Logica, discorso e conoscenza
Primo modulo:
Logica e verità (matematica)
ovvero Logica, deduzione, verità
Lezioni 1, 2 e 3
Simone Martini
Dipartimento di Scienze dell’Informazione
Alma mater studiorum – Università di Bologna
[email protected]
Collegio Superiore
Ottobre–novembre, 2006
1 / 70
Outline
1
Prima lezione: la logica dall’informale al formale
Pillole di storia (e problemi) della logica
2
Seconda lezione: il linguaggio formale
Formalizzazione di semplici proprietà aritmetiche
3
Terza lezione: verità e validità
Formule vere dovunque e vere in classi di modelli
2 / 70
Cos’è la logica?
Ars directiva ipsius actus rationis, per quam scilicet homo in ipso
actu rationis ordinate et faciliter et sine errore procedat.
[Tommaso d’Aquino, An. posteriora, I, 1]
La parte della filosofia che studia quali sono le leggi del pensare,
che assicurano ad esso validità conoscitiva.
Si chiama logica formale lo studio in abstracto dei procedimenti
seguiti dal pensiero nella formazione dei concetti, dei giudizi, dei
ragionamenti, indipendentemente dai contenuti cui esso si può
volta a volta applicare.
[Lamanna-Adorno, Diz. di termini losoci, 1971]
3 / 70
Cos’è la logica?
Riflessione razionale sulle strutture (soprattutto formali) del
ragionamento
I
I
I
I
Fascinazione per la ragione
Consapevolezza di ragionamenti fallaci
Circoscrivere il corretto (e.g., la Scolastica)
Circoscrivere il dicibile (e.g., Wittgenstein)
4 / 70
Cos’è la logica matematica?
Un settore della matematica che usa tecniche matematiche
per indagare il ragionamento (matematico)
In particolare i concetti di
I
I
I
I
Dimostrazione
Consistenza
Teoria
Verità
all’interno della conoscenza matematica.
5 / 70
Da Aristotele (384 – 322 a.C.)
a Pietro Ispano (circa 1215–1277)
6 / 70
Aristotele e la scolastica
Enunciazione vs Argomentazione
(proposizione vs dimostrazione, inferenza)
Proposizione:
Discorso completo che esprime un oggetto complesso sul
quale può essere portato un giudizio (“vero” o “falso”)
I
I
I
I
I
Affermative universali (A): Ogni uomo è mortale
Affermative particolari (I): Qualche uomo è filosofo
Negative universali (E): Nessun uomo è un angelo
Negative particolari (O): Qualche chiaccherone non è noioso
(Singolari: Socrate è un uomo, caso particolare di A)
e delle loro relazioni reciproche (conversione)
7 / 70
Analizziamo una proposizione
Nessun intento filologico relativo alla logica aristotelica!
In particolare: non conosce la quantificazione individuale
concetti singolari (termini: Socrate) che designano individui
concetti universali (variabili quantificate universalmente: ogni
uomo)
concetti particolare (variabili quantificate esistenzialmente:
qualche uomo)
giudizio affermativo o negativo (tutti gli uomini, nessun uomo)
predicati: è un angelo
una proposizione (semplice) risulta dalla predicazione relativa
a (su un) un concetto: ogni uomo è mortale
8 / 70
Inferenza: la conversione
9 / 70
Inferenza: il sillogismo
Un sillogismo (di prima figura, “in BArbArA”):
I
I
I
Ogni uomo è mortale
Ogni neonato è un uomo
dunque: Ogni neonato è mortale
La struttura generale della prima figura:
Premessa maggiore:
(M, T )
Premessa minore :
(t, M)
Conclusione (dunque:) (t, T )
Variando la disposizione di T , t, M nelle premesse si
ottengono le quattro figure
Per ogni figura, si ottengono i diversi modi, a seconda se le
premesse siano di tipo A, E, I, O
Non tutti i modi sono legittimi, quanto alla validità
dell’inferenza
10 / 70
Il sillogismo, 2
Un sillogismo (di seconda figura, “in BArOccO”):
I
I
I
Ogni uomo stolto è noioso
Qualche chiaccherone non è noioso
dunque: Qualche chiaccherone non è stolto
