta ottima è
quella strategia che ci permette di far meglio. Vale la pena notare che una strategia
di risposta ottima (nei giochi a strategie finite) esiste sempre (e spesso ne esiste
piú di una).
Un Equilibrio di Nash puó essere definito come un insieme di strategie, una per
ogni giocatore, che sono mutualmente risposte ottime. Formalmente, chiarendo che
∗ indica una risposta ottima:
Def 4 Un equilibrio di Nash (EN) è un insieme completo di strategie (s∗i , s∗−i ) per
cui vale che:
ui (s∗i , s∗−i ) ≥ ui (si , s∗−i ), ∀i.
Ci sono almenno tre motivi per cui tale concetto è molto importante:
5
• Come vedremo un EN ci permette di formulare previsioni piú accurate in
giochi in cui il concetto di dominanza non basta.
• Esiste un teorema che ci dice che se eliminiamo tutte le strategie strettamente
dominate, fra le rimanenti troveremo l’EN5 .
• E’ un equilibrio: nessun giocatore trae vantaggio dal deviare dalla propria
strategia.
Se torniamo al gioco mostrato all’inizio del paragrafo, è facile identificare la
coppia di strategie (giú,destra) come l’unico equilibrio di Nash. Esistono due
procedure (la seconda sembra spesso più conveniente) per individuare l’EN nei
giochi espressi in forma matriciale:
• Ispezionare tutti gli esiti possibili del gioco e vedere quelli nei quali nessun
giocatore ha incentivi a deviare.
• Individuare per ciascun giocatore tutte le risposte ottime per date strategie
(bisogna considerarle tutte!) degli altri giocatori. Quindi, individuare gli
esiti del gioco nei quali siamo in presenza di strategie mutualmente ottime.
Per concludere questo paragrafo accenniamo ad alcuni dei possibili problemi
dell’EN.
1. Nel caso in cui non esista un unico EN, è estremamente difficile sia fare
previsioni sugli esiti del gioco, che dare consigli su come giocare. La battaglia
dei sessi è un classico esempio di questo problema.
2. Una seconda osservazione deriva dalla soluzione del dilemma del prigioniero.
Le vincite dell’EN non sono necessariamente le migliori che gli individui possono realizzare. Se entrambi i prigionieri non confessassero, passerebbero
meno anni in galera. Lascio al lettore la valutazione su se e come questo rappresenti un problema. Quello che appare evidente è che in alcune situazioni
non è affatto vero che se gli individui fanno ciò che è meglio per loro, il sistema
nel complesso raggiunge esiti migliori, persino per gli individui in questione6 .
Forse nel caso dei prigionieri la cosa non ci dispiace poi troppo, ma con uno
sforzo minimo possiamo immaginare casi in cui cooperare (confessare nel nostro caso) è molto importante per la collettivitá: stabilire delle regole sulle
emissione di sostanze inquinanti delle imprese, limitare la costruzione di armi
di distruzione di massa, raggiungere accordi sul libero commercio. La teoria
dei giochi ci suggerisce che soggetti razionali possono prendere decisioni che
sono nel complesso peggiori persino per loro.
5
6
Questo significa che la razionalitá richiesta per gicare Nash è piú forte.
La mano invisibile tanto cara agli apologeti del mercato non sempre funziona.
6
3. Qual è l’importanza del concetto di EN se i giocatori con cui interagiamo
non riescono ad individuarlo (e.g. non conoscono la definizione, oppure, in
situazioni piú complesse, non riescono ad applicare le semplici regole per
trovarlo)? Se non vi è un modo evidente a tutti di ”gocare Nash” a che serve
tale cocetto? Anche qui lascio il problema alla riflessione del lettore.
4. Un ultimo punto potrebbe essere la non esistenza di un EN. Che fare in
questi casi?
Nel seguito (non lungo!) di queste dispense ci occuperemo sopratutto del primo
punto, ma non resisteremo alla tentazione di accennare anche al resto, dato che
sono in gioco (perdonate il gioco di parole) alcuni dei concetti piú affascinanti della
Teoria dei Giochi.
3
I giochi in forma estesa
3.1
Qualche definizione
In questo tipo di giochi assume grande importanza la sequenza temporale delle
azioni che gli individui possono prendere. Possiamo identificare in modo poco
rigoroso un’azione come una scelta presa in un dato momento del gioco. Una
strategia sará quindi, in questo contesto, una sequenza di azioni una per ogni
momento in cui il giocatore si trova a prendere decisioni. Gli elrmenti di questo
tipo di giochi sono:
• nodi: punti nei quali gli agenti si trovano a scegliere le loro azioni.
• liste (o vettori) di numeri: equivalenti alle vincite dei giochi in forma normale.
• frecce: corrispondono alle azioni e partono da nodi per raggiungere altri nodi
o i vettori di numeri.
• etichette: specificano quale giocatore scegle in ciascun nodo e il nome delle
azioni che compiono.
• insiemi informativi: se non specificato diversamente coincidono con i nodi.
Alternativamente possono essere insiemi di nodi. In questo secondo caso i
giocatori non sanno in quale dei nodi appartenenti all’insieme si trovano.
Dati questi elementi vi sono due regole che non vengono mai violate:
• Ogni nodo ha almeno una freccia che parte da esso e al massimo una freccia
che punta verso di esso (in realtá tranne il primo nodo, che non ha alcuna
freccia, tutti gli altri hanno una ed una sola freccia che li punta).
7
• Iniziando a ritroso da un qualsiasi nodo (a) non si torna mai allo stesso nodo
e (b) si finisce sempre al nodo iniziale.
3.2
Esempi
8
