ESERCIZIO 1

ESERCITAZIONE 8
ESERCIZIO 1
Sia X un numero aleatorio con funzione di densità
0x2
0.5
.
f (x)  
altrove
0
Si ricavi
a) la probabilità che X assuma valori tra 1.4 e 1.8;
b) la probabilità che X sia minore di 0.3;
c) la funzione di ripartizione di X;
d) la media di X.
ESERCIZIO 2 (6.7 dal testo)
I redditi delle famiglie di una determinata regione possono essere rappresentati da una variabile
continua. Si sa che il reddito mediano è 60000 euro e il 40% delle famiglie ha un reddito che supera
72000
a) Qual è la probabilità che una famiglia, scelta a caso, abbia un reddito tra 60000 e 72000 euro?
b) Senza disporre di ulteriori informazioni, cosa si può dire sulla probabilità che una famiglia, scelta
in modo casuale, abbia un reddito al di sotto di 65000 euro?
ESERCIZIO 3 (6.18 dal testo)
Sia X~(50,64).
a) Calcolare P(X > 60)
b) Calcolare P(35 < X < 62)
c) Calcolare P(X < 55)
d) Determinare il valore x tale che P(X>x) = 0.20
e) Determinare l’intervallo simmetrico, centrato nella media, tale che la probabilità che X
assuma valori all’esterno sia 0.08.
ESERCIZIO 4 (6.22 dal testo)
In un campus si sa che la spesa complessiva annua degli studenti per i testi universitari segue una
distribuzione normale, con media pari a 380 dollari e scarto quadratico medio pari 50 dollari.
a) Qual è la probabilità che uno studente scelto a caso spenda annualmente meno di 400
dollari?
b) Qual è la probabilità che uno studente scelto a caso spenda annualmente più di 360 dollari?
c) Dimostrate graficamente l’uguaglianza delle risposte ad a) e a b).
d) Qual è la probabilità che uno studente scelto a caso spenda tra 300 e 400 dollari?
e) Vi interessa conoscere l’intervallo di spesa annua che comprenda l’80% degli studenti di
quel campus. Spiegate perché il numero di tali intervalli è teoricamente infinito e
determinate quello con l’ampiezza minima.
ESERCIZIO 5
0.5 x 0  x  2
Sia X un numero aleatorio con funzione di densità f ( x)  
.
altrove
0
a) Dimostrare che f(x) è una funzione di densità e rappresentarla graficamente;
b) Calcolare e rappresentare graficamente la funzione di ripartizione di X;
c) Calcolare la media di X.
Soluzione

a) Osserviamo che f(x) è una funzione non negativa su tutto R e inoltre:


2
f ( x)dx   0.5 xdx 1
0
pertanto f(x) è effettivamente una funzione di densità.
0
 2
x
b) F ( x)  Pr( X  x) =  f (t )dt  

4
1
x0
x

c) E ( X ) 
0  x  2.
x2
2
4
x  f ( x)dx  0 x  0.5xdx  3 .
ESERCIZIO 6
Due variabili aleatorie X e Y indipendenti hanno medie rispettivamente pari a 0 e 16 e scarti
quadratici medi pari a 3 e 4 rispettivamente.
a) Calcolare la media e la varianza della variabile aleatoria W = 3X + 2Y.
b) Qual è la probabilità che W abbia uno scarto di due unità di scarto quadratico medio dalla
media?
c) Come cambia la risposta alla domanda precedente se le variabili X e Y si distribuiscono
normalmente?
Soluzione
a) E(W) = 3E(X) + 2E(Y) = 32; V(W) = 9V(X) + 4V(Y) = 145.
b) Non è possibile calcolare esattamente questa probabilità perché non conosciamo la
distribuzione di W. Tuttavia per la disuguaglianza di Tchebishev la probabilità cercata è
1
almeno pari a 1  2  0.75 .
2
c) Se X e Y sono normali anche W ha distribuzione normale pertanto si può calcolare
esattamente la probabilità sopra:
P(32  2  145  W  32  2  145 )  P(2  Z  2)  0.95 .
ESERCIZIO 7 (6.66 dal testo)
Un consulente sta iniziando a lavorare su tre progetti. I guadagni attesi sono rispettivamente 50000
dollari, 72000 dollari e 40000 dollari e i relativi scarti quadratici medi sono 10000, 12000 e 9000.
Assumendo l’indipendenza dei risultati, trovate la media e lo scarto quadratico medio del guadagno
complessivo del consulente.