La struttura generale della seconda figura:
Premessa maggiore:
(T , M)
Premessa minore :
(t, M)
Conclusione (dunque:) (t, T )
Un “sillogismo” scorretto (di prima figura, EAA)
I
I
I
Alcuni uomini sono santi
I criminali sono uomini
dunque: I criminali sono santi
(In prima figura) sit minor affirmans, nec maior particularis
11 / 70
Una prima morale
(dal punto di vista moderno)
Sillogismo valido (corretto):
I
costruito in uno dei 19 modi legittimi (delle quattro figure)
Sillogismo vero:
I
I
sillogismo valido nel quale entrambe le premesse sono vere
impone la verità della conclusione
La correttezza dipende dalla struttura formale del sillogismo
La verità della conclusione è ipotetica: subordinata alla verità
delle premesse (e alla correttezza del sillogismo)
Semantica a varı̂ livelli
I
I
I
Termini =⇒ individui
Proposizioni =⇒ valori di verità
Sillogismi =⇒ relazioni ipotetiche tra valori di verità
12 / 70
Esercizio
La terza figura: (M, T ), (M, t) dunque (t, T ).
Un sillogismo di terza figura in Darapti:
I
I
I
Un centauro è un uomo-cavallo
Un centauro è un essere immaginario
Dunque, qualche essere immaginario è un uomo-cavallo
Si tratta di un sillogismo legittimo per la scolastica
Si trovi una sua applicazione fallace
Da cosa dipende la fallacia?
(Per chi conosce un po’ di simbologia formale)
Si formalizzi Darapti e si discuta la sua correttezza nel
contesto logico-formale
13 / 70
I paradossi
Abbiamo sognato [il mondo] resistente, misterioso, visibile, ubiquo
nello spazio e fermo nel tempo; ma abbiamo ammesso nella sua
architettura tenui ed eterni interstizi di assurdità, per sapere che è
finto.
[J. L. Borges, La perpetua corsa di Achille e la tartaruga]
14 / 70
Il mentitore
Cretenses semper mendaces.
[Ad Titum 1, 12]
Epimenide di Creta: “[Tutti] i Cretesi sono bugiardi”
È un paradosso?
Basta che esista un cretese che dice la verità e la frase è falsa.
Eubulide di Mileto: “Io sto mentendo in questo momento”
La chiave: autoriferimento
15 / 70
Gottfried Wilhelm Leibniz
1646-1716
characteristica universalis
ars combinatoria
16 / 70
Leibniz e la characteristica universalis
Id (. . . ) efficiendum est, ut omnis paralogismus nihil aliud sit
quam error calculi (. . . ). Quo facto, quando orientur controversiae,
non magis disputatione opus erit inter duos philosophos, quam
inter duos computistas. Sufficiet enim calamos in manus sumere
sedereque ad abacos, et sibi mutuo (. . . ) dicere: calculemus!
[t. VII, 200]
1
2
3
Linguaggio formale: Descrizione esatta ed univoca dei concetti
Inferenza combinatoria, puramente sintattica (da computistae)
Proprietà fondamentali:
I
I
Correttezza: non sono possibili paralogismi, da prop vere a
prop vere
Completezza: tutti i paralogismi sono errori di calcolo;
forzando un po’ la mano: ogni prop vera è ottenibile per
calcolo
17 / 70
Intermezzo:
Argomentazioni vs Conclusioni
Leibniz insiste sulla completezza per le argomentazioni (fallaci)
La logica moderna insisterà (soprattutto) sulla completezza
per le conclusioni (corrette e/o vere)
I
I
I
Sistemi formali completi: esprimono tutte le proposizioni vere
(su un certo dominio)
Per ciascuna di esse è sufficiente una argomentazione
(dimostrazione)
Dimostrazioni in formati molto vincolati, non “naturali”
18 / 70
La crisi dei fondamenti:
Bertrand Russell (1872 – 1970)
Gottlob Frege (1848 – 1925)
19 / 70
La crisi dei fondamenti della matematica
La matematica si credeva immune dai paralogismi
Alla fine del XIX secolo scopre, con sorpresa, di esserne
contagiata essa stessa
I
Russell scrive a Frege:
Un insieme è normale se non contiene se stesso.
