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Vettori
In questo capitolo andremo ad introdurre un concetto fondamentale in Matematica, Fisica
e Informatica, quello di vettore. Vedremo alcune delle principali proprietà di tali oggetti
e partendo da un'interpretazione sica, astrarremo il concetto di vettore sino ad arrivare
n-dimensionale,
a parlare di vettore
1.1
che in informatica è noto con il nome di array.
Vettori e spazi vettoriali
Il concetto di vettore nasce dalla necessità di lavorare con quantità siche che non hanno
solo una grandezza (come ad esempio la temperatura e la lunghezza) ma hanno anche una
direzione e un verso (ad esempio la velocità non solo indica l'intensità con cui un corpo
si muove, ma dà informazioni anche sul percorso che questo compie).
Denizione 1.1
(Vettore)
.
v
Un vettore
è un segmento orientato, ovvero munito di
una freccia in una delle due estremità. Esso è completamente determinato dai seguenti
elementi:
1. il modulo
|v|,
ovvero la lunghezza del segmento;
2. la direzione, ovvero la retta individuata dal segmento;
3. il verso, indicato dalla freccia.
Denizione 1.2. Diciamo che v è applicato nel punto A (o che A è il punto di applicazione
di
v)
se l'estremità del segmento dove non punta la freccia coincide con
A.
Deniamo adesso due operazioni con i vettori, somma e prodotto per scalare.
Denizione 1.3
vettore
v+w
(Regola del parallelogramma)
.
La somma tra due vettori
di applicazione di
v
Osservazione 1.1.
w
e
individuato dalla diagonale del parallelogramma che ha come lati
disposti in modo tale da avere stesso punto di applicazione. Il verso di
di
v
e
w
è il
e
w
va dal punto
al vertice opposto.
−w è il vettore che
Poiché v − w = v + (−w),
Il vettore
ma verso opposto.
v+w
w
v
ha stesso modulo e stessa direzione
abbiamo denito anche l'operazione
dierenza tra due vettori.
Denizione 1.4
(Prodotto per scalare)
reale non nullo), deniamo
λv
.
Dato uno scalare
il vettore che ha:
1
λ 6= 0
(ovvero
λ
è numero
v;
1. direzione uguale a quelli di
2. verso uguale a quello di
λ
3. modulo pari a
v,
mentre se
se
λ>0
volte quello di
valore assoluto di
Osservazione 1.2.
v
λ,
ovvero
λ
ovvero
|λv| = |λ||v|,
dove con
|λ|
intendiamo il
privato del segno.
Notiamo che se
0 < λ < 1, λv
v,
λ < 0;
e opposto se
λ > 1, λv
è un vettore che risulta dilatato rispetto a
risulterà compresso.
Diamo ora la denizione di spazio vettoriale visto come un'insieme di vettori che è possibile sommare e moltiplicare per uno scalare, in modo tale che le operazioni si comportino
bene.
Denizione 1.5
(Spazio vettoriali)
.
Uno spazio vettoriale
V
su
R
è un insieme dotato
di un'operazione di somma e di un prodotto per scalare tali che:
1.
(u + v) + w = u + (v + w)
2.
u+v =v+u
per ogni
per ogni
u, v ∈ V
u, v , w ∈ V
(proprietà associativa);
(proprietà commutativa);
3. esiste un elemento neutro per la somma, ovvero esiste un elemento
v+0=v
per ogni
v∈V
esiste un elemento opposto
5. per ogni
λ∈R
e ogni
6. per ogni
λ, µ ∈ R
e ogni
v ∈ V , λ(µv) = (λµ)w;
7. per ogni
λ, µ ∈ R
e ogni
v ∈ V , (λ + µ)v = λv + µv ;
1v = v
per ogni
Esempio 1.1.
per
j = 1, 2,
tale che
v ∈V;
4. per ogni
8.
0∈V
−v ,
tale che
v + (−v) = 0;
v , w ∈ V , λ(v + w) = λv + λw;
v ∈V.
L'insieme
R2 = R × R
è uno spazio vettoriale su
i cui elemento sono le coppie
R
con le operazioni di somma:
(a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = (a1 + b1 , a2 + b2 ),
e prodotto per scalare:
λ(a1 , a2 ) = (λa1 , λa2 ).
2
(a1 , a2 )
con
aj ∈ R
Denizione 1.6.
Lo spazio vettoriale
R2
con la somma e il prodotto per scalari denito
nell'esempio precedente viene chiamato piano Euclideo, o più semplicemente piano.
Esempio 1.2.
aj ∈ R
per
L'insieme
j = 1, 2, 3,
R3 = R × R × R
i cui elemento sono le triplette
è uno spazio vettoriale su
R
(a1 , a2 , a3 )
con
con le operazioni di somma:
(a1 , a2 , a3 ) + (b1 , b2 , b3 ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ),
e prodotto per scalare:
λ(a1 , a2 , a3 ) = (λa1 , λa2 , λa3 ).
Denizione 1.7.
Lo spazio vettoriale
R3
con la somma e il prodotto per scalari denito
nell'esempio precedente viene chiamato spazio Euclideo, o più semplicemente spazio.
