logica booleana

ALGEBRA DI BOOLE
Indice
Introduzione ...................................................................................................................................................... 2
PRORIETA’E TEOREMI DELL’ALGEBRA DI BOOLE ............................................................................................... 3
FUNZIONI LOGICHE PRIMARIE ........................................................................................................................... 4
Funzione logica AND ...................................................................................................................................... 4
Funzione logica OR ........................................................................................................................................ 4
Funzione logica NOT ...................................................................................................................................... 5
FUNZIONI LOGICHE PRIMARIE ........................................................................................................................... 5
Funzione logica NAND ................................................................................................................................... 5
Funzione logica OR esclusivo (XOR)............................................................................................................... 6
Funzione logica NOR ...................................................................................................................................... 6
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Algebra di Boole
Introduzione
Nell’algebra di Boole (1815-1864) si usano solo due valori, l’1 e lo 0. Quest’algebra è universalmente usata per lo
studio dei circuiti digitali binari.
Si fonda sui seguenti assiomi
1
1
0
0
·
·
·
·
1=1
0=0
1=0
0=0
1
1
0
0
+
+
+
+
1=1
0=1
1=1
0=0
L’operatore (·) è detto operatore di prodotto logico (AND).
L’operatore (+) è detto operatore di somma logica (OR).
L’operatore (-) è detto operatore di complementazione logica (NOT).
Sfruttando le regole di quest’algebra è possibile esprimere, in forma sintetica, la funzione logica di qualsiasi
circuito, attraverso una sua espressione logica.
Ad esempio l’espressione
Y=A · B + C¯
Soddisfa la seguente tabella della verità
A B C
0.….0…..0
0.….0…..1
0.….1…..0
0.….1…..1
1.….0…..0
1.….0…..1
1 ….1…..0
1.….1…..1
Y
1
0
1
0
1
0
1
1
Per verificarlo basta applicare ad ogni possibile combinazione degli ingressi gli assiomi booleani.
Si noti il particolare criterio seguito per ordinare le combinazioni degli ingressi, in modo che ogni combinazione
esprima, in binario, un numero che ne individua la posizione (nel nostro caso da 0 a 7).
Si osservi che la prima colonna degli assiomi booleani è sostituibile alla seconda se si cambia l’operatore AND
con l’operatore OR, ogni 1 con uno 0 e ogni 0 con un 1 e, viceversa, è possibile passare dalla seconda colonna
alla prima.
Questa proprietà è detta della dualità ed è valida per ogni espressione logica vera. Pertanto se una espressione
logica è vera, ovvero soddisfa gli assiomi di Boole, anche la sua duale è vera.
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Algebra di Boole
PRORIETA’E TEOREMI DELL’ALGEBRA DI BOOLE
In quest’algebra valgono le seguenti proprietà:
A+B=B+A
A·B=B·A
proprietà commutativa
(A+B)+C=A+(B+C)
(A·B)·C=A·(B·C)
proprietà associativa
(A·B)+(A·C)=A·(B+C)
(A+B)·(A+C)=A+(B·C)
proprietà distributiva
Valgono, inoltre, i seguenti teoremi:
A+1=1
A·0=0
teorema di annullamento
A+0=A
A·1=A
teorema di identità
A+ ̅=1
A· ̅=0
teorema dei complementi
A+A=A
A·A=A
teorema di idempotenza
A+(A·B)=A
A·(A+B)=A
primo teorema dell’assorbimento
A+( ̅·B)=A+B
A ( ̅+B)=A·B
secondo teorema dell’assorbimento
+ = ̅·
∙ = ̅+
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teorema di De Morgan
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Algebra di Boole
FUNZIONI LOGICHE PRIMARIE
I circuiti capaci di svolgere le operazioni logiche assiomatiche AND, OR, NOT realizzano delle funzioni logiche
primarie in quanto combinando opportunamente più circuiti di questo tipo è possibile realizzare una funzione
logica comunque complessa.
Di seguito sono riportati simboli logici, espressioni e tabella della verità di questi circuiti.
Funzione logica AND
Relativamente a due variabili logiche A e B avremo:
A B
0.….0
0.….1
1.….0
1.….1
Y= A·B
0
0
0
1
Il simbolo elettronico del componente è:
Si noti in particolare che l’uscita è a 1 solo e solo se entrambe le entrate sono a 1.
Funzione logica OR
Relativamente a due variabili logiche A e B avremo:
A B
0.….0
0.….1
1.….0
1.….1
Y= A+B
0
1
1
1
Il simbolo elettronico del componente è:
Si noti che in questo caso l’uscita è a 1 ogni volta che si ha 1 in uno degli ingressi.
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Funzione logica NOT
Relativamente alla variabile logica A avremo:
A
0
1
Y
1
0
Il simbolo elettronico del componente è:
Si noti che in questo caso l’uscita l’opposto dell’ingresso.
FUNZIONI LOGICHE PRIMARIE
In commercio, oltre ai circuiti che realizzano le funzioni logiche primarie AND-OR-NOT, sono disponibili
anche circuiti che realizzano altre funzioni elementari, facilmente ricavabili dalle prime.
Funzione logica NAND
Un NAND è facilmente ricavabile facendo seguire ad un AND un NOT.
Relativamente a due variabili logiche A e B avremo:
A B
0.….0
0.….1
1.….0
1.….1
Y= ∙
1
1
1
0
Il simbolo elettronico del componente è:
Come si vede, le uscite sono i complementi di quelle di un AND.
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Funzione logica OR esclusivo (XOR)
Si tratta di un circuito capace di riconoscere se gli ingressi sono uguali (uscita=0) o sono diversi (uscita=1).
A B
0.….0
0.….1
1.….0
1.….1
Y
0
1
1
1
Il simbolo elettronico del componente è:
Si osservi che se si esclude la quarta combinazione la tabella della verità corrisponde a quella di un OR.
Funzione logica NOR
Questa funzione si ottiene facilmente facendo seguire un NOT a un OR.
A B
0.….0
0.….1
1.….0
1.….1
Y
1
0
0
0
Il simbolo elettronico del componente è:
Come si vede, in questo caso le uscite sono i complementi delle corrispondenti di un OR:
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