Sia N l’insieme di tutti e soli gli insiemi normali.
N è normale?
I
Frege risponde a Russell:
Solatium miseris socios habuisse malorum
I
I
I
Perché tanta drammaticità?
I ragionamenti per assurdo sono presenti sin da Euclide
Russell non ha semplicemente dimostrato che N non esiste?
20 / 70
La formalizzazione della matematica
Per costruire N si usano solo operazioni elementari di
comprensione
Occorre limitare quelle
Necessità di un linguaggio formale preciso (e dalla semantica
precisa)
Per tagliare un capello in quattro
21 / 70
David Hilbert (1862-1943)
22 / 70
Il progetto di Hilbert per la consistenza
Come essere sicuri che anche con tale linguaggio formale i
paradossi non si presentino?
Individuare un nucleo di base cui ridurre tutta la restante
matematica
L’aritmetica formalizzata
Indagare il nucleo con strumenti (matematici, anzi aritmetici)
cosı̀ semplici da non sollevare dubbi sulla loro consistenza
Dimostrare cosı̀ che il nucleo è (auto-)consistente
Cruciale: la struttura dei numeri naturali
23 / 70
Kurt Gödel (1906-1978)
24 / 70
Gödel: successi e insuccessi hilbertiani
Il teorema di completezza (“sintattica”), 1927
I
Ogni proposizione vera in tutti i modelli è derivabile nel
sistema formale
Il teorema di incompletezza (“semantica”), 1930
I
I
Vi sono proposizioni vere nella struttura dei numeri naturali
che non sono derivabili nel sistema formale
Tra di esse c’è la proposizione che esprime la consistenza del
sistema formale
Gran parte del corso sarà dedicata a chiarire questi due
enunciati. . .
Cioè: cosa sono i “modelli”?
E cosa significa lo scarto tra “vero in tutti i modelli” e “vero
in una struttura particolare”?
25 / 70
Semplici proprietà aritmetiche, 1
Il numero 0 è l’elemento neutro della somma
Per ogni numero n, n + 0 = n
8n(n + 0 = n)
Nomi di individui: 0
“Nomi” generici (variabili): n
Un predicato (binario): =
L’applicazione di un predicato ad individui dà una
proposizione: n + 0 = n
Un’operazione che trasforma individui in individui: +
Un quantificatore su individui (generici): 8
La relativizzazione della quantificazione (“ogni numero”) è
scomparsa
26 / 70
Semplici proprietà aritmetiche, 2
Zero non è il successore di alcun numero (in N)
8n ¬(s(n) = 0)
Un altro simbolo di operazione (funzione): s
Un nuovo operatore che trasforma proposizioni in
proposizioni: ¬
Per ogni n, l’inverso è unico
8n8m1 8m2 (n + m1 = 0) ∧ (n + m2 = 0) → m1 = m2
Nuovi operatori che trasformano proposizioni: ∧, →
27 / 70
Alcune bipartizioni
1
Logica vs Dominio di indagine (e.g., aritmetica)
2
Proposizioni vs Quantificazione
3
Sintassi vs Semantica
4
Linguaggio vs Metalinguaggio
28 / 70
Bipartizioni, 1
1
Logica vs Dominio di indagine (e.g., aritmetica)
I
I
Livello logico comune: rende conto degli aspetti generali del
ragionamento (e.g., connettivi, quantificatori ecc.)
Livello specifico: rende conto degli aspetti specifici del dominio
che si formalizza (e.g., N, Z, ecc.)
