Testo e soluzioni di tutti i compiti scritti di fisica

Compito di Fisica 11/06/2012
Ogni domanda esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
Una particella di massa m si muove nel piano xy secondo la legge oraria ?r(t) = (x(t), y(t)) con
?
x(t) = a cos(ωt)
y(t) = b sin(ωt)
con 0 < b < a.
1) Calcolare la velocità ?v (t) e l’accelerazione ?a(t).
2) Calcolare l’energia cinetica in funzione del tempo e mostrare che non è costante ma che oscilla
periodicamente tra un minimo e un massimo.
3) Calcolare il momento angolare rispetto all’origine e mostrare che è costante nel tempo.
4) Calcolare ?v · ?a e ?r × ?a e sulla base dei risultati giustiﬁcare quanto ottenuto ai punti 2) e 3).
Esercizio 2
Negli Stati Uniti ci sono n = 1.1 × 108 automobili con una massa media m = 2000kg. Un lunedı̀ mattina
si mettono tutte simultaneamente in marcia verso est raggiungendo una velocità ﬁnale v = 25m/s ad una
latitudine media λ di 45◦ . Usate i valori RT = 6.4 × 106 m e IT = 8.1 × 1037 kg m2 per, rispettivamente,
il raggio e il momento d’inerzia della terra.
1) Calcolare il valore assoluto della variazione di momento angolare ∆L della terra.
2) Calcolare la variazione di velocità di rotazione della terra ∆ωT .
Esercizio 3
Due condensatori C1 e C2 sono inizialmente carichi a tensioni diverse V1 e V2 e connessi da una
resistenza R e un interruttore come in ﬁgura. Al tempo t = 0 l’interruttore viene chiuso. Dati C1 =
10µF, C2 = 1µF, V1 = 10V, V2 = 1V e R = 10Ω:
1
1) Calcolare la tensione ﬁnale Vf ai capi di C1 dopo un tempo suﬃcientemente lungo.
2) Calcolare l’energia totale dissipata in R. Suggerimento: ricavare il risultato come diﬀerenza tra
energia iniziale e ﬁnale del circuito.
3) Sulla base di argomenti dimensionali dire se 0.1s è un tempo suﬃciente per raggiungere Vf .
Esercizio 4
Una barra di lunghezza L, massa M e resistenza R forma il lato orizzontale superiore di una spira
rettangolare. Il resto della spira è ﬁsso e ha resistenza trascurabile. La barra può muoversi verticalmente
mantenendo il contatto con attrito trascurabile. Perpendicolare alla spira c’è un campo magnetico
costante di modulo B. Al tempo t = 0 la barra viene lasciata cadere con accelerazione g e velocità
iniziale nulla.
1) Calcolare la derivata rispetto al tempo del ﬂusso del campo magnetico dΦS (B)/dt attraverso la
spira in funzione del tempo nelle fasi iniziali del moto, in cui l’eﬀetto della forza magnetica F che
B esercita sulla corrente I nella barra è trascurabile.
2) Calcolare la potenza dissipata nel ﬁlo nelle stesse ipotesi del punto 1)
3) Dopo un tempo suﬃciente, per eﬀetto di F la barra raggiunge una velocità costante vf . Calcolate
vf . Suggerimento: confrontate la potenza dissipata dalla forza peso con quella dissipata nella
barra.
2
Soluzioni Compito di Fisica 11/06/2012
Esercizio 1
1)
?
?v (t) = (−aω sin(ωt), bω cos(ωt))
?a(t) = (−aω 2 cos(ωt), −bω 2 sin(ωt))
2) Ec (t) = 1/2m?v · ?v = 1/2mω 2 [a2 sin2 (ωt) + b2 cos2 (ωt)] = 1/2mω 2 b2 + 1/2mω 2 (a2 − b2 ) sin2 (ωt)
L’energia cinetica minima è quindi 1/2mω 2 b2 , quella massima 1/2mω 2 a2 .
? è diretto sempre lungo z quindi basta calcolare solo Lz = m(rx vy − ry vx ) =
3) Il momento angolare L
mωab, che non dipende dal tempo.
4) ?v · ?a = (a2 − b2 )ω 3 sin(2ωt)/2 quindi la forza compie periodicamente lavoro positivo o negativo ed
è evidente che l’energia cinetica deve variare mentre ?r × ?a = 0 dato che ?r è parallelo ad ?a. Si ha
? si conserva perché ?τ = ?r × f? = 0.
quindi che L
Esercizio 2
1) ∆L = RT cos λnmv ≃ 2.5 × 1019 J s.
2) Nel sistema isolato terra+auto il momento angolare si conserva quindi IT ∆ωT = ∆L da cui
∆ωT = ∆L/IT ≃ 3.1 × 10−19 s−1 .
Esercizio 3
1) La carica totale vale Q = C1 V1 + C2 V2 . Si divide in QA su C1 e QB su C2 in modo che Vf =
QA /C1 = QB /C2 . Risolvere il sistema è equivalente a porre la carica Q su un condensatore C
pari al parallelo di C1 e C2 quindi C = C1 + C2 e Vf = Q/C = 101µC/11µF ≃ 9.2V.
2) L’energia iniziale è Ui = 1/2C1 V12 + 1/2C2 V22 = 500µJ + 0.5µJ = 500.5µJ. L’energia ﬁnale è
Uf = 1/2CVf2 = 465.5µJ. L’energia dissipata in R è Ui − Uf ≃ 35µJ.
3) Dato che C1 ≫ C2 (o quasi) mentre R = 10Ω il tempo caratteristico del circuito è, al massimo,
dell’ordine di RC1 ≃ 100µs ≪ 0.1s quindi ci si aspetta che 0.1s sia un tempo molto grande rispetto
a quello necessario per raggiungere l’equilibrio.
Esercizio 4
1) Φ(B) = BA(t) dove A(t) è l’area della spira in funzione del tempo quindi dΦ(B)/dt = BdA(t)/dt =
−BLgt
2) La f.e.m. indotta vale V (t) = BLgt quindi P (t) = V 2 /R = (BLgt)2 /R.
3) Alla velocità vf la potenza dissipata dalla forza gravitazionale è uguale a quella dissipata dalla
barra quindi M gvf = (BLvf )2 /R quindi vf = M gR/(BL)2 .
1
Compito di Fisica 23/07/2012
Ogni risposta esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
Un sistema è formato da 3 corpi di dimensioni trascurabili mantenuti in posizione da aste di massa
trascurabile nel piano xy. Il corpo m1 ha massa 2m e coordinate (0, 0). I corpi m2 e m3 hanno entrambi
massa m e coordinate (d, 0) e (0, d) rispettivamente.
Figura 1: Esercizio 1.
1) Calcolare le coordinate xcm e ycm del centro di massa del sistema.
2) Calcolare il momento di inerzia I0z del sistema per una rotazione attorno all’asse z.
3) Calcolare il momento di inerzia Icm per una rotazione attorno a un asse parallelo all’asse z passante
per il centro di massa. Suggerimento: utilizzare il teor. dell’asse parallelo.
4) Calcolare i momenti di inerzia per rotazioni attorno all’asse x e y, indicati con I0x e I0y rispettivamente e veriﬁcare che I0z = I0x + I0y .
Esercizio 2
Si stima che a causa dell’attrito delle maree la terra subisca una decelerazione angolare costante α =
2
3 × 10−26 rad/s . Il momento di inerzia della terra IT vale 8.1 × 1037 kg m2 . La velocità angolare inziale
della terra ω0 si calcola sapendo che un giorno dura 86400s.
1) Scrivere un’espressione approssimata per l’energia di rotazione E(t) della terra in funzione del
tempo trascurando i termini contenenti potenze di α maggiori di 1.
2) Calcolare la potenza media dissipata dalla terra a causa delle maree.
1
Esercizio 3
Una carica Q è uniformemente distribuita sulla superﬁcie un quadrato isolante di lato L. Considerate
un sistema di riferimento in cui il quadrato è nel piano xy e il centro è nell’origine O.
1) Scrivere un’espressione approssimata per il campo elettrico lungo l’asse z a distanza d ≪ L da O.
2) Come nel caso precedente ma per d ≫ L.
3) Scrivere l’integrale che, secondo la legge di Coulomb, risolve il problema del calcolo di Ez per
valori di d arbitrari.
Esercizio 4
Si costruiscono un condensatore a facce piane parallele e un solenoide. Le facce del condensatore hanno
area A e distanza d. Il solenoide ha sezione S, lunghezza l e N spire (n = N/l è quindi il numero di
spire per unità di lunghezza).
1) Nelle solite approssimazioni in cui il condensatore e il solenoide sono inﬁniti calcolare la capacità
C del condensatore e l’induttanza L del solenoide in funzione dei parametri geometrici A,d,S,l ed
N.
2) Il condensatore e il solenoide formano un circuito LC risonante a frequenza ω. Dalla teoria delle
onde elettromagnetiche è noto che la velocità della luce c si può scrivere in funzione di µ0 ed ǫ0 .
Utilizzate questo fatto per scrivere c in funzione di ω e i parametri geometrici.
3) Si vuole usare la formula ottenuta in 2) per determinare c misurando i parametri geometrici e ω.
Supponendo che la sorgente dominante di errore sia d, noto con un errore relativo ∆d/d del 5%,
determinare l’errore relativo ∆c/c applicando la propagazione dell’errore.
2
Soluzioni Compito di Fisica 23/07/2012
Esercizio 1
1) Il sistema è simmetrico rispetto a una rotazione di 180◦ attorno alla retta r di equazione y = x
quindi il c.d.m. deve stare su r i.e. se il c.d.m. ha coordinate (xcm , ycm ) deve essere ycm = xcm .
Inoltre
d
2m × 0 + m × d + m × 0
=
xcm =
4m
4
le coordinate (xcm , ycm ) del c.d.m. sono quindi (d/4, d/4).
2)
I0z = 2m × 02 + m × d2 + m × d2 = 2md2
√
3) La distanza h tra il c.d.m. e l’origine è h = 2d/4. Per il teor. dell’asse parallelo I0z = Icm + 4mh2
quindi
3md2
md2
=
Icm = I0z −
2
2
4) I0x = 2m × 02 + m × 02 + m × d2 = md2 . Per simmetria poi deve essere I0x = I0y ed in eﬀetti
I0z = 2md2 = 2I0x = I0x + I0y .
Esercizio 2
1) ω(t) = ω0 − αt dove ω0 = 2π/86400 ≃ 73µrad/s quindi
E(t) =
1
1
IT ω(t)2 ≃ IT ω02 − IT ω0 αt
2
2
2) P = dE/dt = IT ω0 α ≃ −1.77 × 108 W.
Esercizio 3
? è sempre diretto lungo z per motivi di simmetria quindi |E|
? = |Ez |.
Nei punti dell’asse z il campo E
1) In questo caso il campo di un piano inﬁnito deve essere una buona approssimazione quindi, dato
che la densità di carica superﬁciale σ vale Q/L2 , si ha Ez = Q/(2ǫ0 L2 ).
2) Dalla legge di Coulomb Ez = Q/(4πǫ0 d2 ).
3) Sommando i contributi di tutti gli elementi inﬁnitesimi di area del quadrato e prendendo la
? si ha
componente z di E
Q
Ez =
4πǫ0 L2
?
L/2
−L/2
?
L/2
−L/2
1
d
dx dy
(x2 + y 2 + d2 )3/2
Esercizio 4
1) C = ǫ0 A/d e L = µ0 n2 Sl = µ0 N 2 S/l.
2) Notato che c2 = 1/(ǫ0 µ0 ) vale
dl
1
=
⇒ c = ωN
ω =
LC
ǫ0 µ0 AN 2 S
2
√
3) Dato che c ∝ 1/ d la propagazione degli errori implica
?
?
∆c ?? 1 ?? ∆d
= ?− ?
= 2.5%
c
2 d
2
?
AS
dl
Compito di Fisica 05/09/2012
Ogni risposta esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
Il rapporto tra la massa di Giove e quella della Terra vale A = 318 mentre il rapporto tra i raggi
vale B = 11. Supponiamo di avere una bilancia caricata con una massa m. Al polo nord terrestre la
bilancia legge il valore di 1kg.
1) Indicate, in funzione di A e B, quale sarebbe il valore indicato se la bilancia e la massa fossero
al polo nord di Giove.
2) Il raggio di Giove è R = 70000km mentre il periodo di rotazione è T = 10 ore. Calcolate
quanto leggerebbe la bilancia all’equatore di Giove (usate per l’accelerazione di gravità terrestre
g = 9.8m/s2 ).
Esercizio 2
Un aereo per il trasporto di aiuti umanitari vola orizzontalmente con velocità v0 = 250 km/h ad una
quota h = 900 m. Il pilota vuole lanciare un pacco di aiuti di massa m = 50 kg in un punto P con
posizione nota (vedi ﬁgura 1). Si trascuri l’attrito dell’aria.
Figura 1: Figura esercizio 2.
1) Usando la conservazione dell’energia calcolare il modulo vf della velocità del pacco immediatamente prima dell’impatto col suolo. Supponendo che l’urto col suolo sia completamente anelastico e che il moto della terra non sia in alcun modo inﬂuenzato dalla collisione col pacco, calcolare
l’energia dissipata nell’urto.
2) Calcolare l’angolo θ di impatto col suolo.
3) Calcolare la distanza d da P in cui il pacco deve essere sganciato dall’aereo per poter raggiungere
