Algebra lineare (II parte): proprietà determinanti, matrice

MATEMATICA
a.a. 2014/15
7. Algebra lineare:
Determinante e proprietà; matrice inversa
CALCOLO DEL DETERMINANTE: regola di Laplace
1. Determinante di una matrice 4 x 4
Calcolare con la regola di Laplace il determinante della matrice:
 0 1 −1 2 


2
3
0
0

A=
 −2 4 0 1 


0
−
1
−
1
−
1


Per eseguire il calcolo scegliamo la seconda riga che contiene solo due
elementi non nulli. Al primo elemento a21 corrisponde il segno – (perché
2+1 è dispari), mentre a a22 corrisponde il segno +.
1 −1 2
0 −1 2
det A = −2 4 0 1 + 3 −2 0 1 = −2 ⋅ (−10) + 3 ⋅ 6 = 38
−1 −1 −1
0 −1 −1
CALCOLO DEL DETERMINANTE: regola di Laplace
Nel caso particolare di una matrice quadrata di ordine n = 3
 a11

A =  a21
a
 31
a12
a22
a32
a13 

a23 
a33 
si perviene alla seguente formulazione:
 a22
det( A) = a11 det 
 a32
a23 
 a21
 − a12 det 
a33 
 a31
a23 
 a21
 + a13 det 
a33 
 a31
a22 

a32 
CALCOLO DEL DETERMINANTE: regola di Laplace
Si consideri la seguente matrice
5 1 1 


A = 2 0 3 
 3 3 −1


il calcolo del determinante si ottiene:
0 3 
2 3 
 2 0
det( A) = 5det 
 − 1det 
 + 1det 
 = −28
 3 −1 
 3 −1 
 3 3
DETERMINANTE: ALCUNE IMPORTANTI PROPRIETA’
Calcolare il determinante delle seguenti matrici:
3 1 6 


A = 2 0 3 
 3 5 −1


3 2 3 


B = 1 0 5 
 6 3 −1


Cosa si nota?
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DETERMINANTE: ALCUNE IMPORTANTI PROPRIETA’
1. Il determinante di una matrice A è uguale al
determinante della matrice trasposta At, cioè, in
formula:
det (A) = det (At)
Come conseguenza di questa proprietà si ottiene che il
calcolo del determinante di una matrice si può eseguire
anche sviluppando secondo le colonne.
Inoltre, ogni proprietà dei determinanti valida relativamente
alle righe vale anche relativamente alle colonne.
DETERMINANTE: ALCUNE IMPORTANTI PROPRIETA’
2. Scambiando due righe (due colonne) di una matrice A, il
determinante di A cambia segno.
3. Se tutti gli elementi di una riga (di una colonna) di una
matrice A sono 0, il determinante di A è uguale a 0.
4. Se due righe (due colonne) di una matrice sono
proporzionali, il determinante di A è uguale a 0. In
particolare il determinante di A è 0 se la matrice ha due
righe (due colonne) uguali.
DETERMINANTE: ALCUNE IMPORTANTI PROPRIETA’
Calcolare il determinante delle seguenti matrici:
2 0 3 


A = 3 1 6 
 3 5 −1


6 0 4


B = 0 0 0
5 3 7


 6 2 12 


C = 3 1 6 
 3 5 −1


6 2 6


D =  4 0 4
5 3 5


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DETERMINANTE: ALCUNE IMPORTANTI PROPRIETA’
5. Se si moltiplicano gli elementi di una riga (di una colonna)
di una matrice A per un numero reale (o complesso) k, il
determinante della matrice così ottenuta è k det(A).
In particolare si ha che, data una matrice quadrata A di
ordine n, il determinante della matrice k A (ottenuta
moltiplicando tutti gli elementi della matrice A per k) è data
da
n
det(kA) = k det( A)
DETERMINANTE: ALCUNE IMPORTANTI PROPRIETA’
6. Il determinante di una matrice A resta invariato se
sommiamo a una riga (a una colonna) di A un’altra riga di A
moltiplicata per un numero reale (o complesso) k.
Applicando più volte la proprietà 6, si ottiene che il
determinante di una matrice A non cambia se sommiamo a
una riga di A altre righe di A, ciascuna moltiplicata per un
numero reale.
Analoga considerazione può essere fatta per le colonne.
7. Il determinante di una matrice triangolare (sia superiore
che inferiore) è dato dal prodotto degli elementi della
diagonale della matrice.
In particolare questo vale per le matrici diagonali
Ne consegue che il determinante delle matrici unità è 1.
DETERMINANTE: ALCUNE IMPORTANTI PROPRIETA’
8. Il determinante del prodotto di due matrici è uguale al prodotto dei
determinanti delle due matrici (teorema di Binet); in formula:
det( Ab) = det( A)det( B )
COMPLEMENTO ALGEBRICO (o cofattore)
Si chiama complemento algebrico (o cofattore) Aij di una
matrice A (n,n), il determinante della matrice ottenuta
sopprimendo nella matrice data la i-esima riga e la j-esima
colonna, determinante preceduto dal segno + se
i+j=numero pari, dal segno – se i+j=numero dispari.
Data la matrice:
 −1 2 3 


A =  0 −3 4 
 1 −2 5 


Il complemento algebrico A11
dell’elemento -1 che ha posto
(1,1) è:
−3 4
−2 5
= −7
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MATRICE INVERSA: calcolo
Una matrice quadrata A di ordine n è invertibile se e soltanto se det (A) ≠ַ0 e
si ha inoltre:
1
det( A ) =
det( A)
−1
Si può determinare l’inversa A-1=(xij) della matrice A = (aij) con la
seguente formula:
xij =
(−1)i + j det( A ji )
i = 1, 2, …,n e j = 1, 2, …, n.
det( A)
La matrice inversa A-1 di una matrice A, se esiste è unica
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MATRICE INVERSA: calcolo
Procedimento di calcolo della matrice inversa:
1. Si determina la matrice aggiunta A*: viene definita matrice aggiunta la
trasposta della matrice formata dai complementi algebrici degli elementi di
M. Sia la matrice:
 a11

a21

A=
 ...

 an1
a12
a22
...
an 2
... a1n 

... a2 n 
... ... 

... ann 
La matrice aggiunta è data da:
 A11

A12

A=
 ...

 A1n
An1 

... An 2 
... ... 

... Ann 
A21 ...
A22
...
A2 n
Trasposta della
Matrice formata dai
complementi algebrici
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MATRICE INVERSA: calcolo
2. Una volta determinata la matrice aggiunta (trasposta della
matrice formata dei complementi algebrici) si divide ciascun
elemento per il determinante della matrice originale.
1
A =
⋅ A*
det ( A )
−1
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MATRICE INVERSA: calcolo
Data la matrice:
 2 3
A=

1 4
Determinare la matrice inversa
 4
 5
A=
−1

 5
3
− 
5

2 

5 
Verificare che si tratta della matrice inversa
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MATRICE INVERSA: calcolo
Verificare l’esistenza e calcolare la matrice inversa:
 2 −1
A=

 −4 2 
 2 1 4


A = 1 0 2
 2 −1 4 


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2. Inversa di una matrice 3 x 3
Calcolare l’inversa della matrice:
0 0 1


A =  3 0 2
1 1 1


Soluzione
 2
− 3

1
−1

A = −
 3

 1


1

0
3

1
−
1

3

0 0

