I numeri complessi e la funzione eix

I numeri complessi e la funzione eix
S.Sarti
December 17, 2009
1
Questioni generali sui numeri complessi
√
Un numero complesso z = x + iy (i = −1) ha proprietà simili a quelle di
un binomio le cui componenti devono rimanere separate. La somma di due
numeri complessi z1 e z2 vale infatti
z1 + z2 = (x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
(una analoga formula vale per la sottrazione fra due numeri complessi) mentre il prodotto vale
z1 z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = (x1 x2 ) + i2 (y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 )
= [(x1 x2 ) − (y1 y2 )] + i[(x1 y2 + x2 y1 )]
√
dove si è usato il fatto che essendo i = −1 ⇒ i2 = −1.
Il modo migliore per ricordarsi del fatto che la parte reale (x) e la parte immaginaria (y) di un numero complesso devono rimanere sempre ben divise
è quello di immaginare un numero complesso come un vettore su un piano
{x, y}, la cui coordinata x corrisponde alla sua parte reale e la sua coordinata y ala sua parte immaginaria. Questa ”visualizzazione” funziona anche
in modo perfetto per descrivere la somma e la sottrazione fra numeri
complessi (che risulta come somma o sottrazione fra le singole componenti
dei due vettori) ma non deve ingenerare confusione per quanto riguarda il
prodotto: di fatto, il prodotto di due numeri complessi è ancora un numero
complesso (cioè, nella visualizzazione cartesiana, un vettore nel piano {x, y},
mentre il prodotto fra due vettori ha come risultato uno scalare (nel caso di
prodotto scalare) o un vettore perpendicolare ai due vettori che lo originano
(quindi, nel caso dei numeri complessi, un vettore lungo l’asse z!).
1
Utilizzando questa notazione, si deduce anche che, volendo, un numero complesso può essere rappresentato,
anzichè con due coordinate cartesiane, con
p
un modulo (|z| = x2 + y 2 ) ed un angolo (arg(z) = θ = arctan y/x) che
identifichi la direzione del vettore rispetto all’asse reale. In questo caso, si
avrà evidentemente
x = |z| cos θ
y = |z| sin θ
o anche
z = x + iy = |z| cos θ + i|z| sin θ = |z|(cos θ + i sin θ)
La quantità fra parentesi può essere riscritta in modo più compatto, e gode
di proprietà molto interessanti che rendono assai più semplice la gestione
dei numeri complessi in numerose situazioni.
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Derivazione della formula di Eulero
Per comprendere meglio il significato e le proprietà dell’espressione suddetta,
consideriamo lo sviluppo in serie di Taylor delle funzioni seno e coseno:
sin(x) =
∞
X
1 dn sin(x) n!
dxn n=0
xn
x=0
1
= 0 + x − 0 − x3 + ...
6
(dove si è tenuto conto del fatto che la d sin(x)
= cos(x),
dx
che sin(0) = 0 e cos(0) = 1), mentre in modo analogo
cos(x) =
∞
X
1 dn cos(x) n!
dxn n=0
d cos(x)
dx
xn
x=0
1
= 1 − 0 − x2 + 0 − ...
2
da cui risulta immediatamente che
1
1
cos(x) + i sin(x) = 1 + ix − x2 − i x3 + ...
2
6
2
= − sin(x) e
Ricordando che
eαx =
∞
X
1 dn eαx n! dxn n=0
xn
x=0
1
1
= 1 + αx + α2 x2 + α3 x3 + ...
2
6
e ricordando che i2 = −1, i3 = i(i2 ) = −i e cosı̀ via si ottiene quindi che
ponendo α = i e confrontando le ultime due equazioni si ha immediatamente
cos(x) + i sin(x) = eix
e quindi un numero complesso z può anche essere scritto come
z = |z|eiθ
3
(1)
Proprietà della funzione eix
La funzione eix = cos(x) + i sin(x) è una funzione che lega un numero reale
(x) ad un numero complesso che gode delle seguenti proprietà:
1. ∀x, |eix | = cos(x)2 + sin(x)2 = 1, per le proprietà di seni e coseni
2. eiθ + e−iθ = cos θ + i sin θ + cos θ − i sin θ = 2 cos θ, e quindi cos θ =
iθ
−iθ
eiθ +e−iθ
. Analogamente, sin θ = e −e
2
2i
3. Facendo uso delle relazioni trovate in 2, si ottiene facilmente che
qualunque combinazione di sin(x), cos(x) può essere scritta come combinazione di eix , e−ix
4. eiα eiβ = eiα+β , come sempre nel caso della funzione esponenziale
5. eiαβ = eiβ
ticolare
α
e−iα
, come consueto nella funzione esponenziale, ed in par-
= eiα
−1
= 1/eiα
6. eiα + eiβ = ei
α+β
2
ei
α−β
2
+ e−i
α−β
2
= ei
α+β
2
2 cos( α−β
2 )
7. eiα − eiβ = ei
α+β
2
ei
α−β
2
− e−i
α−β
2
= ei
α+β
2
2i sin( α−β
2 )
3
In generale, le proprietà 2-7 permettono di eseguire operazioni semplici su
funzioni seno e coseno (somma di seni e coseni, coseni e seni di somme
di angoli...) con formule molto più semplici da gestire e più facilmente
generalizzabili (v. circuiti in corrente alternata e onde).
Facendo uso delle proprietà 4-7, si ha che per il calcolo di somme, sottrazioni,
prodotti e divisioni di numeri complessi valgono le seguenti regole:
1. z1 + z2 = |z1 |eiθ1 + |z2 |eiθ2 . Non molto semplice da gestire nel caso
generale, ma se i due moduli sono uguali (|z1 | = |z2 | = |z|) si ottiene
z1 + z2 = |z| eiθ1 + eiθ2 = 2|z|ei
θ1 +θ2
2
cos(
θ1 − θ2
)
2
2. z1 z2 = |z1 |eiθ1 |z2 |eiθ2 = |z1 ||z2 |ei(θ1 +θ2 ) , ovvero il prodotto di due numeri complessi è un numero complesso che ha modulo pari al prodotto
dei moduli e argomento pari alla somma degli argomenti.
3. z1 /z2 = (|z1 |eiθ1 )/(|z2 |eiθ2 ) = (|z1 |/|z2 |)ei(θ1 −θ2 ) , ovvero il rapporto fra
due numeri complessi è un numero complesso che ha modulo pari al
rapporto fra i moduli e argomento pari alla differenza degli argomenti.
4. (corollario di 2) z 2 = z ∗ z = |z|2 ei2θ , ovvero il quadrato di un numero
complesso z è un numero complesso il cui modulo è il quadrato del
modulo di z e l’argomento è il doppio di quello di z
p
√
5. (corollario di 4) z = |z|eiθ/2 , ovvero la radice di un numero complesso z è un numero complesso il cui modulo è la radice del modulo di
z e l’argomento è la metà di quello di z
4