il punto P .
1
Esercizio 3
Tre ﬁli conduttori inﬁniti sono tra loro paralleli e disposti ai vertici di un triangolo equilatero di lato
l, come mostrato in ﬁgura 2.
Figura 2: Figura esercizio 3.
A) Si supponga che sui ﬁli siano disposte delle cariche positive con densità lineare λ nota e uguale
su tutti e tre i ﬁli.
1) Usando la notazione con i versori, calcolare il campo elettrico totale in un punto generico
del ﬁlo A, dovuto alle cariche sui ﬁli B e C.
2) Calcolare la forza elettrica netta per unità di lunghezza che agisce sul ﬁlo A.
B) Si supponga ora che i tre ﬁli siano dei conduttori neutri (quindi λ = 0), in cui scorre una corrente
data i, uscente dal foglio.
3) Usando la notazione con i versori, calcolare il campo magnetico totale in un generico punto
del ﬁlo A, dovuto alle correnti nei ﬁli B e C.
4) Calcolare la forza magnetica netta per unità di lunghezza che agisce sul ﬁlo A.
Esercizio 4
Per un esperimento si deve costruire un solenoide in grado di generare un campo magnetico B uniforme
di 0.001T. Il solenoide viene costruito avvolgendo un ﬁlo di sezione quadrata di lato l = 1mm in modo
che le spire siano in contatto tra di loro. Il raggio del solenoide R è 5cm mentre la lunghezza H è
50cm.
1) La resistività del rame vale ρ = 1.8 × 10−8 Ωm. Calcolate la resistenza del solenoide.
2) Quale tensione deve fornire un generatore collegato al solenoide per produrre il campo magnetico
richiesto?
3) Calcolate l’energia immagazzinata nel campo magnetico.
2
Soluzioni Compito di Fisica 05/09/2012
Esercizio 1
1) Il modulo dell’accelerazione di gravità a alla superﬁcie di una massa sferica isotropa di massa M
e raggio R è a = GM/R2 quindi la lettura della bilancia su Giove è 1kg × A/B 2 ≃ 2.63kg
2) All’equatore la bilancia legge la diﬀerenza tra la forza di gravità e la forza centripeta. Da T = 10
ore si ricava ω = 2π/T ≃ 1.75 × 10−4 s−1 . La forza centripeta in modulo vale mω 2 R. La bilancia è
stata tarata in modo che una forza di g N dia una lettura di 1kg sulla scala. La lettura all’equatore
diminuisce quindi di mω 2 R/g ≃ 0.22kg. Il risultato ﬁnale è 2.41kg.
Esercizio 2
1) Il quadrato della componente orizzonale della velocità al momento di toccare il suolo vale vy2 = 2gh.
?
Il modulo della velocità al momento del contatto è v = vy2 + v02 ≃ 150m/s. L’energia dissipata
è mv 2 /2 ≃ 5.63 × 105 J.
2) L’angolo θ, in radianti, vale π − arctan(vy /v0 ) ≃ 2.05. Il valore corrisponde a circa 117◦ .
3) Il tempo
necessario per arrivare
al suolo è la soluzione positiva dell’equazione 1/2gt2 = h cioè
?
?
t = 2h/g quindi d = v0 2h/g ≃ 941m.
Esercizio 3
1) Il campo di un ﬁlo carico inﬁnito è diretto radialmente e in modulo vale, in funzione della distanza
r dal ﬁlo, E(r) = λ/(2πǫ0 r). Per simmetria il campo al ﬁlo A deve essere diretto lungo y ed essere
pari a 2 volte la componente y del ﬁlo B dunque
√
λ
3λ
?
E = 2 cos(π/6)
j=
j
2πǫ0 l
2πǫ0 l
? Il ﬁlo viene respinto dagli altri due.
2) La forza f? per unità di lunghezza è f? = λE.
3) Il campo magnetico di un ﬁlo inﬁnito è diretto perpendicolarmente al raggio e vale in modulo
B(r) = µ0 i/(2πr). La regola della mano destra e la simmetria danno questa volta un campo
magnetico pari a 2 volte la componente x del ﬁlo B quindi
√
µ0 i
3µ0 i
?
B = −2 cos(π/6)
i=−
i
2πl
2πl
4) Si ha
√
3µ0 i2
?
?
f = ik × B = −
j
2πl
Il ﬁlo viene attirato dagli altri 2.
1
Esercizio 4
1) La lunghezza totale del ﬁlo è L = 2πRH/l mentre la sezione è l2 quindi la resistenza r vale
r = ρL/l2 = 2πρRH/l3 ≃ 2.83Ω.
2) Da B = µ0 i/l si ricava la corrente i = Bl/µ0 . La tensione richiesta al generatore è V = ri =
2πBρRH/(µ0 l2 ) ≃ 2.25V
3) L’energia nel solenoide E si può scrivere come Li2 /2 dove L è l’induttanza ma in questo caso è più
conveniente usare la densità di energia del campo magnetico da cui E = πR2 HB 2 /(2µ0 ) ≃ 1.56mJ.
2
Compito di Fisica 14/01/2013
Ogni risposta esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
Una particella puntiforme di massa m=1g si muove secondo la legge oraria ?r(t) = 3t i − 2t2 j + t3 k.
?r(t) è espresso in metri.
1) Calcolare i vettori velocità, ?v (t) e accelerazione ?a(t).
2) Calcolare il modulo della forza |f?| agente sulla particella a t = 2s.
? o a t = 1s.
3) Calcolare il vettore momento angolare rispetto all’origine L
Esercizio 2
Schematizziamo una giostra come un disco omogeneo di massa M e raggio R libero di ruotare senza
attrito. La giostra è inizialmente ferma e sostiene una persona di massa m a distanza R/2 dal centro.
A un certo punto l’uomo inizia a camminare con velocità v in direzione tangenziale rispetto alla
piattaforma in senso antiorario. Tralasciando quello che succede all’istante iniziale,
1) Calcolare il rapporto r = m/M richiesto per avere |ωg /ωp | = 1/10.
2) Calcolare, in funzione di R e v dopo quanto tempo la persona ripassa per lo stesso punto sulla
giostra.
3) Nelle condizioni del punto 1) calcolare, in funzione di R e v, ωp e ωg .
Esercizio 3
L’aria secca a pressione atmosferica si comporta come un isolante sino a che il campo elettrico non
raggiunge un valore limite El attorno a 3MV/m. Oltre questo valore può partire una scarica.
1) Consideriamo una sfera conduttrice di raggio R = 0.1m. Calcolare la massima carica Q che può
essere immagazzinata sulla sfera senza che il campo elettrico alla sua superﬁcie superi El .
2) Calcolare il raggio minimo Rm che deve avere una sfera immersa in aria secca per potere essere
caricata sino a raggiungere un potenziale V di 1MV.
3) Nelle condizioni del punto 2) calcolare quanta carica deve essere messa sulla sfera.
1
Esercizio 4
Consideriamo una spira circolare S di raggio R percorsa da una corrente IS in senso antiorario.
1) Fissate un opportuno sistema di riferimento e date modulo, direzione e verso del campo mag? al centro di S.
netico B
2) Dato un ﬁlo inﬁnito F nel piano di S a distanza d = 5R dal centro di S e percorso da una
corrente IF calcolare il rapporto IF /IS per cui il campo magnetico generato da F cancella il
campo di S al centro di S.
3) Indicate con in un disegno di S ed F in che direzione deve scorrere la corrente in F .
2
Soluzioni Compito di Fisica 14/01/2013
Esercizio 1
1) Derivando ?r(t) si ottiene ?v (t) = 3 i − 4t j + 3t2 k. Derivando una seconda volta ?a(t) = −4 j + 6t k.
?
2) Dal punto precedente ?a(2) = −4 j + 12 k. Da f? = m?a si ha |f?(2)| = 0.001 × (−4)2 + 122 =
1.265 × 10−2 N
? o (t) = m?r × ?v e ?r(1) = 3 i − 2 j + k, ?v (1) = 3 i − 4 j + 3 k, si ha che L
? o (1) =
3) Dato che L
−0.002 i − 0.006 i − 0.006 k) Js.
Esercizio 2
Sul sistema formato dalla giostra e dalla persona non ci sono momenti delle forze esterne quindi il
momento angolare L si conserva. Il valore iniziale di L è 0. Il momento angolare della giostra è
Lg = Iωg = 1/2M R2 ωg . Il momento angolare della persona è Lp = mωp R2 /4. Sono entrambi nella
` chiaro
direzione verticale quindi possono essere considerati come scalari nelle equazioni successive. E
che, per avere Lg + Lp = 0, ωg e ωp devono avere segno opposto.
1) Da |Lg | = |Lp | si ottiene |ωg /ωp | = m/(2M ) = r/2 quindi deve essere r = 1/5.
2) La velocità angolare relativa tra la persona e la giostra si può scrivere come ωr = |ωg | + |ωp | inoltre
(|ωg | + |ωp |)R/2 = v quindi ωr = 2v/R. Il tempo richiesto è T = 2π/ωr = πR/v.
3) L’eq. ωr = 2v/R può essere scritta come |ωp |(1 + 1/10) = 2v/R quindi |ωp | = 20v/(11R) allora
|ωg | = |ωp |/10 = 2v/(11R). Secondo la regola della mano destra, poi, ωp è positiva quindi ωg è
negativa.
Esercizio 3
1) Da El ≤ Q/(4π?0 R2 ) si ricava Q ≤ 4π?0 R2 El ? 3.33µC.
2) Oltre all’eq precedente deve valere V = Q/(4π?0 R). Dal rapporto delle 2 eq. si vede che deve
valere Rm ≥ V /El ? 0.33m.
3) Dall’eq. per il campo o da quella per il potenziale si ricava Q ? 37µC.
Esercizio 4
1) Come sistema di riferimento si può considerare un sistema di assi cartesiani in cui la spira è nel
piano z = 0 con centro nell’origine. Si può sempre supporre che il ﬁlo sia parallelo all’asse y. In
questo sistema il campo magnetico al centro di S è diretto lungo l’asse z positivo. Il modulo BS
vale BS = µ0 IS /(2R).
2) Il modulo del campo generato dal ﬁlo in funzione della distanza r vale BF (r) = µ0 IF /(2πr). La
condizione BS = BF per r = 5R porta a IF /IS = 5π.
1
3) Nel sistema di riferimento scelto la corrente IF deve essere nella direzione dell y negative.
2
Compito di Fisica 11/02/2013
Ogni risposta esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
Dati i vettori
?a = 3i + 3j − 2k
?b = −i − 4j + 2k
?c = 2i + 2j + k
calcolare
1) ?a · (?b × ?c)
2) ?a · (?b + ?c)
3) ?a × (?b + ?c)
Esercizio 2
Due auto identiche percorrono, inizialmente aﬃancate, una curva circolare di 90 gradi. I raggi delle
due traiettorie, interna ed esterna, sono Ri ed Re rispettivamente. La massima accelerazione radiale
sostenibile dalle auto prima che le gomme slittino vale a.
1) Calcolare il rapporto tra le massime velocità interna ed esterna vi e ve che le auto possono
tenere senza slittare in funzione di Ri ed Re . Può andare più veloce l’auto all’interno o quella
all’esterno?
2) Calcolare il rapporto tra i tempi impiegati ti e te per percorrere la curva alla velocità massima.
Quale auto esce prima dalla curva?
3) Se a = 3m/s2 , Ri = 20m, Re = 23m calcolare da che intervallo di tempo sono separate le auto
dopo la curva.
Esercizio 3
Un condensatore a facce piane parallele di area A e separazione tra le piastre d viene caricato con una
carica Q e lasciato isolato.
1) Calcolare l’energia potenziale elettrica U1 immagazzinata nel condensatore in funzione di A, d e
Q.
1
2) Una piastra metallica di area A e spessore d/2 inizialmente scarica viene inserita al centro del
condensatore lasciando una distanza d/4 tra le superﬁci della piastra e ciascuna faccia. Calcolate
l’energia U2 nella nuova conﬁgurazione.
3) Se U1 è diversa da U2 spiegare a cosa è dovuta la diﬀerenza.
Esercizio 4
Un ﬁlo rettilineo inﬁnito F è percorso da una corrente continua I. Al tempo t = 0 la corrente inizia a
diminuire secondo la legge IF (t) = I exp(−αt). A distanza d dal ﬁlo c’è una spira S quadrata di lato
l ? d. Spira e ﬁlo sono complanari. La spira ha resistenza totale R.
1) Utilizzando l’approssimazione l ? d calcolare, per t > 0 il ﬂusso Φ(t) del campo magnetico
generato da F attraverso S.
2) Calcolare la corrente IS (t) circolante in S per t > 0.
3) Calcolare l’energia totale U che verrà dissipata nella spira (suggerimento: calcolare la potenza
istantanea P (t) e integrarla da t = 0 a t = ∞ ).
2
Soluzioni Compito di Fisica 11/02/2013
Esercizio 1
1) -21
2) -9
