Il moto rettilineo uniformemente accelerato

1
IL MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
L’accelerazione.
Una automobile di grossa cilindrata, come la Ferrari 575M Maranello, è apprezzata per la sua
‘ripresa’, cioè per la sua capacità di variare la velocità in un breve intervallo di tempo.
FERRARI 575M Maranello
Velocità Massima 325 Km/h
Accelerazione Massima 0-100Km/h in 4,2 s
L’accelerazione è la grandezza fisica che dà
informazioni sulla variazione di velocità nel
tempo.
Definiamo accelerazione il rapporto fra la
variazione di velocità e l’intervallo di
tempo in cui tale variazione avviene.
var iazione − di − velocità
int ervallo − di − tempo − impiegato − ad − ottenerla
Passiamo alle formule.
Chiamiamo v0 la velocità iniziale; v la velocità finale; t0 l’istante iniziale; t l’istante finale.
∆ v = v − v0 = variazione di velocità;
Avremo:
∆ t = t − t 0 = intervallo di tempo
accelerazione =
a=
∆ v v − v0
=
= accelerazione
∆ t t − t0
La sua unità di misura nel S.I. è il m/s2 (metro al secondo quadrato)
m
v m 1
v m
a = sec =
=
t sec t sec sec t sec 2
v
Anche per l’accelerazione abbiamo l’accelerazione media quando consideriamo la variazione di
velocità totale avvenuta in un certo intervallo di tempo; e l’accelerazione istantanea quando
l’intervallo di tempo è molto piccolo.
Inoltre l’accelerazione è una grandezza vettoriale, poiché la velocità e le sue variazioni sono
grandezze vettoriali.

  

v 0 = velocità iniziale; v = velocità finale; ∆ v = v − v 0 = variazione di velocità;

 ∆v
a=
= vettore accelerazione
∆t

∆ v , che ha gli stessi direzione e verso dell’accelerazione
La
figura
mostra
la
variazione
di
velocità

a:
2
Calcoliamo l’accelerazione della Ferrari 575M Maranello
v0= 0 Km/h;
v = 100 km/h ; ∆ t = 4,2 sec; .
v=100Km/h=100 x 0,278 m/sec = 27,8 m/sec
a=
∆ v v − v0 27,8 − 0
m
=
=
= 6,62
∆ t t − t0
4,2
sec 2
Il moto rettilineo uniformemente accelerato.
Un corpo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato quando la traiettoria è una
retta (rettilineo) e l’accelerazione è costante (uniformemente accelerato).
a=
∆ v v − v0
=
=costante
∆ t t − t0
Poiché l’accelerazione è una grandezza vettoriale, che sia costante implica che abbia direzione,
verso ed intensità costanti. Il moto è rettilineo, quindi ad una dimensione, e come riferimento si
considera un solo asse cartesiano. Le grandezze coinvolte sono mostrate nelle figure sottostanti.

  

s 0 = spostamento iniziale; s = spostamento finale ; ∆ s = s − s 0 = variazione di spazio.

 ∆s
Ricordiamo che la velocità v =
ha direzione e verso di ∆ s
∆t
3

  

v 0 = velocità iniziale; v = velocità finale; ∆ v = v − v 0 = variazione di velocità;
accelerazione

 ∆v
Ricordiamo che l’accelerazione (indicata nelle figure dalla freccia rosa) a =
ha la direzione
∆t



ed il verso di ∆ v . Se la velocità iniziale v 0 è minore della velocità finale v , il moto è accelerato, e
l’accelerazione ha gli stessi direzione e verso del moto.
accelerazione


Se la velocità iniziale v0 è maggiore della velocità finale v , il moto è decelerato ( o ritardato), e
l’accelerazione ha la stessa direzione del moto, ma verso opposto.
Poiché abbiamo un moto unidimensionale, possiamo tralasciare la notazione vettoriale, e
considerare positive tutte le grandezze con il verso del moto, e negative tutte le grandezze che
hanno verso opposto.
ESEMPIO: MOTO ACCELERATO
v0= 0 Km/h;
v = 100 km/h ; ∆ t = 8 sec; vogliamo conoscere l’accelerazione.
v=100Km/h=100 x 0,278 m/sec = 27,8 m/sec
4
a=
m
∆ v v − v0 27,8 − 0 m
= 3,5
=
=
2
8
sec
sec 2
∆t
∆t
ESEMPIO: MOTO RITARDATO
v0= 50 Km/h;
v = 0 km/h ; ∆ t = 6 sec; vogliamo conoscere l’accelerazione.
v=50Km/h=50 x 0,278 m/sec = 13,9 m/sec
a=
m
∆ v v − v0 0 − 13,9 m
= − 2,3
=
=
NOTARE IL SEGNO MENO DELL’ACCELERAZIONE
2
6
sec
sec 2
∆t
∆t
La relazione tra velocità e tempo.

