Programma del corso - Matematica e Informatica

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PALERMO
FACOLTA' DI SCIENZE MM.FF.NN.
PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA I (9 crediti) - A.A. 2002/2003
CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA
Prof. D.Averna
Conoscenze prerequisite: Linguaggio elementare degli insiemi. Operazioni tra insiemi. Concetto
intuitivo di funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche. I numeri naturali. I numeri interi. I
numeri razionali. Concetto intuitivo di numero reale. Valore assoluto. Potenze con esponente
naturale, con esponente intero. Radici n-esime. Potenza con esponente razionale. Potenze ad
esponente reale. Proprietà delle potenze. Esponenziali e logaritmi. Trigonometria: funzioni
trigonometriche e loro proprietà. Equazioni e disequazioni razionali, irrazionali e trascendenti.
Geometria elementare del piano: retta, circonferenza, ellisse, parabola, iperbole.
Obiettivi del corso: Obiettivo fondamentale del corso è quello di fornire gli strumenti di base del
calcolo infinitesimale ed integrale per le funzioni di una variabile reale. Allo studente sarà richiesta
capacità nel calcolo di limiti e di derivate, nello studio di funzioni, nel calcolo di integrali e nello
studio del carattere di serie numeriche.
COMPLEMENTI DI TEORIA ELEMENTARE DEGLI INSIEMI.
L'insieme esteso dei numeri reali. Intervalli. Insiemi limitati. Massimo e minimo di un insieme di
numeri reali. Estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme di numeri reali. Proprietà di
completezza di R.
LIMITI DI SUCCESSIONI.
Successioni in R. Successioni monotòne. Successioni limitate. Concetto di limite per le successioni.
Successioni convergenti, divergenti, indeterminate, regolari. Unicità del limite. Limitatezza delle
successioni convergenti. Confronto. Limite del prodotto ove un fattore tende a zero e l'altro è
limitato. Relazioni tra limite di ( an ) e limite di ( an ) . Successioni estratte. Limite delle successioni
 0
, . Limiti delle successioni
 0
monotòne. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Limiti delle successioni elementari. Limiti di
successioni notevoli. Altre forme indeterminate. Criterio di convergenza di Cauchy. Criteri di
Cesaro e conseguenze.
estratte. Algebra dei limiti. Forme indeterminate    , 0   ,
LIMITI DI FUNZIONI. FUNZIONI CONTINUE.
Intorni di un punto in R. Punti di accumulazione. Intorni di   e   .   e   come punti di
accumulazione di un sottoinsieme di R. Concetto di limite per le funzioni. Teorema di
collegamento. Unicità del limite. Limitatezza locale. Permanenza del segno. Confronto. Restrizioni
e limiti delle restrizioni. Limite destro e sinistro. Algebra dei limiti. Forme indeterminate    ,
 0
0 , , .
 0
Limiti delle funzioni elementari. Limiti notevoli. Altre forme indeterminate. Riconoscimento di una
forma indeterminata.
Infinitesimi. Confronto di due infinitesimi simultanei. Prodotto di infinitesimi.
Infiniti. Confronto di due infiniti simultanei. Prodotto di infiniti.
Ordine di infinitesimo e infinito di alcune funzioni di fondamentale importanza.
Continuità di una funzione in un punto e in un intervallo. Discontinuità. Classificazione delle
discontinuità. Prolungabilità per continuità. Algebra delle funzioni continue. Continuità di alcune
funzioni di particolare importanza. Continuità delle funzioni composte.
Teorema di Weierstrass. Teoremi di esistenza degli zeri, dei valori intermedi, di punto fisso.
Caratterizzazione delle funzioni continue e iniettive su intervalli. Caratterizzazione della continuità
delle funzioni monotone su intervalli. Teorema di omeomorfismo. Inverse delle funzioni circolari
ed iperboliche.
Insieme di definizione di una funzione. Funzioni pari e funzioni dispari. Segno di una funzione ed
intersezioni con gli assi. Asintoti verticali, asintoti orizzontali, asintoti obliqui.
DERIVATE. APPLICAZIONI DELLE DERIVATE. STUDIO DI FUNZIONI.
Definizioni e prime proprietà. Derivabilità e continuità. Interpretazione geometrica del concetto di
derivata. Regole di derivazione. Derivazione delle funzioni composte. Derivazione delle funzioni
inverse. Derivate delle principali funzioni.
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy.
0

Conseguenze del teorema di Lagrange. Teoremi di L'Hospital per la f.i.
e per la f.i. . Ricerca
0

di limiti di forme indeterminate con l'uso dei teoremi di L'Hospital.
Formula di Taylor. Formule di Mc Laurin delle principali funzioni. Calcolo di limiti con l'uso della
formula di Taylor.
Ricerca di massimi e minimi locali. Convessità e concavità, flessi. Studio di funzioni.
INTEGRALI DEFINITI. INTEGRALI INDEFINITI.
Partizioni di un intervallo. Integrali inferiore e superiore di una funzione limitata. Integrale secondo
Riemann e sue proprietà di linearità, monotonia, additività. Insiemi di misura nulla e criterio di
integrabilità di Lebesgue. Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotòne.
Integrabilità delle funzioni composte. Relazione tra integrabilità di f ed integrabilità di f ,
integrabilità del prodotto. Area di un rettangoloide. Funzione integrale e sue proprietà. Primitive.
Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito. Integrali indefiniti delle principali
funzioni. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Integrazione di alcune funzioni
razionali. Integrazione di alcune funzioni irrazionali. Integrazione di alcune funzioni trascendenti.
SERIE NUMERICHE.
Definizioni. La serie geometrica. Condizione necessaria di convergenza. Invarianza del carattere di
una serie.
Serie a termini positivi. La serie armonica e la serie armonica generalizzata; criteri del confronto,
del confronto asintotico, dell'ordine di infinitesimo, del rapporto (asintotico), della radice
(asintotico).
Serie a termini alternativamente positivi e negativi. Criterio di Leibnitz. Criteri per
l’indeterminazione di una serie a segni alterni. La serie armonica a segni alterni.
Serie a termini di segno qualunque. Assoluta convergenza. Uso dei criteri delle serie a termini
positivi come criteri di assoluta convergenza.
Esercitazioni: Limiti. Verifiche di limiti. Calcolo di limiti. Risoluzione di forme indeterminate.
Confronto tra infinitesimi e tra infiniti. Continuità. Discontinuità. Prolungabilità per continuità.
Situazioni asintotiche.
Derivabilità e calcolo di derivate. Retta tangente ad una curva.
Studio di funzioni.
Studio del carattere di serie numeriche.
Integrazione di funzioni razionali fratte, mediante cambiamento di variabili, mediante integrazione
per parti. Calcolo di aree.
Bibliografia:
P.Marcellini – C.Sbordone, Elementi di Analisi Matematica uno (versione semplificata per i nuovi
corsi di laurea), Liguori (2002).
M.Bramanti – C.D.Pagani – S.Salsa, Matematica (calcolo infinitesimale e algebra lineare,
Zanichelli (2000).
S.Salsa – A.M.Squellati, Esercizi di matematica (calcolo infinitesimale e algebra lineare), Volume
1, Zanichelli (2001).
Ulteriore materiale didattico è disponibile presso il sito internet: http://pc1amov.math.unipa.it/