3) 5i − 11j − 9k.
Esercizio 2
1) L’accelerazione
centripeta vale in modulo v 2 /r. Deve essere vi2 /Ri = ve2 /Re = a quindi vi /ve =
?
Ri /Re . L’auto all’esterno è più veloce.
2) Il tempo t necessario
per percorre la curva è π/2R/v per entrambe le auto quindi ti /te =
?
Ri ve /(Re vi ) = Ri /Re . L’auto all’interno esce prima dalla curva.
?
√
√
√
√
3) t = πR/(2 Ra) = π/2 R/a quindi te − ti = π( Re − Ri )/(2 a) ? 0.294s.
Esercizio 3
1) La capacità C vale C = ?0 A/d inoltre U1 = Q2 /(2C) quindi U1 = Q2 d/(2?0 A).
2) Dopo avere inserito la piastra il sistema è formato da 2 condensatori ciascuno di capacità pari a
4 volte quella in 1). Entrambi hanno carica Q quindi U2 = 2U1 /4 = U1 /2.
` facile vedere che per eﬀetto della carica indotta sulla piastra si crea una forza che attira la
3) E
piastra nel condensatore. Il lavoro di quella forza avviene a spese di U1 .
Esercizio 4
1) In modulo, nella regione in cui si trova S, il campo magnetico vale B(t) = µ0 IF (t)/(2πd). Dato
che il campo è perpendicolare ad S vale Φ(t) = l2 B(t) quindi
Φ(t) =
µ0 l2 Ie−αt
2πd
2)
IS (t) = −
µ0 l2 αIe−αt
dΦ(t) 1
=
dt R
2πdR
3) La potenza istantanea dissipata è P (t) = IS2 (t)R e l’energia totale dissipata è
? ∞
?
µ2 l4 α2 I 2 ∞ −2αt
µ2 l4 αI 2
U=
P (t) dt = 0 2 2
e
dt = 0 2 2
4π d R 0
8π d R
0
1
Compito di Fisica 05/04/2013
Ogni risposta esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
Una palla di massa M cade da altezza H. Nell’urto col suolo viene persa una frazione (1 − k) della
velocità della palla cioè se appena prima di toccare il suolo la velocità è v verso il basso, subito dopo
il rimbalzo la velocità è kv verso l’alto con k < 1. Calcolare, in funzione di k:
1) Il rapporto H1 /H dove H1 è l’altezza massima raggiunta dopo il primo rimbalzo.
2) Il rapporto T2 /T1 dove T1 è l’intervallo di tempo tra il primo e il secondo rimbalzo mentre T2 è
il tempo tra il secondo e il terzo.
3) Il numero di rimbalzi N richesto perchè la quota massima si riduca a metà di H. Stimare N per
k = 0.99.
Esercizio 2
Un campo di forze ammette come energia potenziale U (x, y, z) = kxyz dove k è un’opportuna costante.
1) Scrivere le dimensioni di k.
2) Scrivere le componenti del vettore forza nel punto P = (1, 1, 2) in funzione di k.
3) Una particella di massa m = 1kg e modulo della velocità v = 2m/s parte da O = (0, 0, 0) e
arriva in P con velocità nulla. Determinare il valore di k.
Esercizio 3
Un satellite in orbita può variare la sua velocità utilizzando un motore ionico. Il principio di funzionamento su cui si basa è quello di accelerare ioni con un campo elettrico e spararli nel vuoto come
in un motore a reazione. Supponete di avere un satellite con M = 1000kg che spara ioni di 87 Rb+
(m = 1.4 × 10−25 kg, q = 1.6 × 10−19 C) dopo averli accelerati con una diﬀerenza di potenziale V di
100kV. La velocità iniziale degli ioni è praticamente nulla. Il motore emette una corrente I di 1A e
viene azionato per un tempo T 10s.
1) Con che velocità ﬁnale rispetto al satellite si muovono gli ioni?
2) Quanto vale l’incremento di velocità ∆v ﬁnale del satellite? (Trascurare il calo di massa del
satellite e la sua velocità rispetto a quella degli ioni.)
3) A parità di V ed I è più conveniente utilizzare ioni Rb+ o ioni H + ?
1
Esercizio 4
Un ﬁlo rettilineo inﬁnito F è percorso da una corrente continua IF . A distanza d da F c’è una spira
S quadrata di lato l ? d percorsa da una corrente continua IS . S e F sono complanari e S ha un lato
parallelo a F . Le correnti IF e IS sono dirette in modo che F e S si attraggano. Per d si intende la
distanza tra F e il lato di S più vicino a F .
1) Calcolare il modulo della forza radiale che il ﬁlo esercita sulla spira.
2) Dimostrare che nel limite l ? d la forza varia come 1/d2 .
3) Se la massa di S è M , nell’approssimazione del punto 2), calcolare che velocità radiale v che si
deve dare ad S per metterla “in orbita circolare” attorno ad F .
2
Soluzioni Compito di Fisica 05/04/2013
Esercizio 1
1) Dalla conservazione dell’energia si vede subito che H1 /H = k 2 .
2) Il tempo tra 2 rimbalzi è 2v/g dove v è la velocità subito dopo il rimbalzo quindi T2 /T1 = k.
3) Deve essere (k 2 )N = 1/2 quindi 2N log k = − log 2 da cui
N =−
log 2
2 log k
Per k = 0.99 si ha N = 34.5 i.e. tra 34 e 35 rimbalzi.
Esercizio 2
1) Dato che [U]=J e [x]=[y]=[z]=m deve essere [k]=J/m 3 =kg/(m s).
2)
F? =
?
∂U
∂U
∂U
−
,−
,−
∂x
∂y
∂z
?
= (−2k, −2k, −k).
3
3) Dalla conservazione dell’energia meccanica si ha EO = EP cioè 1/2mv 2 = 2k quindi k = 1 J/m .
Esercizio 3
1) Dalla conservazione dell’energia si ha
1
qV = mv 2 ⇒ v =
2
?
2qV
? 4.8 × 105 m/s
m
2) La carica totale emessa è Q = IT . Il numero di cariche è N = Q/q e la quantità di moto totale
delle cariche è P = N mv. Il satellite acquista una quantità di moto uguale e opposta (nelle ipotesi
dell’esercizio) quindi ∆v = P/M . Riassumendo
?
?
IT m 2qV
IT 2mV
∆v =
=
? 4.2 mm/s
qM
m
M
q
3) Dal punto precedente si vede che V ∝
√
m quindi utilizzare ioni di massa elevata è preferibile.
1
Esercizio 4
1) Sui lati di S perpendicolari a F le forze sono in direzione parallela al ﬁlo e sono uguali ed opposte.
Sui lati paralleli le forse sono radiali, opposte, ma leggermente diverse in modulo dato che un lato
è più lontano dell’altro dal ﬁlo. La forza totale radiale vale:
?
?
µo IF IS l 1
1
f=
−
2π
d d+l
2) Se ? = l/d la formula precedente si può scrivere come:
?
?
µo IF IS l
1
µo IF IS l
µo IF IS l 2
f=
1−
?
?=
2πd
1+?
2πd
2πd2
3) ponendo f = M v 2 /d, dove si è trascurato il fatto che il centro di massa della spira è a distanza
d + l/2 e non d, si ha
?
µo IF IS
v=l
2πM d
2
Compito di Fisica 10/06/2013
Ogni risposta esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
Considerate il sistema in ﬁg. 1, con m2 = 3m1 supponendo trascurabile la massa della corda e, nelle
domande 1) e 2) la massa della carrucola.
m1
m2
1) Calcolare in funzione dell’accelerazione di gravità g l’accelerazione a2 con cui si muove m2 e il
modulo della forza che la corda esercita su m2 .
2) Calcolare l’accelerazione A del centro di massa del sistema costituito da m1 e m2
3) Se la carrucola ha massa M = m1 e raggio R e la corda non slitta sulla carrucola calcolare il
nuovo valore di a2 . Il momento di inerzia I della carrucola vale I = M R2 /2.
Esercizio 2
Un blocco di massa m scende senza attrito da un cuneo di massa M = 4m. Il blocco si muove senza
attrito sul cuneo e lo stesso fa il cuneo sul pavimento. Il sistema è inizialmente in quiete. Per il blocco
la diﬀerenza di quota del centro di massa tra la posizione iniziale e quella in cui si muove sul pavimento
è pari ad h.
1) Calcolare il rapporto tra le velocità ﬁnali del blocco e del cuneo.
2) Calcolare la velocità del blocco in funzione di g e h.
3) Se h è noto con un errore dell’1% mentre l’errore su g è trascurabile, calcolare l’errore percentuale
sulla velocità calcolata al punto precedente.
Esercizio 3
Due sfere conduttrici S1 e S2 hanno raggio R1 e R2 con R1 /R2 = 10 e sono separate da una distanza
D ? R1 in modo che si possa considerare trascurabile l’eﬀetto di una sfera sull’altra. Inizialmente S1
ha una carica Q mentre S2 è scarica. Con un lungo ﬁlo metallico si mettono per un attimo in contatto
le due sfere. In questo modo Q si divide tra S1 ed S2 portando le sfere allo stesso potenziale.
1) Calcolare che frazione di Q ﬁnisce su S2
2) Calcolare il rapporto E1 /E2 tra i moduli dei campi elettrici alla superﬁcie di S1 ed S2 rispettivamente.
3) Considerando S1 ed S2 come condensatori a sfera singola e utilizzando la formula E = CV 2 /2
calcolare la frazione dell’energia iniziale che è stata persa mettendo in contatto le due sfere.
Esercizio 4
Due ﬁli rettilinei inﬁniti sono diretti lungo l’asse z e intersecano il piano xy nei punti di coordinate
(−d, 0, 0) e (d, 0, 0). Nel primo ﬁlo passa una corrente I diretta nel verso delle z positive, nel secondo
una corrente uguale ma in direzione opposta.
? nell’origine.
1) Calcolare modulo, direzione e verso del campo magnetico B
? in un generico punto P = (x, 0, 0) con x > d
2) Calcolare modulo, direzione e verso di B
3) Mostrate che per x ? d il modulo del campo decresce, in funzione di x come 1/x2 .
Soluzioni Compito di Fisica 10/06/2013
Esercizio 1
Il sistema è equivalente a un sistema unidimensionale in cui la gravità agisce in direzioni opposte su m1
e m2 .
1) In questo problema unidimensionale F = ma si può scrivere come (m2 − m1 )g = (m1 + m2 )a
quindi
m2 − m1
g
a=
g=
m1 + m2
2
Per m2 deve valere m2 g − T = m2 g/2 quindi T = m2 g/2.
2) A = (m2 − m1 )/(m1 + m2 )a = g/4
3) Il modo più rapido per ottenere l’accelerazione è utilizzare la conservazione dell’energia. Scrivendo
la conservazione dell’energia dopo che m2 è scesa di una quantità x a partire dalla posizione iniziale
si ha
1
1
(m2 − m1 )gx = (m1 + m2 )v 2 + m1 R2 ω 2
2
4
Sostituendo Rω = v e scrivendo m2 come 3m1 l’eq. precedente si riduce a
9
2gx − v 2 = 0
4
Derivando questa relazione rispetto al tempo si ottiene 2gv − 92 va da cui a = 4g/9.
Esercizio 2
1) Sul sistema blocco–cuneo non agiscono forze sul piano orizzontale quindi la quantità di moto
orizzontale si conserva. Se V è la velocità del cuneo e v è quella del blocco vale M V = mv quindi
v/V = M/m = 4.
2) Dalla conservazione dell’energia si ha
1
1
5
mhg = mv 2 + M V 2 = mv 2 ⇒ v =
2
2
8
?
8gh
=2
5
?
2gh
5
3) Dato che v ∝ h1/2 vale ∆v/v = 1/2∆h/h quindi l’errore su v è dello 0.5%.
Esercizio 3
Se indichiamo con f la frazione di carica che ﬁnisce su S2 , la condizione che le due sfere siano allo stesso
potenziale è
(1 − f )Q
fQ
=
⇒ (1 − f )R2 = f R1
4π?0 R1
4π?0 R2
1
1) La soluzione dell’eq. per f è f = R2 /(R1 + R2 ) = 1/11.
2) Il modulo del campo elettrico alla superﬁcie di una sfera conduttrice carica è
E=
Q
4π?0 R2
quindi
E1
(1 − f )R22
R2
1
=
=
=
2
E2
f R1
R1
10
Sebbene la carica sia maggiore su S1 il campo è maggiore alla superﬁcie di S2 .
3) L’energia prima di mettere in contatto le sfere è
Ep =
1
Q2
CV 2 =
2
8π?0 R1
L’energia dopo è
Ed =
?
?
(1 − f )2 Q2
f 2 Q2
f 2 R1
110
10
+
= Ep (1 − f )2 +
= Ep
= Ep
8π?0 R1
8π?0 R2
R2
121
11
L’energia persa è quindi 1/11 dell’energia iniziale.
Esercizio 4
Il campo magnetico generato da un ﬁlo inﬁnito ha direzione e verso dati dalla regola della mano destra.
Il modulo si trova subito col teorema di Ampere. Il campo generato dai due ﬁli è la somma vettoriale
dei campi generati dai singoli ﬁli.
1) Il campo nell’origine e’ diretto lungo l’asse y positivo ed è 2 volte quello di un singolo ﬁlo quindi
? = (0, µ0 I/(πd), 0).
B
? = (0, −B(x), 0) dove
2) Per x > d il campo è diretto lungo l’asse y negativo quindi ha componenti B
