Programma Analisi 1 - Talenti - Dipartimento di Matematica e

Corso di Analisi Matematica Primo Modulo, a.a. 2007-2008.
Obiettivi e finalità:
Il corso è orientato ad insegnare, nella forma più accessibile, alcune nozioni basilari dell’analisi matematica, che
intervengono alla radice delle scienze esatte e della tecnologia. Il corso verte (i) sulla rappresentazione di oggetti
geometrici o fisici mediante coordinate, spaziali o temporali, e mediante funzioni matematiche; (ii) sull'analisi di
funzioni matematiche mediante derivate, integrali, equazioni algebriche, trascendenti o differenziali.
Prerequisiti: Nozioni elementari di algebra, geometria euclidea del piano, trigonometria.
Tipo del corso: lezioni (tre ore settimanali) ed esercitazioni in aula (tre ore settimanali); qualche esercitazione scritta
in aula, qualche esercitazione in un laboratorio informatico.
Programma:
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Definizione e proprietà elementari dell’integrale alla Riemann di funzioni di una variabile reale. Calcolo diretto di
integrali molto semplici, esistenza dell’integrale di funzioni monotone.
Estremi inferiore e superiore, limiti di (a) funzioni di una variabile reale e (b) successioni. Proprietà elementari
degli estremi e dei limiti; esistenza degli estremi di funzioni e successioni limitate; esistenza di limiti di funzioni e
successioni monotone; teorema di Bolzano sull’esistenza di sotto-successioni convergenti.
Funzioni continue di una variabile reale: elenco di funzioni continue molto semplici; operazioni aritmetiche sulle
funzioni continue; esistenza di zeri; esistenza di valori minimi e massimi (teorema di Weierstrass); continuità
uniforme (teorema di Cantor) ed integrabilità; funzioni composte, funzioni inverse.; cenni sulle formule di
quadratura.
Derivate e primitive di funzioni di una variabile reale: definizioni e proprietà elementari; teoremi di Rolle e di
Lagrange, corollari facili di questi; teorema fondamentale del calcolo; tabella di derivate e di integrali indefiniti
immediati; regole di derivazione e di integrazione indefinita.
Logaritmi: definizione mediante un’equazione funzionale ed integrali; proprietà basilari; formula di Taylor e
calcolo numerico di logaritmi. Funzioni esponenziali: definizione; proprietà basilari; calcolo numerico di
esponenziali.
Testi: T.M. Apostol, Calcolo - Volume primo: Analisi 1 (Edizione Boringhieri); J. Stewart, Calcolo – Funzioni di una
variabile (Edizione Apogeo).
Modalità di esame: una prova scritta ed una successiva prova orale, da sostenere entrambe nel medesimo appello (la
prima, se fallita, esclude dalla seconda); esercitazioni scritte, che sono valutate durante il corso e possono esonerare
dell’esame scritto.