Capitolo 10 - formula (6.1)

Capitolo 10 - formula (6.1) - pag. 164
TEOREMA DI BAYES
Se H1, H2, …, H m sono eventi che costituiscono una partizione di Ω , allora, per qualunque evento
E ⊂ Ω , la probabilità di Hi dato E è:
P ( Hi E ) =
(
P ( Hi ) P E Hi
m
(
)
∑ P( H j ) P E H j
j =1
∀i = 1, 2, …, m
)
(6.1)
Nella formula del teorema di Bayes intervengono:
— le probabilità a posteriori P ( Hi E ) dell’ipotesi Hi dato l’effetto E;
— le probabilità a priori P ( Hi ) che hanno le singole ipotesi di verificarsi;
— le verosimiglianze o probabilità probative P ( E Hi ) che l’effetto sia stato causato da una
data ipotesi.
Infatti, per la formula (5.1), si ha:
P ( Hi E ) =
P ( Hi ∩ E )
P( E)
m
Poiché E = ∑ ( E ∩ H j ) allora, per il teorema delle probabilità totali:
j =1
m
(
P ( E ) = ∑ P ( H j ) P E Hi
j =1
)
(6.2)
Inoltre, dalla formula (5.1) si ha:
(
P ( E ∩ Hi ) = P ( E ) P ( Hi E ) = P ( Hi ) P E Hi
)
da cui:
P ( Hi E ) =
(
P ( Hi ) P E Hi
P( E)
)
in cui, andando a sostituire l’espressione di P(E) che si ottiene dalla (6.2) si ottiene la formula
del teorema di Bayes fornita dalla (6.1).