?
?
µ0 I
1
1
µ0 I 2d
−
=
B(x) =
2π x − d x + d
2π x2 − d2
3) Se x ? d nella formula precedente si può porre x2 − d2 ? x2 .
2
Compito di Fisica 15/07/2013
Ogni risposta esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
Nel sistema in ﬁgura vale m1 = 2m2 . Indichiamo con µs e µd i coeﬃcienti di attrito statico e dinamico,
rispettivamente, tra m1 e il tavolo. Trascurate le masse della carrucola e della fune. Le masse sono
inizialmente ferme.
m1
m2
1) Calcolare il minimo valore di µs , che indichiamo con µm , necessario perché le masse rimangano
ferme.
2) Per µs < µm il sistema si muove. Se, in questo caso, µd = 4µm /5 calcolare l’accelerazione delle
masse e il rapporto tra la tensione della fune e il peso di m2 .
3) Calcolare il lavoro fatto dalla forza di attrito dopo t secondi dall’inizio del moto.
Esercizio 2
Nel sistema in ﬁgura un disco di massa m compie un moto circolare uniforme di raggio r sostenuto
da un contrappeso di massa 2m. All’inizio la velocità angolare ω del disco è tale che il sistema è
all’equilibrio.
r
2m
1) Calcolare ω in funzione di r e g.
m
2) Il contrappeso viene tirato da una forza esterna verso il basso lentamente in modo da ridurre r
alla metà del valore iniziale. Calcolare il nuovo valore ω ? della velocità angolare.
3) Calcolare il lavoro fatto dalla forza esterna per abbassare il contrappeso.
Esercizio 3
Un semplice dispositivo per misurare potenziali elevati (elettroscopio) è mostrato in ﬁgura. Due ﬁli
conduttori di massa trascurabile e lunghezza L reggono due sferette di raggio r e massa m. Quando
l’elettroscopio viene messo in contatto con un corpo a potenziale V le sfere si caricano e si respingono.
A partire dalla misura dell’angolo θ si può risalire a V .
θ
L
r
m
1) Supponendo che la distanza tra le sfere sia tale da poter trascurare l’eﬀetto di una sfera sull’altra
(i.e. 2L sin θ ? r) calcolare la carica q su ciascuna sfera in funzione di V .
2) Calcolare V in funzione dell’angolo θ.
3) Se L = 1m, r = 1cm e m = 1g calcolare il valore di V richiesto per osservare θ = 0.1rad.
Approssimate g con 10m/s2 e considerate sin θ ? θ e cos θ ? 1.
Esercizio 4
Una spira rettangolare conduttrice di dimensioni a × b, con resistenza R, è parzialmente immersa in
? La spira
un campo magnetico uniforme di modulo B. La superﬁcie della spira è perpendicolare a B.
viene estratta dal campo con velocità costante ?v parallela al lato b della spira.
B
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
a×
×
×
×
×
×
×
×
×
b
×
×
×
×
×
×
×
v
×
1) Calcolare la corrente I circolante nella spira durante l’estrazione.
2) Se l’estrazione richiede un tempo T calcolare il lavoro meccanico fatto per estrarre la spira e
l’energia dissipata nella spira per eﬀetto Joule e mostrare che sono uguali.
? forma un angolo θ con la direzione
3) Come cambia la corrente I calcolata al punto 1) se B
perpendicolare alla spira?
Soluzioni Compito di Fisica 15/07/2013
Esercizio 1
1) Le forze agenti su m1 in direzione orizzontale sono, in modulo, la tensione della fune T e la forza
di attrito Fa , che hanno stessa direzione e versi opposti. Il modulo massimo di Fa vale m1 gµs .
Se il sistema è in quiete vale T = m2 g. Dalla condizione Fa = T si ricava µm m1 g = m2 g cioè
µm = 0.5.
2) Se µs < 0.5 e µd = 0.4, la forza totale F agente sul sistema formato da m1 e m2 vale in modulo
F = m2 g − µd m1 g quindi a = F/(m1 + m2 ) = g/15. La tensione T della fune si può calcolare
considerando m2 dato che m2 g − T = m2 g/15, da cui T = 14m2 g/15 quindi T /m2 g = 14/15.
3) Lo spazio percorso nel tempo da 0 a t è x = 1/2at2 . Dato che la forza d’attrito è costante ed è
sempre in direzione opposta al moto, il lavoro è semplicemente L = −Fa x = −m1 2/5g × 1/30gt2 =
−m1 g 2 t2 /75.
Esercizio 2
1) La forza centripeta per il disco è fornita dal contrappeso quindi mω 2 r = 2mg quindi ω =
?
2g/r
2) Il momento angolare del disco rispetto al punto O del tavolo in cui passa la corda si conserva perché
la forza è centrale (sempre diretta lungo ?r) quindi il momento angolare rispetto a O si conserva.
2
Il momento angolare è diretto lungo
? la verticale e vale inizialmente in modulo mvr = mωr e alla
? 2
?
ﬁne mω r /4 quindi ω = 4ω = 4 2g/r.
3) Il lavoro si può calcolare applicando la conservazione dell’energia. L’energia iniziale è
Ei =
1
1
mv 2 = mω 2 r 2 = mgr
2
2
mentre l’energia ﬁnale è
Ef = 2mω 2 r 2 − mgr = 3mgr
dove si è tenuto conto che alla ﬁne il contrappeso di massa 2m è sceso di r/2 e quindi ha perso
energia potenziale gravitazionale. Il lavoro fatto per abbassare il contrappeso è Ef − Ei = 2mgr
Esercizio 3
1) Per una sfera conduttrice isolata il legame tra V e q è
q
V =
⇒ q = 4π?0 rV
4π?0 r
2) La tensione del ﬁlo bilancia la gravità mg e la repulsione elettrostatica q 2 /(16π?0 L2 sin2 θ) quindi
?
q2
4π?0 r 2 V 2
2L sin θ mg tan θ
tan θ =
=
⇒V =
r
4π?0
16π?0 L2 sin2 θmg
4L2 sin2 θ mg
3) Dalla formula precedente, ponendo tan θ = sin θ = θ si ottiene V ? 60kV. Il valore di V è in eﬀetti
troppo elevato per essere raggiunto in aria con sfere di quelle dimensioni.
1
Esercizio 4
1) Il ﬂusso del campo attraverso la spira in funzione del tempo, durante l’estrazione si può scrivere
come
? = c − Bavt
Φ(B)
dove c è una costante, quindi la f.e.m. indotta V vale
V =−
?
Φ(B)
= Bav
dt
La corrente I è data dalla legge di Ohm: I = V /R = Bav/R.
2) La corrente circolante lungo il lato a della spira, per eﬀetto di B esercita una forza di modulo
F = aIB = B 2 a2 v/R in direzione opposta a ?v . Il lavoro meccanico è quindi semplicemente
L = F vT = B 2 a2 v 2 T /R. L’energia dissipata per eﬀetto Joule E è invece pari a E = RI 2 T =
B 2 a2 v 2 T /R quindi, come ci si aspetta, L = E.
3) In questo caso il ﬂusso diventa
? = (c − Bavt) cos θ
Φ(B)
quindi I = Bav cos θ/R.
2
Compito di Fisica 11/09/2013
Ogni risposta esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
La ﬁgura mostra un camion di massa M e un rimorchio di massa m collegati mediante un cavo
perfettamente ﬂessibile, inestensibile e di massa trascurabile. Camion e rimorchio sono collocati su
un pendio inclinato di un angolo ϕ rispetto all’orizzonte. Il coeﬃciente di attrito statico tra terreno e
ruote vale µ.
1) Le ruote del camion sono tutte bloccate da un freno, mentre quelle del rimorchio possono ruotare
liberamente. Stabilire il valore massimale Rmax del rapporto m/M oltre il quale camion e
rimorchio iniziano a scivolare a valle. Discutere se Rmax dipende dalla gravità. Calcolare il
valore numerico di Rmax nel caso particolare di µ = 0.6 e ϕ = 20◦ .
2) A un certo istante, mentre il sistema è fermo, il freno del camion viene completamente rilasciato.
Calcolare la velocità acquisita da camion e rimorchio dopo che la quota del centro di massa del
sistema si è abbassata di un tratto h rispetto al valore iniziale.
3) Ripetere il calcolo al punto 2) nel caso in cui il freno del camion venga rilasciato solo in parte
e, complessivamente, continui quindi ad applicare al sistema una data forza frenante F diretta
lungo il pendio.
Esercizio 2
Durante la missione Apollo 15 l’astronauta D. Scott lasciò cadere contemporaneamente una piuma
e un martello sulla superﬁcie lunare. La piuma e il martello, in assenza di atmosfera, raggiunsero
il suolo simultaneamente. Nel ﬁlmato si nota che, a causa della minore accelerazione di gravità, gli
oggetti si muovono più lentamente di quanto non fa un oggetto pesante sulla terra. Supponiamo che
sulla luna gli oggetti impieghino un tempo T = 1s per cadere da un’altezza h = 0.8m.
1) Calcolare il valore gl dell’accelerazione di gravità sulla luna.
2) Sapendo che la distanza Terra–Luna è circa d = 3.8 × 108 m e che la luna copre, vista dalla terra,
un angolo θl di mezzo grado (pari a circa 8.7 mrad) calcolare il raggio Rl della luna.
3) Scrivere il rapporto tra la massa della terra Mt e la massa della luna Ml in funzione dei rapporti
gt /gl e Rt /Rl dove gt è il valore di g sulla terra e Rt è il raggio della terra. Utilizzando i risultati
dei punti 1) e 2) e assumento gt = 10m/s2 e Rt = 6.4 × 106 m calcolare il valore numerico
approssimato di Mt /Ml .
Esercizio 3
Tre cariche di valore +Q, +2Q e +4Q sono disposte ai vertici di un rettangolo di base 4d e altezza 3d,
come in ﬁgura.
1) Calcolare il potenziale V nel quarto vertice del rettangolo (punto P in ﬁgura)
? in P .
2) Calcolare il campo elettrico E
3) Si vuole sostituire la carica +Q con una tale che V in P sia nullo. Che valore deve avere la
nuova carica?
Esercizio 4
Una particella di carica +q e massa m si muove in direzione x con velocità v. La particella sta tra
due regioni di larghezza d lungo l’asse x e indeﬁnitamente estese lungo gli assi y e z in cui è presente
un campo magnetico uniforme di modulo B diretto in direzione −z. Le due regioni sono separate da
una distanza h. Il sistema è schematizzato nella ﬁgura che segue.
1) Calcolare il valore massimo vmax che può avere v per non uscire mai dalla regione compresa tra
i campi magnetici.
2) Calcolare, in funzione di v ≤ vmax il tempo T che la particella impiega per tornare al punto di
partenza.
3) Calcolare il valore minimo di T al variare di v.
Soluzioni Compito di Fisica 11/09/2013
Esercizio 1
1) La forza in direzione parallela al piano inclinato diretta verso il basso vale in modulo F = (M +
m)g sin ϕ. Il massimo valore della forza d’attrito vale invece, in modulo, Fa = µM g cos ϕ. Dalla
condizione F ≤ Fa si ricava (1 + m/M ) tan ϕ ≤ µ quindi Rmax = µ/ tan ϕ − 1. Si vede che Rmax
non dipende da g. Coi valori numerici dati si ha Rmax ≃ 0.65.
√
2) Dalla conservazione dell’energia si ottiene subito (M + m)gh = (M + m)v 2 /2 quindi v = 2gh.
3) La forza complessiva parallela al pendio, diretta verso il basso vale Ft = (M + m)g sin ϕ − F ed
è costante in modulo. Se il centro di massa scende di h la distanza percorsa vale x = h/ sin ϕ.
Applicando il teorema dell’energia cinetica si ottiene
?
1
2F h
2
Ft x = (M + m)v − 0 ⇒ v = 2gh −
2
(M + m) sin ϕ
Esercizio 2
2
1) Da h = gl T 2 /2 si ottiene gl = 2h/T 2 ≃ 1.6m/s .
2) Rl = d sin(θl /2). Qui si può utilizzare l’approssimazione sin x ≃ x se x ≪ 1 quando x è espresso
in radianti quindi Rl ≃ dθl /2 ≃ 1.7 × 106 m.
3) Si può scrivere
gt =
GMt
Rt2
e una formula analoga vale anche per la luna. Prendendo il rapporto tra le due formule si ottiene
subito
? ?2
Mt
gt R t
=
Ml
gl R l
e sostituendo i valori numerici si ottiene Mt /Ml ≃ 89. Calcoli meno approssimati danno un valore
prossimo a 81.
Esercizio 3
1)
V (P ) =
Q
4πǫ0 d
?
√
1
2 4
+ +
3 4
32 + 42
1
?
=
Q
4πǫ0 d
?
28
15
?
=
7Q
15πǫ0 d
?
2) Calcoliamo le componenti Ex ed Ey di E
?
?
?
?