2
Proposizioni vs Quantificazione
3
Sintassi vs Semantica
4
Linguaggio vs Metalinguaggio
29 / 70
Bipartizioni, 2
1
2
Logica vs Dominio di indagine (e.g., aritmetica)
Proposizioni vs Quantificazione
I
I
I
I
Nomi, variabili e funzioni denotano individui, che possono
essere quantificati
L’applicazione di predicati (e.g., =) a individui dà proposizioni
Proposizioni manipolate con connettivi: congiunzione,
disgiunzione, implicazione, negazione, ecc.
Proposizioni che contengono individui generici, possono dar
luogo ad altre proposizioni mediante quantificazione:
universale, esistenziale
3
Sintassi vs Semantica
4
Linguaggio vs Metalinguaggio
30 / 70
Bipartizioni, 3
1
Logica vs Dominio di indagine (e.g., aritmetica)
2
Proposizioni vs Quantificazione
Sintassi vs Semantica
3
I
Sintassi
F
F
F
I
Semantica
F
F
F
4
I simboli usati
I modi di comporli in “frasi” sensate
I modi di derivare frasi (conclusioni) da frasi (ipotesi)
Gli oggetti che i simboli denotano
I valori di verità che corrispondono alle frasi
La relazione di conseguenza tra la verità di certe frasi (ipotesi)
e la verità di altre frasi (conclusioni)
Linguaggio vs Metalinguaggio
31 / 70
Bipartizioni, 4
1
Logica vs Dominio di indagine (e.g., aritmetica)
2
Proposizioni vs Quantificazione
3
Sintassi vs Semantica
Linguaggio vs Metalinguaggio
4
I
I
I
I
Linguaggio della logica
(Meta-)linguaggio nel quale la logica è descritta
“0+1=0” è un teorema dell’aritmetica
Teoremi e metateoremi (o meglio: teoria e metateoria)
32 / 70
Sintassi: termini
Fissiamo un insieme di (simboli di) costante (e.g., 0)
Fissiamo un insieme di (simboli di) funzione (e.g., +, s), col
loro numero di argomenti (“arietà”) (e.g., +2 , s 1 )
Assumiamo di avere una riserva infinita di nomi di variabili
(n, m, x, y , . . .)
I termini sono definiti induttivamente come segue:
1
2
3
4
Ogni costante è un termine
Ogni nome di variabile è un termine
Se f n è un simbolo di funzione n-aria e t1 , . . . , tn sono termini,
allora f (t1 , . . . , tn ) è un termine
Nient’altro è un termine
33 / 70
Sintassi: formule
Fissiamo un insieme di (simboli di) predicato ciascuno col
proprio numero di argomenti (“arietà”)
Il predicato di uguaglianza è sempre presente
Le formule sono definite induttivamente come segue:
1
2
3
4
5
Se t1 e t2 sono termini, allora t1 = t2 è una formula
Se P n è un simbolo di predicato n-ario e t1 , . . . , tn sono
termini, allora P(t1 , . . . , tn ) è una formula
Se A e B sono formule, allora ¬A, A ∧ B, A ∨ B, A → B sono
formule
Se A è una formula, e n è una variabile, allora 8n(A) e 9n(A)
sono formule
Nient’altro è una formula
34 / 70
Un linguaggio
La definizione di linguaggio è parametrica nei simboli di
costante, funzione e predicato. Tutto il resto è fissato.
Il linguaggio della somma: Lgruppo
I
I
I
Simboli di costante: {0}
Simboli di funzione: {+2 }
Simboli di predicato: ;
Esempi di termini:
0, 0 + 0, n, n + m, (n + 0) + m
Esempi di formule:
n = n, 0 + 0 = m, n = m ∧ m = n, n = m ∧ m = p → n = p
35 / 70
Altri linguaggi
Il linguaggio di somma e prodotto: Lanello
I
I
I
Simboli di costante: {0, 1}
Simboli di funzione: {+2 , 2 }
Simboli di predicato: ;
Il linguaggio di zero e successore: Lsucc
I
I
I
Simboli di costante: {0}
Simboli di funzione: {s 1 }
Simboli di predicato: ;
Il linguaggio dell’aritmetica: LPA
I
I
I
Simboli di costante: {0}
Simboli di funzione: {s 1 , +2 , 2 }
Simboli di predicato: ;
36 / 70
Una semantica “canonica”?
