Programma di matematica

Programma di matematica (S.B.A.N.C. - S.G.)
2009/10
Prerequisiti ( programma precorso)
I numeri reali (R) : gli assiomi, i sottoinsiemi notevoli dei numeri reali, irrazionalità di
2.
Elementi di geometria analitica (retta, circonferenza, ellisse, iperbole, parabola)
Equazioni e disequazioni di primo, di secondo grado e grado superiore, sistemi, disequazioni razionali fratte.
La funzione valore assoluto e disequazioni con il valore assoluto.
Elementi di trigonometria.
I grafici e le proprietà delle funzioni fondamentali (potenze, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche fondamentali).
Equazioni e disequazioni con esponenziali, logaritmi e funzioni trigonometriche.
Programma del corso
Sottoinsiemi di R limitati e non limitati. Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore.
Intorni, punti interni e punti di accumulazione.
Successioni numeriche: successioni convergenti, divergenti , teorema dell’ unicità del limite,
teorema della permanenza del segno, teorema del confronto, algebra dei limiti, limite di rn,
forme indeterminate.
Confronto tra infiniti, gli infiniti fondamentali e loro confronto, l’infinito campione e ordine di
un infinito
Successioni monotone e teorema del limite di successioni monotone.
Il numero “e” di Nepero.
Funzioni reali di una variabile reale: tutte le definizioni di limite. Limite da destra e da sinistra.
Grafico della funzione senx / x.
Definizione di funzione continua in un punto del suo dominio e i diversi tipi di discontinuità.
Funzioni continue in un intervallo e loro proprietà: teorema di Weierstrass, teorema dei valori
intermedi e teorema degli zeri.
Le principali funzioni continue .
I limiti notevoli .
Definizione di derivata e suo significato geometrico. Derivate delle funzioni fondamentali.
Formule di derivazione e calcolo di derivate.
Relazione tra continuità e derivabilità.
Punti di massimo e di minimo relativo. Teorema di Fermat.
I teoremi di Rolle e di Cavalieri e conseguenze.
Teorema di de l’Hospital .
Derivata seconda. Funzioni convesse, concave e punti di flesso.
Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Studio del grafico di funzioni.
Il concetto di differenziale e suo significato geometrico.
Primitive e loro proprietà. Integrale indefinito di funzione continua. Integrali indefiniti
fondamentali. Integrazione per scomposizione, integrazione per parti, integrazione per
sostituzione. Integrazione di funzioni razionali fratte del tipo (ax+b) / (x^2 +px+q).
Integrale definito secondo Riemann e sue proprietà.
Teorema della media. La funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Formula fondamentale del calcolo integrale. Calcolo di aree.
Alcuni esempi di risoluzione di equazioni differenziali del primo ordine: lineari , a variabili
separabili. Tecnica per la risoluzione di equazioni differenziali del secondo ordine lineari a
coefficienti costanti omogenee e complete (solo con termine noto polinomiale). Esempi di
risoluzione di problemi di Cauchy.
Esempi di calcolo delle soluzioni di sistemi lineari con tre equazioni e tre incognite con
il metodo di Cramer