Q
Q
4
4
1
141


E
(P
)
=
×
+
0
+
=
x


4πǫ0 d2 25 5
16
4πǫ0 d2 500





Ey (P ) =
Q
4πǫ0 d2
?
1
3 2
× + +0
25 5 9
?
Q
=
4πǫ0 d2
?
277
1125
?
3) Se si sostituisce la carica Q con una di valore kQ nell’eq. al punto 1) si trova la seguente equazione
per k:
25
k 2
+ +1=0⇒k =−
5 3
3
Esercizio 4
? e ?v sono sempre perpendicolari, la particella compie un
Nelle regioni col campo magnetico, dato che B
moto circolare uniforme di raggio R. Deve essere mv 2 /R = qvB quindi R = mv/qB.
1) La particella non esce dal campo magnetico se R ≤ d quindi se v ≤ dqB/m = vmax .
2) Se v ≤ vmax la particella compie una traiettoria come in ﬁgura di lunghezza totale l = 2πR + 2h.
Dato che il modulo della velocità è costante T = l/v. Sostituendo si trova
T =
2πm 2h
+
qB
v
3) Dato che T è formato da due termini di cui uno costante e l’altro che diminuisce con v è chiaro
che il tempo minimo si ottiene per v = vmax . Sostituendo si trova
?
?
2m
h
π+
Tmin =
qB
d
2
Compito di Fisica 15/01/2014
Ogni risposta esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
Un modo ben noto per stimare la profondità h di un pozzo è lasciar cadere un sasso e misurare dopo
quanto tempo T si sente il rumore. A seconda della profondità del pozzo i calcoli possono essere più
o meno complicati.
1) Per un pozzo poco profondo si può considerare come inﬁnita la velocità del suono. Scrivere in
questo caso formula che esprime h in funzione di T e g. Se T = 2.0 ± 0.1s e g = 9.8m/s2 con
errore trascurabile, calcolare h con la sua incertezza ∆h.
2) Se il pozzo è molto profondo non si può trascurare la velocità vs del suono. Vale invece T = t1 +t2
dove t1 è il tempo che il sasso impiega per raggiungere il fondo e t2 è il tempo che il suono impiega
per propagarsi dal fondo alla superﬁcie. Scrivere la formula per h in funzione di T, g e vs in
questo caso.
3) Stimare l’errore commesso al punto 1) per avere trascurato vs ponendo vs =340m/s.
Esercizio 2
Una barra omogenea di massa m e lunghezza l è inizialmente in posizione verticale con l’estremo a
contatto col pavimento ﬁssato in modo che la barra sia libera di ruotare ma non di scivolare. Al tempo
t = 0 la barra inizia a cadere.
1) Calcolare la velocità angolare ω con cui la barra arriva al suolo e discutere come dipende ω da
m ed l.
2) Come al punto 1) ma per la velocità lineare v del centro di massa della barra.
3) Usate il metodo dimensionale per valutare la dipendenza di T da l ed m dove T è il tempo che la
barra impiega per cadere. Se una barra di lunghezza l e massa m impiega t1 per cadere quanto
vale il tempo t2 per una barra di massa 2m e lunghezza 2l?
Esercizio 3
Due cariche qA = −3q e qB = +2q (dove q è dato) sono poste sui vertici A e B del triangolo rettangolo
ˆ = α. Calcolare:
ABP mostrato in ﬁgura. Del triangolo si conosce l’ipotenusa AP= l e l’angolo BAP
1) L’energia potenziale del sistema costituito dalle due cariche.
2) Il campo elettrico (modulo, direzione e verso) nel punto P.
3) Il potenziale elettrico nel punto P.
Esercizio 4
Un ﬁlo di sezione quadrata di lato L e lunghezza inﬁnita, rappresentato dal quadrato grigio in ﬁgura,
è percorso da una corrente I uscente dal foglio. Assumete la densità di corrente nel ﬁlo uniforme
1) Calcolare, utilizzando il teorema di Ampere, la circuitazione del campo magnetico lungo la linea
chiusa ABCD, con AB = 2L.
2) Stessa domanda per la linea chiusa EF GH con EF = L/2.
3) Calcolare, lungo il segmento DA,
?
A
? · d?l
B
D
Soluzioni Compito di Fisica 14/01/2014
Esercizio 1
1) Il sasso compie un moto con accelerazione uniforme g e velocità iniziale nulla quindi h = gT 2 /2.
Le formule per la propagazione dell’errore inoltre danno
? ?
? dh ?
∆h = ?? ?? ∆T = gT ∆T
dT
quindi h = 19.6 ± 2.0m.
2) In questo caso si deve risolvere il seguente sistema di tre equazioni nelle incognite t1 , t2 e h:


 T = t1 + t2
h = gt21 /2


h = v s t2
ricavando t1 dalla seconda eq. e t2 dalla terza, sostituendo nella prima ed elevando al quadrato si
ricava la seguente eq. di II grado in h
?
v2
h − 2 vs T + s
g
2
?
h + T 2 vs2 = 0
che ammette come soluzione valida
h=
?
v2
vs T + s
g
?
−
??
vs T +
vs2
g
?2
− vs2 T 2
3) Si possono naturalmente sostituire i valori numerici nell’eq. precedente ottenendo h ? 18.5m
da cui si deduce che il pozzo è circa 1.1m meno profondo di quanto stimato in 1). Con un po’
di
√ algebra, tuttavia, si possono sempliﬁcare i calcoli numerici. Ricondando che se x ? 1 vale
1 − x ? 1 − x/2, possiamo scrivere


