Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria
Meccanica
Esercitazioni sui Numeri Complessi (rev. 1)
30 settembre 2005
Esercizio
1 Si scrivano il coniugato e l’inverso del numero complesso z =
√
7 − i 2.
√
Soluzione. Il complesso coniugato è evidentemente dato z̄ = 7 + i 2. Per
trovare l’inverso, si può porre z −1 = x + iy e imporre
√
(x + iy)(7 − i 2) = 1.
Svolgendo il prodotto ed eguagliando parte reale e parte immaginaria si
ottiene il sistema
(
√
7x + 2y = 1
√
7y − 2x = 0,
√
la cui soluzione
è
data
da
(x,
y)
=
(7/51,
2/51). Pertanto l’inverso cercato
√
7+i 2
−1
è z = 51 . In generale l’inverso di a + ib si ottiene in maniera analoga e
risulta essere aa−ib
2 +b2 .
√
Esercizio 2 Si scriva in forma polare il numeor complesso z1 = 3 + i e in
3
forma cartesiana il numero complesso z2 = 5ei 4 π . Si calcoli poi il prodotto
z1 z2 e lo si scriva nelle due forme.
√
Soluzione. Il modulo di z1 si trova tramite |z1 |2 = ( 3)2 + 12 = 4 e l’argomento, con semplici considerazioni trigonometriche o geometriche, risulta
3
3
π
iπ
essere
.
Pertanto
z
1 = 2e 6 . Quanto a z2 si ha z2 = 5(cos( 4 π) + i sin( 4 π)) =
6
√
√
− 5 2 2 + i 5 2 2 . In forma cartesiana pertanto si ha
√
√
√
√ !
√
√ !
√
5 2
5 2
5 6 5 2
5 2 5 6
+i
)= −
−
+i −
+
.
z1 z2 = ( 3 + i)(−
2
2
2
2
2
2
1
In forma polare invece risulta
π
3
11
z1 z2 = 2 · 5 · ei 6 · ei 4 π = 10ei 12 π .
Si noti come l’uguaglianza fra le due scritture di z1 z2 permetta di calcolare
11
agevolmente seno e coseno di 12
π.
√
Esercizio 3 Si trovino le soluzioni z di z 4 = −8 + i8 3.
Soluzione. Si tratta di trovare le radici quarte del numero
√ !
√
2
1
3
z0 = −8 + i8 3 = 16 − − i
= 16ei 3 π .
2
2
Tali radici sono quattro e sono date in forma polare da
√
1 2
π
π
4
wk = 16ei 4 ( 3 π+2kπ) = 2ei( 6 +k 2 ) , per k = 0, 1, 2, 3.
Esercizio 4 Si risolva l’equazione di secondo grado a coefficienti complessi
√
iz 2 − 2 2(1 + i)z + 3 = 0.
Soluzione. Si usa l’usuale formula per risolvere le equazioni di secondo grado:
p
√
2 2(1 + i) ± 8(1 + i)2 − 12i
.
z1,2 =
2i
Dapprima calcoliamo 8(1 + i)2 − 12i = 8(1 − 1 + 2i) − 12i = 4i e ne troπ
viamo le radici quadrate.
Siccome
4i = 4ei 2 , le sue √
radici √
quadrate sono
√
√
i 54 π
i π4
i π4
rispettivamente 2e = 2 + i 2 e 2e = −2e = − 2 − i 2. Pertanto
√
√
2 2(1 + i) ± 2(1 + i)
z1,2 =
.
2i
Moltiplicando denominatore e numeratore per −i/2 si ottiene
√ !
√ !
√
√
2
2
−i
.
z1,2 =
2±
2±
2
2
Osservazione 1 Abbiamo visto come in C ogni equazione polinomiale di
secondo grado oppure del tipo z n = z0 ammetta sempre soluzioni. Questo deriva dal fatto che ogni numero complesso ha radici n−sime (ed in particolare
quadrate).
2
In realtà vale molto di più, ovvero il seguente teorema.
Teorema 1 (Teorema fondamentale dell’algebra) Ogni polinomio p a
coefficienti complessi (o reali, come caso particolare) di grado non nullo
ammette almeno una radice complessa, cioè un numero z0 ∈ C tale che
p(z0 ) = 0.
Corollario 1 Ogni polinomio a coefficienti complessi p di grado n si scompone completamente in fattori di primo grado:
p(z) = a(z − z1 ) · · · · · (z − zn ),
dove a è il coefficente del termine z n in p e z1 , . . . , zn sono le n radici,
eventualmente ripetute con la loro molteplicità, del polinomio p.
Esercizio 5 Si scompongano i seguenti polinomi a coefficienti complessi
x3 − 3x + 2;
x4 + x3 + 2x2 + x + 1;
x3 + 3x2 − 4;
x4 + x3 + x2 + x + 1.
Soluzione. Per la prima coppia di polinomi si nota subito, sommando i
coefficienti, che in entrambi i casi il numero 1 è una radice. Dividendo i
polinomi per (x − 1) si ottiene
x3 − 3x + 2 = (x − 1)(x2 + x − 2) = (x − 1)(x − 1)(x + 2),
x3 + 3x2 − 4 = (x − 1)(x2 + 4x + 4) = (x − 1)(x + 2)(x + 2),
dove le radici dei fattori di secondo grado sono state trovate con la formula
risolutiva. Si noti come i due polinomi abbiano le stesse radici, ma con
molteplicità diversa, e pertanto non coincidano.
Per il terzo polinomio si esegue prima una fattorizzazione
x4 + x3 + 2x2 + x + 1 = (x4 + x3 + x2 ) + (x2 + x + 1) = (x2 + 1)(x2 + x + 1).
Poi di ognuno dei due fattori di secondo grado si trovano le radici con la
formula risolutiva. Esse risultano essere radici complesse, per cui il polinomio
in C si scompone come
√
√
1
3
3
1
4
3
2
)(x + − i
),
x + x + 2x + x + 1 = (x − i)(x + i)(x + + i
2
2
2
2
mentre in R si sarebbe scomposto solo secondo la fattorizzazione già trovata
con polinomi di secondo grado.
Per il terzo polinomio cercheremo subito le radici. Si noti che
(x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1) = x5 − 1,
3
pertanto le radici di x4 + x3 + x2 + x + 1 sono tutte e sole le radici di x5 − 1,
eccetto la radice 1, che in effetti non annulla x4 + x3 + x2 + x + 1. Le radici di
π
x5 − 1 sono le radici del numero complesso 1 e sono quindi date da wk = eik 5 .
Si ha quindi
π
2
3
4
x4 + x3 + x2 + x + 1 = (x − ei 5 )(x − ei 5 π )(x − ei 5 π )(x − ei 5 π ).
In entrambi questi ultimi casi si noti che le quattro radici complesse sono a
due a due coniugate. Questo succede per ogni polinomio a coefficienti reali.
Esercizi non svolti a lezione
Esercizio 6 Sapendo che 1 + i è radice del polinomio p(z) = z 4 − 5z 3 +
10z 2 − 10z + 4 si trovino le altre radici e si somponga p.
Esercizio 7 Si determino i numeri complessi α ∈ C tale che l’equazione
z 2 + |z|2 = αz|z|
abbia soluzioni complesse diverse da z = 0.
4