Programma di riferimento per la I parte scritta

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni
Anno Accademico 2012/13
Programma di Analisi Matematica di riferimento per la I parte scritta
A.Capozzi
Numeri.
Concetti di base sugli insiemi. Un po’ di logica elementare. Il simbolo di sommatoria. Fattoriale di n. Coefficienti
binomiali e formula di Newton. Campi ordinati. Numeri reali. Inadeguatezza dell’insieme dei razionali per misurare le
lunghezze. Estremo superiore e assioma di continuità. Valore assoluto. Disuguaglianza triangolare. Intervalli. Radici
n-sime aritmetiche. Potenze a esponente reale. Logaritmi. Cenni sugli insiemi infiniti. Il principio di induzione. Numeri
complessi. Definizione di C e struttura di campo. Coniugato e modulo. Forma trigonometrica. Radici n-sime.
Funzioni di una variabile.
Il concetto di funzione. Funzioni reali di variabile reale. Generalità. Funzioni limitate. Funzioni simmetriche. Funzioni
monotone. Funzioni periodiche. Funzioni elementari. Funzioni potenza. Funzioni esponenziali e logaritmiche. Funzioni
trigonometriche. Funzioni definite a tratti. Funzioni composte. Funzioni invertibili; funzioni inverse. Le funzioni
trigonometriche inverse.
Introduzione alle proprietà locali e al concetto di limite. ( * )
Intorni. Insiemi aperti e chiusi. Limite. Proprietà elementari dei limiti. Primi limiti notevoli.
Successioni e serie. ( * )
Successioni a valori in IR. Definizione del numero e . Sottosuccessioni. Criterio di Cauchy. Serie numeriche:
definizione e proprietà elementari. Serie numeriche a termini positivi. Criterio del confronto. Criterio del rapporto,
criterio della radice. Convergenza assoluta, criterio di Leibniz.
Ulteriori elementi della teoria dei limiti. ( * )
Cenni su infinitesimi, infiniti e confronti. Asintoto orizzontale, obliquo, verticale. Cenni su insiemi compatti.
Funzioni continue da IR in IR. ( * )
Definizione di continuità. Punti di discontinuità. Teorema degli zeri. Funzioni continue su un intervallo chiuso e
limitato. Cenni su continuità lipschitziana e continuità uniforme.
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile.
Introduzione al calcolo differenziale. Derivata e retta tangente. Derivate di funzioni elementari. Punti angolosi,
cuspidi, flessi a tangente verticale. Algebra delle derivate. Derivata di una funzione composta. Punti stazionari.
Massimi e minimi locali. Teorema del valor medio. Test di monotonia. Il teorema di de l’Hospital. Limite della
derivata e derivabilità. Derivata seconda, concavità e convessità. Studio del grafico di una funzione. Calcolo
differenziale e approssimazioni. Differenziale e approssimazione lineare. Il simbolo di “o piccolo”. Formula di TaylorMacLaurin con resto secondo Peano. Formula di Taylor-MacLaurin con resto secondo Lagrange.
Calcolo integrale per funzioni di una variabile.
Introduzione al calcolo integrale. L’integrale come limite di somme. La definizione di integrale. Classi di funzioni
integrabili. Proprietà dell’integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali generalizzati.
Integrazione di funzioni non limitate. Integrazione su intervalli illimitati. Funzioni integrali.
Testi di riferimento:
M. Bramanti – C.D. Pagani – S. Salsa “Analisi Matematica I “ – Zanichelli
( * ) M. Bertsch – R Dal Passo – L. Giacomelli “Analisi Matematica” – McGraw-Hill