?
?
?
?
2
2
2
v
vs T
v2 T 2
gT 2


? =
h = vs T + s  1 − ?
? ? s

?
?1 − ?
2
2
v
g
2(1 + gT /vs )
v2
2 vs T + gs
vs T + gs
Un’altra approssimazione utilizzabile è 1/(1 + x) ? 1 − x se x ? 1 dove, nel nostro caso x = gT /vs
da cui
?
?
gT 2
gT
h?
1−
2
vs
quindi il valore di h in 1) è errato di −g 2 T 3 /2vs ? −1.1m. Il risultato è anche interpretabile
supponendo di eseguire una serie di approssimazioni successive e fermandosi al secondo passo. Da
prima si trascura il valore ﬁnito di vs quindi h0 = gT 2 /2. Poi, sapendo che il pozzo è profondo
circa h0 si nota che t2 ? h0 /vs = gT 2 /2vs quindi al passo successivo h1 = g(T − t2 )2 /2 da cui,
supponendo T ? t2 si trova che h1 è minore di h0 per una quantità pari a ∆h = gT t2 = g 2 T 3 /2vs .
1
Esercizio 2
1) Usando la conservazione dell’energia si vede che il centro di massa della barra passa da quota l/2
a 0 rispetto al suolo. L’energia potenziale gravitazionale diventa energia cinetica di rotazione. Il
momento di inerzia per una barra che ruota attorno ad un estremo vale I = ml2 /3 quindi
?
l
1 2
1 2 2
3g
mg = Iω = ml ω ⇒ ω =
2
2
6
l
√
quindi ω non dipende da m e varia come 1/ l.
√
2) v = ωl/2 ⇒ v = 3gl/2.
?
3) Dovendo costruire un tempo T a partire da g, l e √
m l’unico modo è porre T = k l/g dove k è
una costante numerica adimensionale, quindi t2 = 2t1 .
Esercizio 3
1) L’energia potenziale di due cariche separate da una distanza r vale U = kq1 q2 /r quindi in questo
caso U = −6kq 2 /(l cos α)
2) Consideriamo un sistema di riferimento in cui l’asse x è lungo AB, l’asse y lungo BP e l’origine
? )A generato in P dalla carica in A ha componenti
in B. Il campo E(P
? )A = kq (−3 cos α i − 3 sin α j)
E(P
l2
Nello stesso modo
? )B = kq 2 j
E(P
l2 sin2 α
quindi
? ) = kq
E(P
l2
?
2 − 3 sin2 α
−3 cos α i +
j
sin2 α
?
3) Il potenziale è la somma dei potenziali delle due cariche quindi
V (P ) = k
−3q
2q
kq(2 − 3 sin α)
+k
=
l
l sin α
l sin α
Esercizio 4
1) Il teorema di Ampere assicura che la circuitazione è pari a ±µ0 Ic dove Ic è la corrente concatenata
con la linea chiusa. L’ambiguità sul segno si può risolvere con la regola della mano destra. Dato
che Ic = I la circuitazione è +µ0 I.
2) In questo caso, dato che la densità di corrente è uniforme, Ic = I/4 quindi la circuitazione vale
+µ0 I/4.
3) Per la simmetria del problema i 4 segmenti AB, BC, CD e DA contribuiscono nello stesso modo
alla circuitazione calcolata al primo punto quindi il valore richiesto deve valere +µ0 I/4.
2
Compito di Fisica 17/02/2014
Ogni risposta esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
La luna ha un raggio R di circa 1700km mentre l’accelerazione di gravità alla superﬁcie è g = 1.6m/s2 .
1) Calcolare con quale velocità v un astronauta sulla luna deve lanciare un sasso in direzione
orizzontale per mandarlo in orbita e quanto tempo impiega il sasso per tornare dall’astronauta
trascurando la rotazione della luna.
2) Calcolare a che distanza dal centro della luna R2 si trova l’orbita circolare che ha periodo di
rotazione T2 = 10000s. Si consiglia di utilizzare la terza legge di Keplero.
3) Calcolare la velocità di fuga dalla superﬁcie lunare, vale a dire la velocità minima con la quale
un astronauta deve lanciare un sasso verso l’alto per non vederlo ricadere.
Esercizio 2
Un anello di massa M e raggio R è ﬁssato a un perno nel punto P ma per il resto è libero di muoversi
sotto l’eﬀetto della forza di gravità. A t = 0 la congiungente tra P e il centro dell’anello C forma un
angolo θ con la verticale.
P
θ
C
1) Calcolare con quale velocità angolare ω sta ruotando l’anello attorno a P nel momento in cui C
raggiunge la quota minima, cioè quando θ = 0.
2) Ripetere il calcolo precedente se invece di un anello si usa un disco omogeneo.
3) Calcolare il periodo delle oscillazioni dell’anello se θ ≪ 1rad quindi valgono le approssimazioni
sin θ ≃ θ e (1 − cos θ) ≃ θ 2 /2.
Esercizio 3
Due cariche puntiformi +q sono nel piano xy nei punti di coordinate C1 = (0, 0) e C2 = (L, 0).
1) Calcolare il potenziale V prodotto dalle 2 cariche sull’asse x sulla semiretta x > L.
2) Mostrare che per x ≫ L il potenziale è approssimativamente uguale a quello di una carica di
valore +2q nell’origine
3) Supponiamo che la carica +2q sia ora uniformemente distribuita sul segmento [0, L]. Calcolare
nuovamente V per x > L.
4) Calcolare il limite per x ≫ L per V calcolato in 3) e mostrare che anche in questo caso si ottiene
il potenziale di una carica puntiforme +2q nell’origine. Tenere presente che per |a| ≪ 1 vale
l’approssimazione log(1 + a) ≃ a.
Esercizio 4
Considerate una particella di massa m e carica q inizialmente in quiete.
1) La particella viene accelerata passando da un punto I a un punto F . La diﬀerenza di potenziale
elettrico tra i 2 punti è V . Calcolare la velocità v della particella in F
2) Successivamente la particella entra in una regione in cui è presente un campo magnetico di
modulo B e direzione perpendicolare a v. Calcolare il raggio r dell’orbita circolare nel campo
magnetico.
3) Supponete di aumentare m del 2%, mantenendo q, V e B invariati. Applicando la propagazione
degli errori calcolare di quanto varia in percentuale r.
Soluzioni Compito di Fisica 14/02/2014
Esercizio 1
1) Eguagliando la accelerazione centripeta v 2 /R a quella di gravità g si ottiene v =
T necessario a percorrere l’orbita è
?
2πR
R
= 2π
T =
v
g
√
gR. Il tempo
Sostituendo i valori numerici si ottiene v ≃ 1650m/s e T ≃ 6450s.
2) La terza legge di Keplero vale per tutte le orbite attorno ad uno stesso corpo celeste. Deve essere
quindi R3 /T 2 = R23 /T22 . Risolvendo per R2 si trova
?
?
2
Ts2 g
3 T2
3
R2 = R
=
R
≃ 2270km
T2
4π 2 R
3) L’energia totale di un corpo di massa m deve essere non negativa per potere abbandonare la luna
quindi
?
1
Mm
1
mv 2 − G
≥ 0 ⇒ v 2 − gR > 0 ⇒ v ≥ 2gR ≃ 2330m/s
2
R
2
Dove M è la massa della luna e si è usato il fatto che g = GM/R2 .
Esercizio 2
1) Il centro di massa C scende di una quantità R(1 − cos θ). L’energia potenziale gravitazionale viene
convertita in energia cinetica di rotazione attorno al punto P quindi
M gR(1 − cos θ) =
1
IP ω 2
2
Dal teorema dell’asse parallelo si ottiene IP = IC + M R2 e dalle tabelle IC = M R2 quindi
?
g(1 − cos θ)
ω=
R
2) Rispetto al punto precedente cambia solo IC = M R2 /2 quindi
?
4g(1 − cos θ)
ω=
3R
3) Il problema si può risolvere con la conservazione dell’energia o con l’eq. del momento angolare.
Nel primo modo si può scrivere la conservazione dell’energia per un angolo φ generico
M gRφ2
1
1
+ IP ω 2 = constante
mgR(1 − cos φ) + IP ω 2 = constante ≃
2
2
2
1
dove nel secondo passaggio si è approssimato (1 − cos φ). Derivando rispetto al tempo l’equazione
precedente e ricordando le deﬁnizioni di velocità angolare ω = dφ/dt e accelerazione angolare
α = dω/dt si ha:
M gRφω + IP ωα = 0 ⇒ (g/2R)φ + α = 0
quando ω ?= 0. L’equazione ottenuta per ?
φ è quella di un moto armonico con ω 2 = g/2R
2
(confrontare con ω x + a = 0) quindi T = 2π 2R/g.
In alternativa si può scrivere, per la componente del momento angolare che esce dal foglio
d(Ip ω)
= −M gR sin φ ⇒ Ip α ≃ M gRφ ⇒ (g/2R)φ + α = 0
dt
che porta allo stesso risultato ottenuto in precedenza. Il periodo di oscillazione dell’anello è lo
stesso di un pendolo di lunghezza 2R.
Esercizio 3
1)
q
V =
4πǫ0
?
1
1
+
x x−L
?
=
q 2x − L
4πǫ0 x(x − L)
2) Il risultato si ottiene subito dal punto precedente notando che 2x − L ≃ 2x e x(x − L) ≃ x2 .
3) La densità lineare di carica vale λ = 2q/L. Il potenziale V si può scrivere come
V =
λ
4πǫ0
?
L
0
dt
λ
log
=−
x−t
4πǫ0
?
x−L
x
?
=
λ
log
4πǫ0
?
x
x−L
?
4) Notando che
− log
?
x−L
x
?
?
L
= − log 1 −
x
?
≃
L
x
Si trova il risultato richiesto dato che λL = 2q.
Esercizio 4
1) Dalla conservazione dell’energia si ha mv 2 /2 = qV ⇒ v =
?
2qV /m.
2) Dato che campo magnetico e velocità sono ortogonali si possono semplicemente eguagliare il modulo della forza centripeta con quello della forza di Lorentz quindi mv 2 /r = qvB ⇒ r = mv/qB.
Sostituendo v dal punto 1) si ottiene:
?
2V m
r=
qB 2
3) Dato che r ∝ m1/2 la propagazione degli errori porta a
∆r
1 ∆m
=
r
2 m
Nel nostro caso ∆m/m = 2% quindi r aumenta dell’1%.
2
Compito di Fisica 24/04/2014
Ogni risposta esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
Due masse m1 = m e m2 = 2m sono sistemate come in ﬁgura. L’attrito sul piano inclinato è
trascurabile.
m1
m2
1) Supponendo trascurabili la massa della carrucola e del ﬁlo calcolare per quale angolo θ0 del piano
inclinato le masse sono in equilibrio.
2) Se θ = 2θ0 calcolare con quale accelerazione si muove m1 .
3) Se la carrucola, considerata come un disco omogeneo, ha massa m e raggio r come cambia
l’accelerazione?
Esercizio 2
Un corpo solido è formato da tre masse puntiformi tenute assieme da barre di massa trascurabile.
Le masse m1 = m, m2 = 2m e m3 = m hanno coordinate, nel piano xy pari a (−l, 0), (0, l) e (l, 0)
rispettivamente.
1) Calcolare le coordinate del centro di massa
2) Calcolare i momenti di inerzia relativi agli assi x, y e z e veriﬁcare che Iz = Ix + Iy .
3) Calcolare il momento di inerzia rispetto ad un asse Ic parallelo all’asse z e passante per il centro
di massa. Si consiglia di utilizzare il teorema dell’asse parallelo.
Esercizio 3
Una particella di massa m e carica q è inizialmente in quiete nel punto O. Al tempo t = 0 viene acceso
un campo elettrico uniforme di modulo E diretto lungo l’asse x. Al tempo t = T il campo elettrico
viene spento e si accende un campo magnetico uniforme di modulo B diretto lungo z.
1) Al tempo t = T quanto valgono la distanza d percorsa dalla particella e la sua velocità v.
2) Calcolare il modulo di B in funzione di m, q e T per cui la particella compie una traiettoria
circolare di raggio 2d.
3) Calcolare il periodo dell’orbita nel campo magnetico in funzione di T quando B ha il valore
calcolato in 2).
Esercizio 4
In un solenoide di N spire, lunghezza L e raggio R scorre una corrente I0 . Una spira piana di raggio
maggiore di R e resistenza r circonda il solenoide nel piano a metà altezza del solenoide.
1) Calcolare il valore approssimato del modulo del campo magnetico B all’interno del solenoide
utilizzando il teorema di Ampere e supponendo il solenoide di lunghezza inﬁnita.
2) Calcolare l’energia immagazzinata nel campo magnetico utilizzando il valore di B ottenuto in
1).
3) Se a t = 0 la corrente nel solenoide inizia a diminuire secondo la legge I(t) = I0 exp(−γt) calcolare
il valore assoluto del rapporto |i(t)/I(t)| tra le correnti circolanti nella spira e nel solenoide.
Soluzioni Compito di Fisica 24/04/2014
Esercizio 1
1) Deve essere mg = 2mg sin θ0 quindi sin θ0 = 1/2 cioè θ0 = π/6.
?
2) Ovviamente m1 si muove verso l’alto. Per il sistema costituito dalle
√ 2 masse F = √M?a si può
scrivere come mg(2 sin 2θ0 − 1) = 3ma quindi, dato che sin(π/3) = 3/2 si ha a = g( 3 − 1)/3.
3) Il modo più semplice per risolvere il problema è utilizzare la conservazione dell’energia. Se m1
sale di una quantità y deve valere
2mgy sin 2θ0 = mgy +
3m 2 1 2
v + Iω
2 y 2
Inoltre dato che I = mr 2 /2 e vy = ωr si ottiene
?
?
√
3 1
7
vy2 = vy2
gy( 3 − 1) =
+
2 4
4
Derivando l’uguaglianza rispetto al tempo e ricordando che dy/dt = vy e dvy2 /dt = 2vy a si ottiene
√
a = g2( 3 − 1)/7 quindi a = 6/7a2 dove a2 è l’accelerazione calcolata in 2).
Esercizio 2
1) Per simmetria deve essere xc = 0 mentre yc = 2ml/(4m) = l/2.
2) Ix = 2ml2 , Iy = ml2 + ml2 = 2ml2 , Iz = ml2 + 2ml2 + ml2 = 4ml2 = Ix + Iy
3) Deve essere Ic + 4m(l/2)2 = Iz quindi Ic = 3ml2 .
Esercizio 3
1) Nel campo elettrico la particella si muove con accelerazione costante diretta lungo x a = qE/m.
Dopo un tempo T si ha d = qET 2 /2m e v = qET /m.
2) Nel campo magnetico costante la particella percorre una traiettoria circolare per cui vale qvB =
mv 2 /r quindi B = mv/qr. Dato che v/r = v/2d = 1/T si ha B = m/(qT ).
3) Il periodo dell’orbita è 2πr/v = 4πd/v = 2πT .
Esercizio 4
1) Il teorema di Ampere, nel limite di un solenoide inﬁnito, da subito LB = µ0 Ic dove la corrente
concatenata Ic vale N I0 quindi B = µ0 I0 n dove n = N/L è il numero di spire per unità di
lunghezza.
1
2) Dato che il campo è approssimato come costante nel solenoide e nullo fuori l’energia EB è data
