Liceo scientifico A. Einstein Teramo Stage olimpico – Algebra

Liceo scientifico A. Einstein Teramo
Stage olimpico – Algebra
Cecilia Balocchi
Federico Poloni
5 dicembre 2012
Esercizio 1. Sia p(x) un polinomio a coefficienti interi, tale che p(1) = p(2) = p(3) =
8. Dimostrare che 8 divide p(d) per ogni d dispari.
Esercizio 2. Sia p(x) un polinomio di grado 21, tale che p(n) = 2n per i primi 21
numeri naturali n. Trova le ultime tre cifre di p(22).
Esercizio 3. Sia p(x) un polinomio a coefficienti interi tale che p(1) = 1 e p(7) = 7.
Cosa possiamo dire su p(4)?
Esercizio 4. Sappiamo che un polinomio ha come termine di grado più alto x4 e
come termine noto 12. Quanti diversi coefficienti può avere il termine di terzo grado?
Esercizio 5. Per quante coppie (p, q) di numeri primi (positivi) il polinomio x2 +px+q
ha due radici intere?
Esercizio 6. Trovare tutte le coppie (p, q) di numeri primi (positivi) tali che
l’equazione
x2 − (6p − 4q)x + 3pq = 0
abbia due radici intere.
Esercizio 7. Siano α, β, γ le radici del polinomio x3 − 6x2 + 12x − 15. Si determini
un polinomio di terzo grado avente come radici αβ, βγ, αγ.
Esercizio 8. Se x + y = 30 e x3 + y 3 = 8100, quanto vale x2 + y 2 ?
Esercizio 9. Il numero 10101 non è un numero primo. Dimostrare che non lo è
nemmeno se si cambia la base del sistema di numerazione.
Esercizio 10. Si sa che p(x) è un polinomio monico di grado 5. Inoltre, si sa che
le soluzioni dell’equazione p(x) = 0 sono esattamente x = 0, 1, 2, 4. Determinare il
massimo valore che può assumere il coefficiente del termine di primo grado.
Esercizio 11. Se un polinomio a coefficienti interi P (x) ha tre radici tutte intere
e distinte fra loro, quanto può valere al minimo |P (n)| sapendo che n è intero e
P (n) 6= 0?
Esercizio 12. Siano a0 , a1 , a2 , . . . numeri interi tali che a0 = 19, a1 = 25, e per ogni
n ≥ 0 valga an+2 = 2an+1 − an . Qual è il più piccolo i > 0 per cui ai è multiplo di
19?
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Esercizio 13. In Britannia i cinghiali scarseggiano, e cosı̀ Borelix ha dovuto mettersi
a dieta: ogni giorno mangia 1 cinghiale in più dei 2/3 del numero di cinghiali che
aveva mangiato il giorno prima. Sapendo che il nono giorno di permanenza sull’isola
mangia solo 259 cinghiali, quanti ne aveva mangiati il primo giorno?
Esercizio 14. Sia x0 , x1 , x2 , . . . la successione definita da x0 = 2 e xn+1 = 5 + (xn )2
per ogni n naturale. Dimostrare che in tale successione non compaiono numeri primi
diversi da 2.
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