Laurea Triennale in Informatica a.a. 2011/2012 Programma del

Laurea Triennale in Informatica
Programma del Corso di Analisi Matematica
a.a. 2011/2012
Prof.ssa Monica Lazzo
La retta reale e il piano cartesiano
Operazioni e ordinamento nell’insieme dei numeri reali. Maggioranti e minoranti. Massimo e minimo.
Estremo superiore e inferiore. Proprietà dell’estremo superiore. Proprietà archimedea∗ . Proprietà di
densità∗ . Rappresentazione geometrica di R. Retta reale. Intervalli limitati e illimitati. Valore assoluto. Rappresentazione decimale. Piano cartesiano. Trasformazioni nel piano: traslazioni, dilatazioni,
riflessioni, simmetrie. Equazione della retta, della parabola, della circonferenza.
Funzioni reali di variabile reale
Generalità. Grafico di una funzione. Test delle rette verticali. Funzioni limitate. Massimo, minimo,
estremo superiore e inferiore di una funzione. Funzioni monotone. Funzioni convesse. Punti di flesso.
Funzioni simmetriche. Funzioni periodiche. Operazioni con le funzioni. Composizione di funzioni.
Funzioni invertibili. Test delle rette orizzontali. Invertibilità delle funzioni strettamente monotone.
Grafico della funzione inversa. Trasformazioni di grafici: traslazioni, riscalamenti, riflessioni rispetto
agli assi, composizione con il valore assoluto, passaggio al reciproco. Funzioni elementari: funzioni
lineari; funzione valore assoluto; funzione segno; funzione parte intera e funzione mantissa; funzione
potenza a esponente naturale; funzione radice; funzione potenza a esponente reale; funzione esponenziale; funzione logaritmo; funzioni trigonometriche; funzioni trigonometriche inverse. Equazioni e
disequazioni con le funzioni elementari. Risoluzione di equazioni e disequazioni con l’ausilio dei grafici.
Successioni numeriche
Generalità. Successioni limitate. Massimo, minimo, estremo superiore e inferiore di una successione. Successioni monotone. Proprietà vere definitivamente. Successioni infinitesime, convergenti,
divergenti. Limite di una successione regolare. Regolarità delle successioni monotone∗ . Limiti e limitatezza. Progressione geometrica. Numero di Nepero. Successioni definite per ricorrenza. Operazioni
con successioni convergenti∗ . Operazioni con successioni divergenti. Reciproco di una successione
infinitesima. Teorema di permanenza del segno∗ . Teorema di convergenza obbligata∗ . Teorema di
divergenza obbligata. Forme di indecisione. Criterio per determinare se una successione è infinitesima.
Alcuni limiti notevoli.
Limiti di funzioni
Successioni test. Punti di accumulazione. Limite di una funzione (unilaterale e bilaterale). Intorni;
proprietà vere vicino a un punto. Operazioni con funzioni convergenti. Operazioni con funzioni
divergenti. Reciproco di una funzione infinitesima. Teorema di permanenza del segno. Teorema
di convergenza obbligata∗ . Teorema di divergenza obbligata. Forme di indecisione. Cambiamento
di variabile nei limiti. Limiti agli estremi del dominio delle funzioni elementari. Asintoti verticali,
orizzontali, obliqui; classificazione dell’andamento all’infinito. Funzioni asintoticamente equivalenti.
Proprietà delle equivalenze asintotiche. Ordine e parte principale di un infinitesimo e di un infinito.
Confronto tra infinitesimi e tra infiniti. Alcuni limiti notevoli.
Funzioni continue
Continuità in un punto e in un insieme. Classificazione dei punti di discontinuità. Operazioni con
funzioni continue. Continuità della funzione composta. Continuità della funzione inversa. Continuità delle funzioni elementari. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Immagine di
una funzione continua in un intervallo. Teorema degli zeri. Risoluzione approssimata di equazioni
algebriche e trascendenti.
Calcolo differenziale
Rapporto incrementale. Derivata. Funzioni derivabili. Derivabilità a destra e sinistra. Continuità
delle funzioni derivabili. Significato geometrico della derivata. Retta tangente. Punti singolari e loro
classificazione. Operazioni con le derivate. Derivata della funzione composta. Derivata della funzione
inversa. Derivate delle funzioni elementari. Derivate successive. Teorema di Lagrange. Criterio di
monotonia∗ . Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla in un intervallo. Massimi e minimi
globali e locali. Teorema di Fermat∗ . Test della derivata prima. Criterio di convessità∗ . Regola di de
l’Hôpital. Applicazione della regola di de l’Hôpital: confronto tra alcuni infiniti. Polinomio di Taylor.
Formula di Taylor con il resto di Peano e con il resto di Lagrange. Sviluppi di Taylor di alcune funzioni
elementari. Applicazioni delle formule di Taylor: risoluzione di forme di indecisione, approssimazione
locale di funzioni.
Calcolo integrale
Primitive di una funzione. Caratterizzazione delle primitive in un intervallo. Integrale indefinito.
Integrali indefiniti immediati. Integrazione per scomposizione, per sostituzione, per parti; integrazione
di alcune funzioni razionali. Somme di Cauchy-Riemann di una funzione limitata. Funzioni integrabili. Integrale definito. Interpretazione geometrica dell’integrale. Calcolo di aree. Classi di funzioni
integrabili. Proprietà di linearità, additività e monotonia. Teorema della media integrale∗ . Teorema
e formula fondamentale del calcolo integrale∗ . Integrali impropri.
Serie numeriche e di Taylor
Somme parziali. Serie convergenti, divergenti, indeterminate. Condizione necessaria per la convergenza. Serie telescopiche. Serie geometrica. Operazioni con le serie. Stima del resto e calcolo
approssimato della somma di una serie. Serie a termini positivi. Regolarità delle serie a termini
positivi. Criterio dell’integrale. Serie armonica generalizzata. Criterio del confronto. Criterio del
confronto asintotico. Serie a segni alterni. Criterio di Leibniz. Serie armonica alternata. Convergenza assoluta. Legame tra convergenza e convergenza assoluta∗ . Serie condizionalmente convergenti.
Criterio del rapporto∗ . Serie di Taylor. Sviluppi in serie di alcune funzioni elementari. Integrazione
termine a termine. Integrazione approssimata.
Avvertenze
Gli argomenti sono raggruppati per attinenza. L’ordine in cui essi sono elencati non coincide necessariamente con l’ordine in cui sono stati trattati durante il corso.
La dimostrazione dei risultati contrassegnati con
della parte B della prova scritta.
∗
è parte integrante del programma e sarà oggetto
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• M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica 1, Zanichelli
• S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di analisi matematica 1, Zanichelli
• P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di analisi matematica 1, Liguori Editore
• M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi matematica, Volume 1, Apogeo
• J. Stewart, Calcolo – Funzioni di una variabile, Apogeo
Prerequisiti
• G. Malafarina, Matematica per i precorsi, McGraw-Hill
• C. Belingeri, F. Bongiorno, F. Rosati, Matematica - 30, Aracne
• M. Bramanti, G. Travaglini, Matematica. Questioni di metodo, Zanichelli