semplicemente dalla densità di energia u = B 2 /(2µ0 ) per il volume del solenoide V = πR2 L quindi
EB =
π
πµ0 I02 N 2 R2
µ0 I02 n2 R2 L =
2
2L
3) Il ﬂusso φB (t) del campo magnetico attraverso la spira vale
φB (t) = B(t)πR2 = πµ0 nI(t)R2
Dato che la f.e.m. V (t) vale V (t) = −dΦB /dt e i(t) = V (t)/r si ottiene
?
?
? i(t) ? πµ0 nR2 γ
?
?
? I(t) ? =
r
Si noti che il risultato non dipende dal tempo.
2
Soluzioni Compito di Fisica 24/04/2014
Esercizio 1
1) Deve essere mg = 2mg sin θ0 quindi sin θ0 = 1/2 cioè θ0 = π/6.
?
2) Ovviamente m1 si muove verso l’alto. Per il sistema costituito dalle
√ 2 masse F = √M?a si può
scrivere come mg(2 sin 2θ0 − 1) = 3ma quindi, dato che sin(π/3) = 3/2 si ha a = g( 3 − 1)/3.
3) Il modo più semplice per risolvere il problema è utilizzare la conservazione dell’energia. Se m1
sale di una quantità y deve valere
2mgy sin 2θ0 = mgy +
3m 2 1 2
v + Iω
2 y 2
Inoltre dato che I = mr 2 /2 e vy = ωr si ottiene
?
?
√
3 1
7
vy2 = vy2
gy( 3 − 1) =
+
2 4
4
Derivando l’uguaglianza rispetto al tempo e ricordando che dy/dt = vy e dvy2 /dt = 2vy a si ottiene
√
a = g2( 3 − 1)/7 quindi a = 6/7a2 dove a2 è l’accelerazione calcolata in 2).
Esercizio 2
1) Per simmetria deve essere xc = 0 mentre yc = 2ml/(4m) = l/2.
2) Ix = 2ml2 , Iy = ml2 + ml2 = 2ml2 , Iz = ml2 + 2ml2 + ml2 = 4ml2 = Ix + Iy
3) Deve essere Ic + 4m(l/2)2 = Iz quindi Ic = 3ml2 .
Esercizio 3
1) Nel campo elettrico la particella si muove con accelerazione costante diretta lungo x a = qE/m.
Dopo un tempo T si ha d = qET 2 /2m e v = qET /m.
2) Nel campo magnetico costante la particella percorre una traiettoria circolare per cui vale qvB =
mv 2 /r quindi B = mv/qr. Dato che v/r = v/2d = 1/T si ha B = m/(qT ).
3) Il periodo dell’orbita è 2πr/v = 4πd/v = 2πT .
Esercizio 4
1) Il teorema di Ampere, nel limite di un solenoide inﬁnito, da subito LB = µ0 Ic dove la corrente
concatenata Ic vale N I0 quindi B = µ0 I0 n dove n = N/L è il numero di spire per unità di
lunghezza.
1
2) Dato che il campo è approssimato come costante nel solenoide e nullo fuori l’energia EB è data
semplicemente dalla densità di energia u = B 2 /(2µ0 ) per il volume del solenoide V = πR2 L quindi
EB =
π
πµ0 I02 N 2 R2
µ0 I02 n2 R2 L =
2
2L
3) Il ﬂusso φB (t) del campo magnetico attraverso la spira vale
φB (t) = B(t)πR2 = πµ0 nI(t)R2
Dato che la f.e.m. V (t) vale V (t) = −dΦB /dt e i(t) = V (t)/r si ottiene
?
?
? i(t) ? πµ0 nR2 γ
?
?
? I(t) ? =
r
Si noti che il risultato non dipende dal tempo.
2
Compito di Fisica 11/06/2014
Ogni risposta esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
Un corpo C di massa m scende da un piano inclinato P di massa M con M/m = r. Si considerano
trascurabili gli attriti sia tra C e P che tra P e il piano orizzontale. Indicate l’accelerazione di gravità
con g. Dall’inizio del moto, quando C e P sono fermi, a quando C e P sono separati completamente
C scende lungo la verticale di una quota h.
1) Calcolare in funzione di r il rapporto tra le energie cinetiche KP /KC di P e C rispettivamente
quando si sono separati.
2) Calcolare la velocità di C in funzione di r, g ed h.
3) Calcolare la velocità vr con cui C vede P allontanarsi.
Esercizio 2
Due blocchi di massa m ed M sono disposti uno sull’altro come in ﬁgura. Tra il blocco m ed M e
tra il blocco M e il piano orizzontale sono presenti forze di attrito con coeﬃciente d’attrito µ (qui si
ignora la distinzione tra coeﬃciente d’attrito statico e dinamico). Al blocco M viene applicata una
forza di modulo F .
m
M
F
1) Calcolare l’accelerazione massima al che è possibile imprimere ai due blocchi senza che m si
separi da M .
2) Calcolare il valore di F necessario per far muovere il sistema con accelerazione a = al /2.
3) Calcolare il lavoro L fatto dalla forza F ottenuta in 2) tra il tempo t = 0 in cui i blocchi iniziano
a muoversi e T .
Esercizio 3
Su un anello A di raggio R è uniformemente distribuita una carica positiva Q. Una particella P di
carica negativa −q e massa m è inizialmente al centro dell’anello. La particella è libera di muoversi
solo lungo l’asse z perpendicolare al piano che contiene l’anello.
1) Calcolare il potenziale V (z) prodotto da A lungo l’asse z.
2) Mostrare che per |z| ≪ R si ha V (z) ≃ V (0) − βz 2 /2 e calcolare β. Utilizzate l’approssimazione
(1 + ǫ)α ≃ 1 + αǫ valida per |αǫ| ≪ 1 con α numero reale.
3) Se la particella P viene spostata un poco da z = 0 a z = z0 ≪ R e lasciata andare segue da 2) che
compie un moto armonico. Calcolare la componente Ez del campo elettrico nell’approssimazione
2) come −dV /dz e ω in funzione di β, q ed m.
Esercizio 4
Considerate una spira circolare di raggio R percorsa da una corrente I. Utilizzando la legge di
Biot-Savart:
1) calcolare il modulo del campo magnetico B al centro della spira;
2) eseguire lo stesso calcolo per una spira quadrata di lato 2D;
3) calcolare per quale valore di D il campo calcolato in 2) ha lo stesso valore di quello ottenuto in
1)
Per il punto 2) si ricorda che
?
dx
x
+C
=√
3/2
2
(1 + x )
1 + x2
e si consiglia di scrivere l’integrale ottenuto dalla legge di Biot-Savart in forma adimensionale calcolando le distanze l del problema in unità di D cioè ponendo x = l/D.
Soluzioni Compito di Fisica 11/06/2014
Esercizio 1
1) Sul sistema formato da C e P non agiscono forze esterne in direzione orizzontale quindi la quantità
di moto in quella direzione si conserva. Deve quindi essere 0 = M V +mv dove V e v sono le velocità
orizzontali di P e C rispettivamente quindi |V /v| = m/M = 1/r quindi KP /KC = M V 2 /mv 2 =
1/r.
2) L’unica forza esterna che compie lavoro sul sistema formato da C e P è la gravità quindi si può
scrivere mgh = KP + KC = KC (1 + 1/r) da cui
?
?
?
2rgh
1 2 1+r
⇒v=
gh = v
2
r
1+r
3) Dalla 1) si ricava vr = v + V = v(1 + 1/r) quindi
vr = v
?
1+r
r
?
?
=
2(1 + r)gh
r
Esercizio 2
1) Deve essere ma ≤ µN = µmg dove N è il modulo della forza normale agente sul blocco quindi
al = µg.
2) La forza totale agente sul sistema formato dai due blocchi è data da Ft = F − µ(m + M )g che
deve anche essere pari a (m + M )al /2 quindi F = 3(m + M )µg/2
3) Dato che F e lo spostamento sono sempre paralleli e la forza è costante nel tempo L = F [x(T ) −
x(0)] dove x(T ) − x(0) = al T 2 /4 quindi
L=
3
(m + M )µ2 g 2 T 2
8
Esercizio 3
1) Per il calcolo del potenziale è come se si avesse una carica puntiforme Q in un solo punto dell’anello
infatti se ρ = Q/(2πR) integrando lungo A si ottiene:
V (z) =
?
2πR
0
4πǫ0
√
Q
ρ
1
√
dl =
2
2
2
4πǫ0 R + z 2
R +z
2) Da
V (z) =
1
Q
?
4πǫ0 R 1 + z 2 /R2
1
posti ǫ = z 2 /R2 ≪ 1 e α = −1/2 si ha
V (z) ≃
Q
4πǫ0 R
?
1−
1 z2
2 R2
?
quindi
Q
4πǫ0 R3
β=
3) Ez = βz dove β è stato calcolato al punto 2) quindi la forza agente su P vale F = −qβz. Su P
agisce quindi una forza elastica perciò il moto è armonico con
?
βq
ω=
m
Esercizio 4
Evidentemente il campo è diretto lungo l’asse della spira in entrambi i casi. Il verso dipende dal verso
della corrente.
1) Se C è la circonferenza della spira
µ0 I
B=
4π
?
C
? × r̂
µ0 I 2πR
µ0 I
dl
=
=
2
2
r
4π R
2R
2) Per il calcolo di B si vede subito che si può calcolare il risultato lungo un lato L e moltiplicare per
4 quindi utilizzando la ﬁgura seguente
D
-D
D
si può scrivere
µ0 I
B=
π
? ?
?
µ0 I D sin θ
dl × r̂
=
dl
r2
π −D l2 + D 2
L
dato che sin θ = D/r sostituendo e successivamente ponendo x = l/L si ha
µ0 I
B=
π
?
D
−D
Ddl
µ0 I
=
2
2
3/2
Dπ
(l + D )
?
1
−1
√
?1
?
dx
µ0 I
x
? = 2µ0 I
√
=
2
3/2
2
Dπ 1 + x ?−1
Dπ
(1 + x )
3) Ponendo il rapporto tra i valori di B calcolati in 1) e 2) pari a 1 porta a
√
2 2
Dπ
√ =1⇒D=
R
π
2R 2
2
Compito di Fisica 15/07/2014
Ogni risposta esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
Un blocco di massa m viene lanciato da una molla di costante elastica k lungo un piano inclinato che
forma un angolo θ con il piano orizzontale. All’inizio la molla è compressa di una quantità xi .
d
k
h
m
xi
0
x
1) Se il moto è senza attrito calcolare la distanza d percorsa dal blocco lungo il piano inclinato in
funzione di k, xi , m, θ e l’accelerazione di gravità g.
2) Calcolare nuovamente d se il coeﬃciente d’attrito tra il blocco e il piano inclinato è µ.
3) Calcolare la frazione f di energia iniziale dissipata a causa dell’attrito.
Esercizio 2
Una barra omogenea di lunghezza l e massa m è incernierata a un gancio a un estremo ed è inizialmente
in posizione orizzontale. La barra viene lasciata cadere e quando raggiunge la posizione verticale urta
un blocco di massa M . Dopo l’urto il blocco si mette in moto con velocità V (che supponiamo nota),
mentre la barra rimbalza indietro (questo avviene solo se il rapporto r = M/m è abbastanza grande).
1) Calcolare la velocità angolare ω della barra quando è in posizione verticale, un attimo prima di
urtare il blocco.
2) Calcolare la velocità angolare della barra ω ? subito dopo l’urto in funzione di ω, l, V e r.
3) Nel caso in cui l’urto sia elastico calcolare per quale valore di r la barra rimane ferma in posizione
verticale dopo l’urto.
Esercizio 3
Una particella di massa m e carica q negativa, al tempo t = 0 si trova sul bordo di un condensatore a
facce piane e parallele di lunghezza l e separate da una distanza d. La diﬀerenza di potenziale tra le
armature è V . La posizione iniziale è al bordo del condensatore e a distanza d/2 in direzione verticale
da ciascuna delle armature. La velocità iniziale della particella ha modulo v e direzione orizzontale.
? sia uniforme all’interno del condensatore e nullo fuori; si trascuri
Si supponga che il campo elettrico E
la gravità.
++++++++++++++++++
v
------------------------
1) Se x è l’asse orizzontale e y l’asse verticale scrivere x(t) e y(t) per t > 0 mentre la particella è
all’interno del condensatore. Prendere come origine la posizione della particella a t = 0.
2) Scrivere, in funzione di q, m, d, l e V la velocità minima vm per cui la particella esce dal
condensatore senza sbattere contro una delle armature.
3) Se v > vm scrivere l’angolo che la traiettoria della particella forma con l’asse orizzontale una
volta uscita dal condensatore.
Esercizio 4
Un ﬁlo rettilineo inﬁnito, di sezione circolare e raggio R è percorso da una corrente I. La densità di
corrente J all’interno del ﬁlo si suppone uniforme.
1) Calcolare il modulo del campo magnetico B a distanza r ≥ R generato dal ﬁlo.
? in funzione
2) Stessa domanda ma per r < R, vale a dire all’interno del ﬁlo. Fare un graﬁco di |B|
di r per riassumere i risultati al punto 1) e 2).
3) Supponete che la corrente I sia generata da particelle con carica q che si muovono a velocità v.
Calcolare la forza di Lorentz che agisce sulle particelle in funzione di r.
Soluzioni Compito di Fisica 15/07/2014
Esercizio 1
1) La conservazione dell’energia da subito
1 2
kx2i
kxi = mgh = mgd sin θ ⇒ d =
2
2mg sin θ
2) La forza di attrito vale in modulo F = µmg cos θ. Quando il blocco si ferma l’energia iniziale è
uguale alla somma di energia potenziale gravitazionale e lavoro fatto dalla forza di attrito quindi
kx2i
1 2
kxi = mgd sin θ + µmg cos θd ⇒ d =
2
2mg(sin θ + µ cos θ)
3) Il rapporto tra energia dissipata per attrito e energia iniziale vale
f=
2µmg cos θd
kx2i
Sostituendo il valore di d ottenuto al punto 2) si ottiene
f=
µ cos θ
µ
=
sin θ + µ cos θ
tan θ + µ
Esercizio 2
1) L’energia potenziale gravitazionale della barra si trasforma in energia cinetica di rotazione della
barra attorno ad un suo estremo. Il centro di massa della barra scende di una quota pari a l/2. Il
momento di inerzia della barra per la rotazione attorno a un estremo è ml2 /3 quindi
?
ml2 ω 2
mgl
3g
=
⇒ω=
2
6
l
2) Durante l’urto il momento angolare rispetto al punto in cui è incernierata la barra si conserva
quindi
1
3rV
1
Iω = Iω ′ + M V l ⇒ ml2 ω ′ = ml2 ω − M V l ⇒ ω ′ = ω −
3
3
l
3) Se la barra dopo l’urto si ferma ω ′ = 0 quindi ω = 3rV /l cioè inoltre l’energia si conserva quindi
1 2
1
9r 2 V 2
1
Iω = M V 2 ⇒ m
= M V 2 ⇒ 3r 2 = r ⇒ r =
2
2
3
3
1
Esercizio 3
1) Il moto in direzione x è a velocità costante. Il moto in direzione y è ad accelerazione costante. La
forza in direzione y è diretta verso l’alto e vale in modulo F = qE = qV /d quindi l’accelerazione
è a = F/m = qV /md) quindi


