PROGRAMMA DEL CORSO DI

PROGRAMMA DEL CORSO DI
CALCOLO DIFFERENZIALE e INTEGRALE I-II
Prof.ssa Lidia Ansini
a.a. 2006/2007
C.C.L. Meccanica (canale M-Z)
Introduzione. Insiemistica. Cenni sulla struttura dei numeri naturali, interi, razionali e reali. Relazione
d’ordine e d’equivalenza. Cenno alla cardinalità. Insiemi limitati: estremo superiore ed inferiore, massimo e
minimo. Simbolo di sommatoria: somma della progressione geometrica. Fattoriale. Proprietà astratte delle
funzioni (dominio, codominio, immagine, grafico, iniettività, suriettività); funzioni fra numeri reali
(limitatezza, simmetrie, monotonia, periodicità). Funzioni elementari (funzione segno, parte intera, funzione
di impulso, valore assoluto, potenze reali, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche, funzioni
iperboliche). Funzioni composte e funzioni inverse. Funzioni trigonometriche inverse (arcocoseno, arcoseno,
arcotangente).
Numeri complessi. Forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi; potenze, radici,
polinomi, esponenziali; equazioni in campo complesso. Cenno al teorema fondamentale dell’algebra.
Successioni e serie numeriche. Il concetto di limite e le sue proprietà: unicità del limite , teoremi di
confronto (confronto, carabinieri e applicazioni, permanenza del segno I e II versione). Successioni
monotone: teorema di regolarità. La definizione di asintotico. Alcuni limiti notevoli. Il concetto di serie e le
sue proprietà. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie a termini non negative e teorema
di regolarità. Criteri di convergenza: criterio del rapporto, della radice, del confronto e del confronto
asintotico. Serie a termini di segno qualunque: assoluta convergenza e criterio di Leibniz.
Limiti e continuità delle funzioni di una variabile. La nozione di limite e sue proprietà. Infinitesimi ed
infiniti. La definizione di “o” piccolo. Definizione di continuità: operazioni elementari e funzioni continue.
Funzioni discontinue. Asintoti. Teorema degli zeri, Teorema di Weierstrass, Teorema dei valori intermedi.
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile. Il concetto di derivata e sue proprietà: retta tangente e
approssimazione lineare. Derivabilità implica continuità. Derivate elementari. Derivata della funzione
composta e della funzione inversa. Punti di non derivabilità. Estremi locali e Teorema di Fermat. Teorema di
Lagrange e Criterio di monotonia. Caratterizzazione delle funzioni costanti su intervalli. Derivate di ordine
superiore: concavità e convessità. Studio del grafico di una funzione di variabile reale. Teorema di de
L’Hopital. Formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange. Cenni alle serie di Taylor.
Teoria dell’integrazione I. Definizione dell’integrale di Riemann e sue proprietà. Significato geometrico.
Teorema della media. Integrale indefinito: funzioni primitive e loro caratterizzazione. Funzione integrale: I0
e II0 Teorema fondamentale del calcolo integrale. Alcuni metodi di integrazione (integrali elementari,
decomposizione in somma, per parti, per sostituzione, funzioni razionali, funzioni trigonometriche, alcune
funzioni irrazionali). Integrali di funzioni discontinue. Integrali impropri: criteri di convergenza al finito e
all’infinito.
Equazioni differenziali. Equazioni differenziali in forma normale. Equazioni del primo ordine: equazioni a
variabili separabili (teorema di esistenza e unicità in piccolo). Soluzioni singolari e metodo della separazione
delle variabili. Equazioni lineari del primo ordine (teorema di esistenza e unicità in grande), teorema di
struttura delle soluzioni, formula risolutiva. Equazioni lineari del secondo ordine: struttura delle soluzioni
dell’equazione omogenea e delle soluzioni dell’equazione completa, metodo della variazione delle costanti.
Caso dei coefficienti costanti: integrale generale dell’equazione omogenea associata, metodo di somiglianza,
principio di sovrapposizione. Cenni alle equazioni lineari di ordine n.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Nozione di limite e continuità. Elementi di topologia:
insiemi aperti, chiusi, connessi, limitati. Proprietà delle funzioni continue. Derivate parziali e gradiente;
derivate direzionali. Differenziabilità e piano tangente. Proprietà delle funzioni differenziabili: Teorema del
differenziale totale. Le funzioni di classe C1 sono differenziabili. Derivate di ordine superiore e teorema di
Schwarz. Matrice Hessiana. Formula di Taylor al secondo ordine con resto di Peano e di Lagrange. Studio
dei massimi e minimi liberi: condizione necessaria per l’estremalità (Teorema di Fermat), condizioni
necessarie e condizioni sufficienti al secondo ordine per l’estremalità. Ottimizzazione vincolata: teorema del
Dini e dei moltiplicatori di Lagrange in 2 variabili. Cenni alle funzioni a valori vettoriali.
N.B. Le parti sottolineate sono richieste con dimostrazione.
Testi consigliati:
Bramanti-Pagani-Salsa: Matematica: calcolo infinitesimale e algebra lineare. Zanichelli ed.
Amar-Bersani: Esericizi di Analisi Matematica per i nuovi corsi di laurea. Progetto Leonardo.
Nicola Fusco- Paolo Marcellini- Carlo Sbordone: Elementi di Analisi Matematica uno e due. Versione
semplificata per i nuovi corsi di laurea. Liguori editore.