Teorema di Pitagora - SCUOLA SECONDARIA DI I GRADO “G
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TEOREMA DI PITAGORA Enunciato In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti ππ = ππ π + ππ π ππ π = ππ − ππ π ππ π = ππ − ππ π π= ππ π + ππ π ππ = ππ − ππ π ππ = ππ − ππ π GEOMETRIA 40 Esempio: I cateti di un triangolo rettangolo misurano rispettivamente 15 cm e 20 cm. Determina la misura dell’ipotenusa. Dati Incognita π΄π΅ = 15 ππ π΅πΆ = ? π΄πΆ = 20 ππ Risoluzione π΅πΆ = π΄π΅ 2 + π΄πΆ 2 π΅πΆ = 152 + 202 = GEOMETRIA 41 225 + 400 = 625 = 25 ππ Applicazioni del Teorema di Pitagora Rettangolo π = ππ + ππ π= π π − ππ π= π π − ππ Esempio: Calcola la misura della diagonale di un rettangolo, sapendo che la base misura 4,8 cm e l’altezza misura 2 cm. Dati Incognita π΄π΅ = 4,8 ππ π΅π· = ? π΄π· = 2 ππ Risoluzione π΅πΆ = π΄π΅ 2 + π΄π· 2 π΅πΆ = 4,82 + 22 = GEOMETRIA 42 23,04 + 4 = 27,04 = 5,2 ππ Quadrato ππ + ππ = π = = ππ × π ππ × π = π × π= π π π Le formule relative al quadrato si utilizzano per i triangoli rettangoli isosceli con gli angoli acuti di 45°. Esempio: Calcola la misura della diagonale di un quadrato, il cui lato misura 8 cm Dati Incognita π΄π΅ = 8 ππ π΅π· = ? Risoluzione π΅πΆ = π΄π΅ × 2 π΅πΆ = 8 × 2 = 8 × 1,41 = 11,28 ππ GEOMETRIA 43 Triangolo isoscele π π= π ππ + π π π= π π π − π π = π ππ − π π Esempio: In un triangolo isoscele la base misura 6 cm e l’altezza misura 4 cm; calcola la misura del perimetro. Dati Incognita π΄π΅ = 6 ππ 2π = ? πΆπ» = 4 ππ Risoluzione π΅πΆ = πΆπ»2 + π΄π΅ 2 2 2π = π΄π΅ + π΅πΆ × 2 π΅πΆ = 42 + 6 2 2 = 42 + 32 = 2π = 6 + 5 × 2 = 6 + 10 = 16 ππ GEOMETRIA 44 16 + 9 = 25 = 5 ππ Triangolo equilatero π= ππ − π ππ − = ππ π = πππ − ππ = π = = π π πππ π × ππ = = π π π×π π Ricorda: π = π, πππ π Da cui deriva: π= π ×π π Le formule relative al triangolo equilatero si utilizzano per i triangoli rettangoli con un angolo acuto di 30° e l’altro di 60° GEOMETRIA 45 Esempio: Calcola la misura dell’altezza di un triangolo equilatero sapendo che il lato misura 5 cm. Dati Incognita π΄π΅ = 5 ππ πΆπ» = ? Risoluzione πΆπ» = πΆπ» = π΄π΅ × 3 2 3 2 × 5 = 0,866 × 5 = 4,33 ππ Rombo π= π π π π π π π + π π π = π π π π π − π π π π = π π π π π − π π GEOMETRIA 46 Esempio: L’area di un rombo è di 1176 cm2 e la diagonale maggiore misura 56 cm; calcola la misura del perimetro. Dati Incognita π΅π· = 56 ππ 2π = ? π΄ = 1176 ππ2 O Risoluzione π·π΅ = π΄ ×2 π΅π· π΄π΅ = π΄πΆ 2 π·π΅ = 2 + π΅π· 2 2 π΄π΅ = = 1176 × 2 = 42 ππ 56 56 2 2 42 + 2 784 + 441 = Trapezio rettangolo π + ππ π= ππ − ππ π= ππ − ππ − ππ π ππ − π π GEOMETRIA 47 = 282 + 212 1225 = 35 ππ 2π = 35 × 4 = 140 ππ 2π = π΄π΅ × 4 ππ − ππ = 2 Esempio: Calcola la misura del perimetro di un trapezio rettangolo, sapendo che le due basi misurano rispettivamente 18 cm e 28 cm e l’altezza misura 24 cm. Dati Incognita π΄π΅ = 28 ππ 2π = ? πΆπ· = 18 ππ πΆπ» = 24 ππ Risoluzione π»π΅ = π΄π΅ − π·πΆ π΅πΆ = πΆπ» 2 + π»π΅ 2 2π = π΄π΅ + π΅πΆ + πΆπ· + π·π΄ π»π΅ = 28 − 18 = 10 ππ π΅πΆ = 242 + 102 = 576 + 100 = 2π = 28 + 26 + 18 + 24 = 96 ππ GEOMETRIA 48 676 = 26 ππ Trapezio isoscele π π= ππ − ππ π π= ππ − ππ π π − π ππ − ππ = π + ππ π ππ − π π Esempio: Calcola la misura del perimetro di un trapezio isoscele, sapendo che le due basi misurano rispettivamente 52 cm e 28 cm e l’altezza misura 9 cm. Dati Incognita π΄π΅ = 52 ππ 2π = ? πΆπ· = 28 ππ πΆπ» = 9 ππ Risoluzione π»π΅ = π΅πΆ = π΄π΅ − π·πΆ 2 πΆπ» 2 + π»π΅ 2 2π = π΄π΅ + π΅πΆ + πΆπ· + π·π΄ π»π΅ = π΅πΆ = 52− 28 2 = 12 ππ 92 + 122 = 81 + 144 = 2π = 52 + 15 + 28 + 15 = 110 ππ GEOMETRIA 49 225 = 15 ππ
