Esercizi svolti - Numeri complessi

Benenti, Chanu, Fino - Corso di Matematica B, 2003-2004.
1
Esercizi svolti - Numeri complessi
1 Determinare e rappresentare geometricamente le radici cubiche di
z = −2 + 2i = 2(i − 1).
***
Dobbiamo innanzitutto calcolare il modulo e l’angolo del numero dato:
ρ = |z| =
x2 + y 2 =
√
√
√
3
4 + 4 = 8 = 2 2 = 22 .
Da ρ cos θ = x = −2 e ρ sin θ = y = 2 ricaviamo
cos θ =
√
2/2,
ρ sin θ =
√
2/2.
Dunque: θ = 34 π. Nel piano complesso il numero dato risulta collocato cosı̀:
.y
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x
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√
Essendo 3 ρ =
√
raggio 2:
3
3
22 =
√
2, le tre radici (w0 , w1 , w2 ) si trovano collocate sul cerchio di
Dipartimento di Matematica
.y
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x
1 ..
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26.1.2004
2
Esercizi svolti - Numeri complessi
La prima radice (w0 ) ha angolo uguale a θ/3 = π4 . Le altre due sono i rimanenti vertici
del triangolo equilatero costruito a partire da questo punto:
. y
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z ............
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....... .. .............. w0
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w1 •................................ ....
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x
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. 1 ...
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.. w2
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Applicando la formula delle radici otteniamo comunque
√

w0 = 2 cos π4 + i sin π4 = 1 + i,


√
√
w1 = 2 cos 13 34 π + 2π + i sin 13 34 π + 2π = 2 cos 11
π + i sin 11
12
12 π ,

√
√

1 3
1 3
19
w2 = 2 cos 3 4 π + 4π + i sin 3 4 π + 4π = 2 cos 12 π + i sin 19
12 π .
2 Determinare le radici cubiche di −8 e quindi determinare la decomposizione in fattori
reali del polinomio reale x3 + 8.
***
Le tre radici cubiche sono (applicare il metodo dell’esercizio precedente).
√
w0 = 1 + i 3,
w1 = −2,
√
w2 = 1 − i 3.
Esse sono le tre radici dell’equazione x3 + 8 = 0. Pertanto, in base al teorema di
fattorizzazione abbiamo la scomposizione complessa in tre fattori
√
√
z 3 + 8 = (z + 2)(z − 1 − i 3)(z − 1 + i 3).
La scomposizione reale si ottiene moltiplicando tra loro i fattori con le radici coniugate
(si ottiene un polinomio reale di secondo grado):
x3 + 8 = (x + 2)(x2 − 2x + 4).
26.1.2004
Università di Torino