Programma del corso di Analisi Matematica I (C

Programma del corso di Analisi Matematica I (C.L. FISICA ) a.a. 2012 - 2013
proff. MR Posteraro, M. Tricarico
NUMERI: principio d’induzione. Introduzione ai numeri reali; assioma di completezza;
caratterizzazione di estremo superiore ed estremo inferiore. Numeri complessi: definizione e
proprietà. Operazioni di somma e prodotto. Forma algebrica e forma trigonometrica. Potenze e
radici di un numero complesso.
FUNZIONI ELEMENTARI.
SUCCESSIONI: limite di una successione; prime proprietà dei limiti; operazioni con i limiti e
forme indeterminate; successioni monotone, il numero "e"; teoremi sui limiti di medie
aritmetiche e geometriche (s.d.); punti di accumulazione; teorema di Bolzano; successioni
estratte e proprietà connesse. Caratterizzazione dei chiusi e dei compatti.
FUNZIONI: limiti di funzioni e relative proprietà; teorema ponte; funzioni monotone, funzioni
continue: funzioni monotone; funzioni inverse; funzioni composte: limite di una funzione
composta; massimi e minimi assoluti: teorema di Weierstrass; teorema degli zeri; teorema di
Bolzano–Weierstrass; cenni sulle funzioni uniformemente continue e teorema di Cantor.
CALCOLO DIFFERENZIALE: definizione di derivata e regole di derivazione; derivate delle
funzioni elementari; massimi e minimi relativi: condizione necessaria; teoremi di Rolle e
Lagrange, e conseguenze: crescenza e stretta crescenza in un intervallo; teorema di Cauchy,
Teoremi di de l'Hospital (dim nel caso di funzioni infinitesime);
calcolo dei limiti che si
presentano in forma indeterminata; infinitesimi e infiniti; formula di Taylor con resto di Peano
e di Lagrange; massimi e minimi relativi: condizioni sufficienti; concavità e convessità in un
intervallo; flessi; asintoti; grafici di funzioni. Cenni sulle successioni definite per ricorrenza.
Metodo di Newton per il calcolo approssimato degli zeri di una funzione.
CALCOLO INTEGRALE: cenni sulla misura di Peano-Jordan; integrazione indefinita e
nozione di primitiva; integrale di Riemann e proprietà; integrale definito e proprietà;
misurabilità del rettangoloide; regole di integrazione indefinita: integrazione per
decomposizione in somma, integrazione
per parti, integrazione per sostituzione;
generalizzazione del concetto di integrale e sommabilità, criteri di sommabilità.
SERIE NUMERICHE: definizioni e prime proprietà; operazioni con le serie; serie geometrica,
serie armonica e serie armonica generalizzata; criterio di Cauchy; serie a termini non negativi:
criterio del rapporto, criterio della radice, criterio del confronto, criterio degli infinitesimi;
criterio dell’integrale; serie a segni alterni; assoluta convergenza e proprietà; serie a segni
alterni e criterio di Leibnitz.
Fanno parte integrante del programma esercizi relativi a tutti gli argomenti indicati.
(s.d.) senza dimostrazione
BIBLIOGRAFIA:
M. Bramanti – D. Pagani – S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli
A. Alvino – G. Trombetti, Elementi di Matematica, Ed. Liguori
P. Marcellini – C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica Uno I, Ed. Liguori
E. Giusti, Analisi matematica I, Ed Boringhieri
A. Alvino – L. Carbone – G. Trombetti, Esercitazioni di Matematica I/1,2 Ed Liguori