Poniamoci nel caso particolarmente semplice in cui spostamento iniziale ( s 0 =0), tempo iniziale

(t0=0), e velocità iniziale ( v0 =0) sono nulli.
L’accelerazione diventa:
v
= costante .
t
e la sua rappresentazione grafica è mostrata in figura.
a=
Dalla formula precedente possiamo trovare la velocità:
v = ax t
con a = costante.
Se rappresentiamo questa relazione su un grafico avremo una retta che passa per l’origine degli assi.
5
In questo moto si verificano le seguenti condizioni:
1) al crescere di t (variabile indipendente), cresce v (variabile dipendente);
2) il rapporto v/t (che è l’accelerazione) è costante;
3) il grafico di v in funzione di t è una retta che passa per l’origine degli assi.
Si conclude quindi che la velocità v ed il tempo t sono direttamente proporzionali nel moto
rettilineo uniformemente accelerato.
Moti che hanno diversa accelerazione, avranno grafici con differente pendenza.
La figura mostra il grafico velocità-tempo per due moti con accelerazione diversa, e dai dati
riportati si possono calcolare le due accelerazioni:
a1 =
18,54 − 6,18
m
= 6,18
3− 1
sec 2
a2 =
27,81 − 9,27
m
= 9,27
3− 1
sec 2
La relazione fra spazio e tempo.
La deduzione della relazione fra spazio e tempo nel moto rettilineo uniformemente accelerato si fa
rigorosamente mediante il calcolo infinitesimale. Cerchiamo quindi di dare una giustificazione
elementare ed intuitiva.

Rimaniamo nel caso particolarmente semplice in cui spostamento iniziale ( s 0 =0), tempo iniziale

(t0=0), e velocità iniziale ( v0 =0) sono nulli. Il grafico velocità-tempo è il seguente:
Come già sappiamo dallo studio del moto rettilineo uniforme, l’area tratteggiata in figura fornisce lo spazio
percorso nel tempo t (a partire dall’istante iniziale). Questa figura è un triangolo, quindi la sua area è:
AREA = BASE x ALTEZZA / 2
s = t x v /2 = t x a x t /2=
s=
1 2
at
2
1 2
at è la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato quando s0 = 0; t0 = 0; v0 = 0.
2
6
La rappresentazione grafica di tale legge è riportata in figura:
Questa curva particolare si chiama parabola, e si parla di proporzionalità quadratica fra spazio e tempo.
Nel moto uniformemente accelerato lo spazio percorso è direttamente proporzionale ai quadrati dei tempi
impiegati a percorrerlo, con costante di proporzionalità uguale alla metà della misura dell’accelerazione.
Due grandezze X e Y sono in relazione di proporzionalità quadratica se vi è una diretta proporzionalità tra
una grandezza (Y) ed il quadrato dell’altra (X):
Y = K x X2 dove K = costante
Quando due grandezze X e Y hanno una relazione di proporzionalità quadratica, si ha che:
1) il grafico che le rappresenta è una parabola;
2) Y ed X2 sono direttamente proporzionali, per cui il loro rapporto è costante (Y/X 2
=costante);
3) Soddisfano una relazione del tipo Y = K x X2.
7
Moto rettilineo uniformemente accelerato con velocità iniziale v0.
Consideriamo che il corpo abbia una velocità iniziale v0 , ma un tempo iniziale nullo t0=0.
∆ v v − v0
=
L’accelerazione è: a =
= costante;
la velocità diventa: v = v0 + at ; l’equazione del
∆t
t
1 2
moto: s = at + v 0 t .
2
Rappresentazioni grafiche per il moto con:
vo = 2 m/sec
a = 1 m/sec2
Moto rettilineo uniformemente ritardato.
Nel moto ritardato si osserva ad esempio un automobile che frena, da 100Km/h a 0 Km/h. Nel moto
ritardato quindi la velocità iniziale è sempre presente. In questo caso occorre premettere un segno
meno all’accelerazione, e le formule diventano:
-a =
∆ v v − v0
=
= -costante;
∆t
t
v = v0 – at;
Rappresentazioni grafiche per il moto con:
s = v0 t −
vo = 4 m/sec
1 2
at
2
a = 1 m/sec2
8
Moto rettilineo uniformemente accelerato: formule generali.
Diamo le formule del moto nel caso si abbia spostamento iniziale s0 ; velocità iniziale v0; e tempo
iniziale t0.
a=
∆ v v − v0
=
=costante;
∆ t t − t0
v = v0 + a(t-t0);
s=
1 2
at + v 0 t + s 0
2
Moto rettilineo uniformemente ritardato: formule generali.
Diamo le formule del moto nel caso si abbia spostamento iniziale s0 ; velocità iniziale v0; e tempo
iniziale t0.
∆ v v − v0
1
=
s = s 0 + v 0 t − at 2
-a =
= -costante;
v = v0 – a(t-t0);
∆ t t − t0
2
Bibbliografia del testo e delle figure:
Mario Michetti, Fisica, Ist. Tecn. Industriali (vol. 1), Libreria Editrice Canova, Treviso 1963
Sergio Fabbri, Mara Masini, Fisica, percorsi attivi (vol.1), SEI, Torino 2005
Sito web ufficiale della Ferrari
A cura di: Prof. Taccone Anna, ITIS ‘G. Vallauri’ di Reggio Calabria, a.s. 2005/06