x(t) = vt




y(t) = qV t2
2md
2) Per evitare che la particella sbatta contro le armature deve percorrere la distanza l lungo x
percorrendo nello stesso tempo una distanza inferiore a d/2 lungo y. Deve quindi essere
?
? ?2
d
qV
l
l qV
⇒v>
>
= vm
2
2md v
d m
3) Se v > vm la particella esce dal condensatore con una velocità verticale vy = ay l/v quindi la
traiettoria forma con l’asse x un angolo θ = arctan(vy /v). sostituendo si ottiene
?
?
qV l
θ = arctan
mdv 2
Esercizio 4
1) Utilizzando il Teorema di Ampere e la simmetria cilindrica del problema, si può scrivere subito,
per una circonferenza C di raggio r > R perpendicolare al ﬁlo e concentrica ad esso che
?
? · d?l = 2πrB = µ0 Ic = µ0 I ⇒ B = µ0 I
B
2πr
C
2) Per r < R il ragionamento è lo stesso che in 1) ma ora la corrente concatenata Ic dipende da r in
funzione del rapporto tra l’area di C e quella della sezione dei ﬁlo quindi IC = r 2 I/R2 da cui
µ0 rI
r2
I⇒B=
2
R
2πR2
Le soluzioni 1) e 2) si raccordano per r = R il campo vale in entrambi i casi B0 = µ0 I/(2πR).
2πrB = µ0 Ic = µ0
1
0.8
B/B0
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
r/R
3) La velocità delle particelle è lungo la verticale. Il campo magnetico è in direzione tangenziale
quindi la forza di Lorentz è in direzione radiale. Le cariche positive sono spinte verso il centro. Il
? sono perpendicolari quindi
modulo della forza vale F = qvB dato che ?v e B
F (r) =
qvrB0
µ0 qvIr
=
2πR2
R
2
Compito di Fisica 10/09/2014
Ogni risposta esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
Immaginate di lanciare una palla contro un muro. Considerate l’origine delle coordinate nel punto O
in cui la palla si stacca dalla mano. Volete colpire il muro in un punto P di coordinate (d, 0, h) dove
l’asse x è nel piano orizzontale, perpendicolare al muro, l’asse y n l piano orizzontale, parallelo al muro
e z nella direzione verticale. Volete inoltre che nel momento in cui la palla urta il muro la sua velocità
sia diretta lungo l’asse x. Indicate con g l’accelerazione di gravità. Esprimete i risultati in funzione
di d, h e g.
1) Calcolare il modulo v della velocità iniziale.
2) Calcolare l’angolo θ con il piano orizzontale della velocità iniziale.
3) Calcolare dopo quanto tempo la palla ritorna in O dopo avere rimbalzato contro il muro.
Esercizio 2
Un proiettile di massa m e velocità iniziale v attraversa un bersaglio di massa M ed emerge con velocità
v/2. Il bersaglio, inizialmente fermo, è appeso a un’asta rigida di massa trascurabile di lunghezza L.
Trascurate l’eﬀetto della gravità sul moto del proiettile.
L
m
v
M
v/ 2
1) Considerando m ed M come puntiformi, vale a dire di dimensioni trascurabili rispetto a L,
calcolare la velocità V di M subito dopo l’urto in funzione di v, M ed m.
2) Calcolare la velocità minima iniziale del proiettile vm per cui il bersaglio riesce a fare un giro
completo.
3) Se si sostituiscono l’asta e il bersaglio con una barra omogenea, di nuovo di lunghezza L e massa
M , calcolare la velocità iniziale dell’estremo della barra e confrontarne il valore con il risultato
ottenuto al punto 1). Il risultato è maggiore o minore?
Esercizio 3
Considerate un piano verticale che è talmente esteso da potere essere considerato inﬁnito con una
densità di carica superﬁciale positiva di σ C/m2 . Vicino al piano una sfera di massa m e carica
positiva q è ﬁssata ad un ﬁlo di lunghezza L e massa e carica trascurabili.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
L
q
m
1) Calcolare modulo e direzione del campo elettrico nella posizione d’equilibrio della sfera.
2) Calcolare l’angolo θ che il ﬁlo forma con la verticale.
3) Calcolare il modulo della tensione T del ﬁlo.
Esercizio 4
Una particella di massa m e carica q entra con velocità v in una regione in cui esiste un campo magnetico uniforme di modulo B come illustrato in ﬁgura. Il campo magnetico esce dal foglio. La regione di
campo magnetico ha profondità d in direzione orizzontale mentre si può pensare inﬁnitamente estesa
in direzione verticale. Oltre alla forza magnetica nessuna altra forza agisce sulla particella.
d
1) Calcolare la massima velocità vm che può avere la particella per potere essere “riﬂessa” dal
campo magnetico, come in ﬁgura, in funzione di m, q, B e d.
2) Calcolare, per v < vm , il tempo speso dalla particella nel campo magnetico.
3) Se v > vm la particella esce dalla regione col campo magnetico. Calcolare l’angolo θ tra la
direzione di ingresso e quella di uscita.
Soluzioni Compito di Fisica 10/09/2014
Esercizio 1
La palla esegue un moto con accelerazione costante g diretta verso il basso nel piano xz di equazione
y = 0. Se si indica la velocità iniziale con v = (vx , 0, vz ) il tempo T che passa dal momento del lancio
al momento in cui la palla urta il muro deve essere tale che
vz − gT = 0
per soddisfare la condizione sulla velocità al momento del contatto col muro. Inoltre deve valere
?
vx T = d
−gT 2 /2 + vz T = h
Il sistema di tre equazioni nelle tre incognite vx , vy e T si risolve facilmente per sostituzione ottenendo

?
2

vx = √ d g/(2h)
vz = 2gh
?


T = 2h/g
1) Il modulo della velocità vale
v=
?
vx2
+
vy2
=
?
d2 g
+ 2gh
2h
2) L’angolo θ con il piano orizzontale vale
θ = arctan
?
vz
vx
?
= arctan
??
4gh2
d2 g
?
= arctan
?
2h
d
3) Il tempo che impiega la palla per tornare al punto di partenza è 2T = 2
?
?
2h/g
Esercizio 2
L’esercizio si risolve considerando l’asta, il bersaglio e il proiettile come un unico sistema. Il momento
angolare del sistema rispetto al punto P in cui è imperniata l’asta si conserva durante l’urto.
1) Dalla conservazione del momento angolare si ottiene
v
mv
mvL = M V L + m L ⇒ V =
2
2M
2) Per compiere un giro completo l’energia inziale del bersaglio deve essere almeno suﬃciente a
raggiungere l’altezza massima in verticale quindi, usando il risultato del punto 1)
2
1 m 2 vm
4M ?
1
MV 2 = M
= M g2L ⇒ vm =
gL
2
2
2
4M
m
1
3) La conservazione del momento angolare si scrive in questo caso come
v
mvL
3mv
mvL = Iω + m L ⇒ ω =
=
2
2I
2M L
dove nell’ultimo passaggio si è usato il fatto che il momento d’inerzia I della barra vale M L2 /3.
La velocità dell’estremo vale
3mv
v = ωL =
2M
quindi è 3 volte quella calcolata al punto 1).
Esercizio 3
1) Il campo in prossimità del piano, vale a dire sino a che considerarlo inﬁnito è una buona approssimazione è perpendicolare al piano, in direzione uscente dal piano dato che σ > 0 e di modulo pari
ad E = σ/(2ǫ0 )
2) La sfera è soggetta a una forza verticale gravitazionale di modulo Fy = mg e ad una forza orizzontale elettrica di modulo Fy = qE = qσ/(2ǫ0 ). Le forze sono compensate dalla tensione del ﬁlo.
L’angolo θ richiesto si può quindi calcolare come
? ?
?
?
Fx
qσ
θ = arctan
= arctan
Fy
2mgǫ0
3) Il modulo della tesione vale
T =
?
Fx2
+
Fy2
=
??
qσ
2ǫ0
?2
+ m2 g 2
Esercizio 4
Nel campo magnetico il modulo della forza vale F = qvB ed è sempre perpendicolare alla velocità. La
particella compie quindi un tratto di moto circolare uniforme di raggio R = mv/qB.
1) La condizione perché la particella sia riﬂessa è R < d quindi vm = dqB/m
2) Il tempo impiegato nel campo magnetico è
t=
πR
πm
=
v
qB
che è indipendente da v per v < vm
3) Per v > vm si ha R > d ed è facile vedere che d = R sin α dove α è l’angolo che descrive l’arco di
` facile vedere che θ = α quindi
circonferenza che descrive la particella nel campo magnetico. E
?
?
dqB
vm
dqB
sin θ =
=
⇒ θ = arcsin
mv
v
mv
2
Compito di Fisica 12/01/2015
Ogni risposta esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
Una palla di gomma al tempo t = 0 viene lanciata verso l’alto a partire dal pavimento con velocità
iniziale v0 . L’accelerazione di gravità è g
1) Calcolare a quale altezza h0 arriva la palla e a quale tempo t0 la palla tocca di nuovo il pavimento
per la prima volta dopo il lancio.
2) Se ad ogni rimbalzo il modulo della velocità si riduce di un fattore 0 < k < 1 in modo che sia
v1 = kv0 , dove v1 è la velocità dopo il primo rimbalzo, calcolare hn e tn , vale a dire l’altezza
massima e il tempo che la palla trascorre in volo tra il rimbalzo n-esimo e il successivo.
3) Calcolare dopo quanto tempo T , a partire dal lancio, la palla si ferma sul pavimento e la distanza
totale percorsa D. Ricordate che, se |x| < 1 allora vale
∞
?
xn =
n=0
1
1−x
Esercizio 2
Una barra omogenea di lunghezza L e massa M è inizialmente ferma su un piano orizzontale in cui può
muoversi senza attrito. La barra viene urtata ad un estremo da un martello che applica un impulso
P noto perpendicolarmente alla barra. Dopo l’urto la barra si muove con un moto che può essere
descritto come una traslazione con velocità costante V del centro di massa e da una rotazione con
velocità angolare ω costante attorno al centro di massa.
1) Calcolare V in funzione di L, M, P .
2) Calcolare ω, sempre in funzione di L, M, P .
3) Calcolare la velocità all’istante immediatamente successivo all’urto dell’estremo della barra che
non è stato urtato e mostrare che non dipende da L ed è sempre in direzione opposta a quella
di P .
1
Esercizio 3
Due cariche di valore +q e +4q sono separate da una distanza l.
1) Calcolate a quale distanza dalla prima carica, lungo il segmento congiungente le cariche, si trova
il punto P in cui il campo elettrico è nullo.
2) Calcolare quale valore deve avere una terza carica a distanza l da P per fare in modo che il
potenziale totale in P sia nullo.
3) Dire quanto vale il ﬂusso del campo elettrico attraverso la superﬁcie di una sfera S di raggio l/2
con centro in P .
Esercizio 4
Si prevede che in futuro i caricatori per dispositivi elettronici a batteria saranno senza ﬁli. Un cellulare
potrà essere ricaricato semplicemente appoggiandolo su una base delle dimensioni di un libro. In questo
esercizio si prova a progettare un caricatore di questo tipo basato sull’induzione elettromagnetica.
Il caricatore genera nel punto in cui viene appoggiato il telefono un campo magnetico spazialmente
uniforme perpendicolare alla base con un modulo che varia nel tempo secondo la legge B(t) = B0 cos ωt.
Nel bordo del telefono c’è una spira di area A con n avvolgimenti collegata a una resistenza R. Il
piano che contiene la spira è parallelo alla base.
1) Calcolare la corrente istantanea I(t) circolante in R.
2) Calcolare la potenza istantanea P (t) dissipata in R per eﬀetto Joule.
3) Calcolare l’energia E dissipata in R in un periodo di oscillazione T del campo magnetico vale a
dire
? 2π/ω
E=
P (t) dt
0
2
Soluzioni Compito di Fisica 12/01/2015
Esercizio 1
1) Dalla conservazione dell’energia si ottiene subito h0 = v02 /(2g) mentre da v(t) = v0 − gt, dal
momento che, quando la palla tocca terra, deve essere v(t) = −v0 si ha subito t0 = 2v0 /g.
2) Dato che vn = k n v0 si ha subito che hn = h0 k 2n mentre tn = t0 k n .
3) Il tempo totale T vale
T =
∞
?
tn = t0
n=0
∞
?
kn =
n=0
2v0 1
g 1−k
Analogamente per D si ha
D=2
∞
?
hn = 2h0
n=0
∞
?
k 2n =
n=0
v02 1
g 1 − k2
Esercizio 2
Alla barra vengono impartiti un momento di modulo P e un momento angolare di modulo N = P L/2
rispetto al centro di massa.
1) V = P/M
2) Da N = ωI, con I = M L2 /12 per una barra omogenea ruotante attorno al centro, si ottiene
ω = 6P/(M L)
3) La velocità totale v cercata è la somma della velocità V “in avanti” dovuta al moto del centro di
massa e ωL/2 “all’indietro” dovuta alla rotazione quindi
v=
P
3P
2P
−
=−
M
M
M
Il risultato non dipende da L ed è sempre negativo.
Esercizio 3
1) Lungo il segmento che congiunge le due cariche i campi elettrici da esse generate hanno lo stesso
verso e direzioni opposte. La condizione per cui il campo si annulla è quindi semplicemente quella
per cui i due moduli sono uguali. Indichiamo con x la distanza della prima carica da P .
4kq
−2 ± 4
kq
=
⇒ (l − x)2 = 4x2 ⇒ 3x2 + 2lx − l2 = 0 ⇒ x = l
x2
(l − x)2
6
la soluzione accettabile, con 0 < x < l, è x = l/3 quindi P dista l/3 dalla prima carica e 2l/3 dalla
seconda.
1
2) Le cariche distano l/3 e 2l/3 da P rispettivamente quindi il potenziale dovuto alle prime due
cariche vale
?
?
4
9kq
kq 1
+ 2 =
V (P ) =
1
l
l
3
3
quindi la terza carica deve avere valore −9q.
3) La sfera contiene al suo interno solo la carica +q. Per il teorema di Gauss il ﬂusso attraverso S
vale quindi q/ǫ0 .
Esercizio 4
Il ﬂusso di B attraverso la spira in funzione del tempo vale
ΦB (t) = nAB0 cos(ωt)
quindi la f.e.m. V (t) ai capi della spira vale
V (t) = −
dΦB (t)
= nAB0 ω sin(ωt)
dt
1) La corrente I(t) vale
I(t) =
nAB0 ω
V (t)
=
sin(ωt)
R
R
2) La potenza P (t) vale
P (t) = I 2 (t)R =
(nAB0 ω)2
sin2 (ωt)
R
3)
(nAB0 ω)2
E=
R
?
2π/ω
(nAB0 )2 ω
sin (ωt) dt =
R
2
0
2
?
2π
sin2 x dx =
0
π(nAB0 )2 ω
R