Esempio 1.3.
volte, i cui elemento sono le
vettoriale su
R
Rn = R × · · · × R n
j = 1, . . . , n, è uno spazio
Generalizzando gli esempi precedenti, abbiamo che
n-uple (a1 , . . . , an )
con
aj ∈ R
per
con le operazioni di somma:
(a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , . . . , an + bn ),
e prodotto per scalare:
λ(a1 , . . . , an ) = (λa1 , . . . , λan ).
Esempio 1.4.
Dati
v = (2, 1), w = (5, −2),
abbiamo:
v + w = (2 + 5, 1 + (−2)) = (7, −1),
5v = 5(2, 1) = (5 · 2, 5 · 1) = (10, 5),
−w = −(5, −2) = (−5, −(−2)) = (−5, 2),
6v − 2w = (12, 6) + (−10, 4) = (2, 10).
1.2
Vettori nel piano e nello spazio
In questo paragrafo vediamo alcune operazioni che si possono denire in
Poiché la trattazione è identica per
R2
e
R3
e si puo generalizzare a
ripetizioni diamo le denizioni in generale
specici di
n=2
Denizione 1.8
in
n
R
e
Rn
R2
e in
R3 .
Rn , per evitare inutili
e vediamo applicazioni e esempi nei casi
n = 3.
.
(Prodotto scalare)
, si denisce prodotto scalare tra
v = (v1 , . . . , vn ), w = (w1 , . . . , wn )
indica con hv, wi il numero:
Dati due vettori
v
e
w
e si
hv, wi = v1 w1 + · · · + vn wn .
3
Osservazione 1.3.
Il prodotto scalare è un'operazione ben diversa dal prodotto per
scalare e non bisogna fare confusione tra le due.
In particolare il prodotto scalare è
un'operazione che prende due vettori e rende uno scalare, mentre il prodotto per scalare
prende uno scalare e un vettore e rende un vettore.
Esempio 1.5.
Dati i vettori
v = (1, 2)
e
w = (0, 5)
in
R2 ,
abbiamo:
hv, wi = 1 · 0 + 2 · 5 = 10.
Esempio 1.6.
Dati i vettori
v = (10, 3, 2)
e
w = (1, −2, 5)
in
R3 ,
abbiamo:
hv, wi = 10 · 1 + 3 · (−2) + 2 · 5 = 14.
Il prodotto scalare gode delle seguenti proprietà:
1.
hλu + µv, wi = λ hu, wi + µ hv, wi
hu, ηv + ξwi = η hu, vi + ξ hu, wi (Bilinearità);
2.
hu, vi = hv, ui
3.
hu, ui ≥ 0
e
(Simmetria);
hu, ui = 0 ⇐⇒ u = 0
(Denito positivo);
Denizione 1.9 (Norma). La norma (o lunghezza) di un vettore v ∈ Rn , v = (v1 , . . . , vn )
è il numero reale positivo dato da:
q
p
||v|| = hv, vi = v12 + · · · + vn2 .
Esempio 1.7.
La norma del vettore
||v|| =
Esempio 1.8.
di
R2
è:
p
√
√
hv, vi = 4 + 49 = 53.
La norma del vettore
||v|| =
v = (2, −7)
p
v = (3, −1, −5)
hv, vi =
√
di
R3
9 + 1 + 25 =
è:
√
35.
Teorema 1.1 (Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz). Per ogni coppia di vettori u, v ∈ Rn ,
vale:
| hu, vi | ≤ ||u|| ||v||,
dove con
| hu, vi |
si intende il valore assoluto del numero
segno.
4
hu, vi,
ovvero
hu, vi
privato del
Oltre a calcolare le lunghezze dei vettori, il prodotto scalare ci aiuta anche a calcolare
l'angolo formato da due vettori. Infatti abbiamo la seguente relazione:
cos θ =
v e w. In particolare, quando v e w sono ortogonali fra loro, ovvero
formano un angolo di π/2, l'equazione diventa 0 = hv, wi. Ha senso quindi dare la seguente
dove
θ
hv, wi
,
||v|| ||w||
è l'angolo tra
denizione:
Denizione 1.10 (Ortogonalità).
Due vettori
v , w ∈ Rn
si dicono ortogonali se
hv, wi =
0.
Osservazione 1.4. In R2 è facile trovare vettori ortogonali tra loro, infatti dato un vettore
v = (a, b),
il vettore
w = (−b, a)
è ortogonale a
v.
Concludiamo questo paragrafo dando la denizione di prodotto vettoriale. Notiamo
che a dierenza delle altre, questa denizione vale solo ed esclusivamente per vettori di
R3 .
Denizione 1.11
w = (w1 , w2 , w3 ),
R3 ). Dati due vettori di R3 v = (v1 , v2 , v3 ) e
v ∧ w tra v e w è il vettore v ∧ w = (a, b, c), dove:
(prodotto vettoriale in
il prodotto vettoriale
a = v2 w3 − w2 v3 ,
b = −(v1 w3 − w1 v3 ),
c = v1 w2 − w1 v2 .
Osservazione 1.5.
I numeri
a, b
e
c
non sono casuali, infatti se il lettore riguarda la
denizione dopo aver letto il capitolo sulle matrici, si accorge facilmente che altro non
sono che i determinanti dei minori della matrice:
v1 v2 v3
w1 w2 w3
!
,
ovvero:
a = det
v2 v3
w2 w3
!
v1 v3
w1 w3
, b = − det
5
!
, c = det
v1 v2
w1 w2
!
.
