Stage di Trieste - Esercitazione Algebra

Stage di Trieste - Esercitazione Algebra
Esercizi di Algebra
1. *Qual è la somma algebrica dei coefficienti del polinomio (𝑥 21 + 4𝑥 2 − 3)2001 − (𝑥 21 + 4𝑥 2 −
3)667 + 𝑥 21 + 4𝑥 2 ?
2. **Sia 𝑃(𝑥) un polinomio di secondo grado a coefficienti reali. Se 𝑃 (2000) = 2000 e 𝑃 (2001) =
2001 allora 𝑃(2002) non può valere…
3. **Per quanti valori di a l’equazione 𝑥 3 + (𝑎 − 4)𝑥 2 + (𝑎 + 4)𝑥 + 9 = 0 ha esattamente due
soluzioni coincidenti?
4. **Quanto vale la somma dei reciproci delle radici dell’equazione 𝑥 4 − 2𝑥 3 − 7𝑥 2 − 2𝑥 + 9 = 0
5. *Dimostrare che 𝑥 2011 𝑦 − 𝑥𝑦 2011 + 𝑧 2011 𝑥 − 𝑥 2011 𝑧 + 𝑦 2011 𝑧 − 𝑦𝑧 2011 è divisibile per
(𝑥 − 𝑦)(𝑦 − 𝑧)(𝑧 − 𝑥)
6. ***Quanto vale la somma delle seste potenze delle radici dell’equazione 𝑥 6 − 16𝑥 4 + 16𝑥 2 − 1 =
0?
7. *Sia 𝑃(𝑥) un polinomio di grado 2010. Qual è il massimo grado che può avere il polinomio
𝑃 (𝑥 − 1) − 3𝑃 (𝑥) + 3𝑃 (𝑥 + 1) − 𝑃(𝑥 + 2)?
8. *Sia 𝑃(𝑥) un polinomio monico di terzo grado, e 𝑎𝑖 il coefficiente del termine di grado 𝑖. Sapendo
che la somma di due delle radici del polinomio vale zero, quale delle seguenti risposte è sempre
vera? i) 𝑎0 𝑎1 𝑎2 = 0, ii) 𝑎0 = 𝑎1 𝑎2 iii) 𝑎0 = 𝑎1 + 𝑎2 iv)𝑎12 = 𝑎0 𝑎2 v)nessuna delle precedenti
9. **Sia 𝑃(𝑥) un polinomio monico di grado 20 a coefficienti interi. Per tutti i 𝑘 compresi fra 1 e 20,
𝑃 (𝑘) = 2𝑘. Quali sono le ultime 3 cifre di 𝑃(21)?
10. ***Siano 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 cinque interi distinti tali e 𝑝(𝑥) un polinomio a coefficienti interi tale che
𝑝(𝑎) = 𝑝(𝑏) = 𝑝(𝑐) = 𝑝(𝑑) = 𝑝(𝑒) = 1. Per quanti interi 𝑘 compresi fra 2001 e 2020 (estremi
inclusi) è possibile trovare un 𝑛 tale che 𝑝(𝑛) = 𝑘?
11. ***In Britannia i cinghiali scarseggiano, e così Borelix ha dovuto mettersi a dieta: ogni giorno
mangia 1 cinghiale in più dei 2/3 del numero di cinghiali che aveva mangiato il giorno prima.
Sapendo che il nono giorno di permanenza sull’isola mangia solo 259 cinghiali, quanti ne aveva
mangiati il primo giorno?
*Facile
**Medio
***Difficile o non trattato a lezione
Stage di Acireale - Esercitazione Algebra
Esercizi di Algebra
1. 22001 − 2667 + 5 La somma dei coefficienti è 𝑃(1)
2. 2002, non può avere grado 1 quindi non può essere…
3. 3, una radice la trovo subito, e poi ragiono sulle condizioni da porre su a
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, fare comune denominatore ed identificare numeratore e denominatore così ottenuti
Basta vedere che il polinomio si annulla ponendo uguali due delle variabili
6662, due radici sono facili da trovare, per le altre 4 si usano le relazioni dei coefficienti
2007, tutti gli altri termini dello sviluppo si cancellano sempre
È la ii, infatti 𝑎0 è il prodotto delle radici, 𝑎2 è la terza radice e 𝑎1 è il prodotto delle prime due
42, 𝑃 (𝑘) − 2𝑘 ha come radici…
6, 𝑝(𝑥) − 1 ha almeno un certo numero di fattori primi…
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