Algebra - People@Disim

Laboratorio teorico-pratico per la preparazione
alle gare di matematica
Ercole Suppa
Liceo Scientifico A. Einstein, Teramo
e-mail: [email protected]
Teramo, 3 dicembre 2014
USR Abruzzo - PLS 2014-2015, Formazione Docenti, LS Einstein TE
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Matematica olimpica delle gare a squadre
ALGEBRA
Insiemi numerici, valore assoluto, parte intera,
Prodotti notevoli, fattorizzazioni, manipolazioni algebriche
Equazioni e sistemi
Disuguaglianze algebriche
Progressioni aritmetiche e geometriche
Successioni, funzioni e serie
Somme e prodotti finiti
Polinomi
Numeri complessi
Equazioni funzionali
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Polinomi
Definizioni base
Principio di identità dei polinomi
Algoritmo della divisione
Teorema del resto e teorema di Ruffini
Teorema fondamentale dell’algebra
Radici razionali di un polinomio a coefficienti interi
Formule di Viète
Formule di Girard-Newton
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Definizione base
Sia K un anello (K = Z, Q, R, C) e siano a0 , a1 , . . . .an ∈ K.
Si dice polinomio di grado n un’espressione del tipo
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,
an 6= 0
I numeri ai sono detti i coefficienti del polinomio. Il polinomio
p(x) è detto a coefficienti in K e si scrive p(x) ∈ K[x].
I coefficienti an , a0 sono chiamati rispettivamente coefficiente
direttore e termine noto del polinomio.
Se an = 1 il polinomio di dice monico.
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Funzioni polinomiali
Si dice funzione polinomiale associata al polinomio p(x) la
funzione p : R → R definita da:
p(a) = an · an + an−1 · an−1 + · · · + a1 · a + a0 ,
∀a ∈ R
L’equazione p(x) = 0 si dice equazione (polinomiale) associata
al polinomio p(x).
Un numero reale a si dice una radice del polinomio p(x) se
p(a) = 0.
Si dice molteplicità della radice a un numero intero positivo m
tale che p(x) è divisibile per (x − a)m , ma non per (x − a)m+1 .
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Algoritmo della divisione
Dati due polinomi f (x), g(x) ∈ K[x] esistono due (unici)
polinomi q(x) e r(x) tali che:
f (x) = g(x) · q(x) + r(x)
r(x) = 0 oppure deg (r(x)) ≤ deg (g(x))
I polinomi q(x) ed r(x) si chiamano rispettivamente quoziente
e resto della divisione.
Se r(x) = 0 diciamo che g(x) divide f (x).
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Teorema del resto e teorema di Ruffini
Teorema del resto. Dato un polinomio p(x) ∈ K[x] e un
numero reale a, il resto della divisione di p(x) per (x − a) è
uguale a p(a).
Teorema di Ruffini. Un polinomio p(x) ∈ K[x] è divisibile
per un binomio del tipo x − a se e solo se p(a) = 0.
Corollario. Sia p(x) un polinomio a coefficienti interi e siano
a, b ∈ Z. Allora a − b divide p(a) − p(b).
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Teorema fondamentale dell’algebra
Teorema fondamentale dell’algebra.
Un polinomio p(x) ∈ C[x] di grado n ammette n radici nel
campo complesso (contate con le rispettive molteplicità).
Corollario. Se x1 , x2 , . . . , xn sono le radici del polinomio p(x),
contate con la rispettiva molteplicità, allora p(x) si può
scomporre in fattori lineari nel modo seguente
p(x) = an (x − x1 ) (x − x2 ) · · · (x − xn )
e tale rappresentazione è unica a meno dell’ordine dei fattori.
Principio di identità dei polinomi. Se due polinomi
p(x), q(x) ∈ K[x] di grado minore o uguale a n assumono lo
stesso valore in n + 1 punti distinti, allora sono identici, il che
significa che hanno lo stesso grado e gli stessi coefficienti.
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Radici razionali di un polinomio a coefficienti interi
Se
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,
an 6= 0
è un polinomio a coefficienti interi ed α = p/q è una radice
razionale di p(x) ridotta ai minimi termini, allora p è un
divisore del termine noto a0 e q è un divisore del coefficiente
direttore an .
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Relazioni tra le radici e i coefficienti
Sia p(x) = ax2 + bx + c un polinomio di secondo grado e siano
x1 , x2 le sue radici (in generale complesse), contate con la loro
molteplicità. Allora
b
σ1 = x1 + x2 = −
a
c
σ2 = x1 x2 =
a
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Relazioni tra le radici e i coefficienti
Sia p(x) = ax3 + bx2 + cx + d un polinomio di terzo grado e
siano x1 , x2 , x3 le sue radici (in generale complesse), contate con
la loro molteplicità. Allora
b
a
c
σ2 = x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 =
a
d
σ3 = x1 x2 x3 = −
a
σ1 = x1 + x2 + x3 = −
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Relazioni tra le radici e i coefficienti
Formule di Viète
Sia p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 un polinomio a
coefficienti reali di grado n e siano x1 , x2 , . . . , xn le sue radici
(in generale complesse), contate con la loro molteplicità. Allora
an−1
an
an−2
σ2 = x1 x2 + x1 x3 + · · · + xn−1 xn =
an
σ1 = x1 + x2 + · · · + xn = −
σ3 = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + · · · + xn−2 xn−1 xn = −
an−3
an
···························
a0
σn = x1 x2 · · · xn = (−1)n
an
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Formule di Girard-Newton
Anche le somme di potenze delle radici hanno delle regolarità,
infatti se poniamo:
Sk = xk1 + xk2 + · · · + xkn
abbiamo il seguente teorema:
Formule di Girard-Newton. Sia
p(x) = a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an−1 x + an
un polinomio a coefficienti reali di grado n e siano x1 , x2 , . . . , xn
le sue radici (in generale complesse), ripetute con la loro
molteplicità. Allora per ogni k > 0 abbiamo:
a0 Sk + a1 Sk−1 + a2 Sk−2 + · · · + ak−1 S1 + kak = 0
avendo posto aj = 0 per j > n.
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