Ricordiamo Lgruppo :
I
I
I
Simboli di costante: {0}
Simboli di funzione: {+2 }
Simboli di predicato: ;
Siamo tentati di dire che alcune sue formule sono “vere”:
8n(n = n), 8n(n + 0 = n), 8n8m8p(n = m ∧ m = p → n = p)
e che altre sono “false”: 8m(0 + 0 = m), 9n8m(n + m = 0)
Ma non è cosı̀!
“verità” e “falsità” pre-suppongono un’interpretazione
canonica dei simboli del linguaggio
Nessuna formula è “vera” o “falsa” in assoluto, ma solo in
riferimento ad una specifica interpretazione (cioè una
semantica) del linguaggio
37 / 70
Sintassi e semantica per un linguaggio
Prendiamo L+,s :
I
I
I
Simboli di costante: {0}
Simboli di funzione: {s 1 , +2 }
Simboli di predicato: ;
Una semantica di L+,s sarà costituita da:
I
I
I
I
un insieme di individui (per interpretare i termini)
in tale insieme saranno interpretati i simboli di costante e
funzione
simboli di predicato saranno interpretati come relazioni
= è sempre intepretato con l’identità
Indicheremo con [[ ]] la funzione dalla sintassi alla semantica
che stabilisce una data interpretazione
38 / 70
Diverse interpretazioni per
N:
I
I
I
Z:
I
I
I
L+,s
[[0]] = 0N
[[s]] = successoreN
[[+]] = +N
[[0]] = 0Z
[[s]] = successoreZ
[[+]] = +Z
S = {} (l’insieme che contiene il solo elemento )
I
I
I
[[0]] = [[s]] = succ, dove succ() = [[+]] = g , dove g (, ) = 39 / 70
Verità in una interpretazione
P = 8n ¬(s(n) = 0)
è una formula nel linguaggio L+,s
P è
I
I
I
vera in N
falsa in Z
falsa in S = {}
Esercizio:
I
I
I
Si consideri l’insieme {0, 1}
Si diano due diverse interpretazioni di L+,s su tale insieme
In modo che in una interpretazione P sia vera, nell’altra falsa
40 / 70
Intermezzo: Linguaggi del prim’ordine e di
ordine superiore
La sintassi da noi descritta è detta del prim’ordine:
I
I
quantificazione solo su variabili individuali
cioè, semanticamente, solo su elementi del dominio
Un linguaggio si dice del secondo ordine, se:
I
I
I
permette la quantificazione anche su variabili di predicato
cioè, semanticamente, anche su sottoinsiemi del dominio
Esempio: 8P 8n(P(n) → P(n + 1))
41 / 70
Intermezzo:
Linguaggi di programmazione
L’esempio più diffuso di linguaggi formali è quello dei
linguaggi di programmazione
Semantica dichiarativa vs semantica imperativa
La “variabilità” della semantica è vitale per la coesistenza di
“implementazioni” diverse
42 / 70
Informatica, figlia della logica
43 / 70
Sintassi: Alfabeto
Sia ΣC un insieme (numerabile) di simboli di costante
Sia ΣF un insieme (numerabile) di simboli di funzione
Sia ΣP un insieme (numerabile) di simboli di predicato
I tre insiemi appena definiti sono disgiunti
Sia Σ = ΣC [ ΣF [ ΣP
L’alfabeto del linguaggio LΣ è dato da
I
I
I
I
I
I
Simboli propri: Σ
Un insieme numerabile di simboli di variabile: x, y , . . .
Connettivi: ¬, ∧, ∨, →
Quantificatori: 8, 9
Uguaglianza: =
Simboli ausiliari: (, ), , (virgola)
44 / 70
Sintassi: Termini e Formule
I termini sono definiti induttivamente come segue:
1
2
3
4
Ogni costante è un termine
Ogni nome di variabile è un termine
Se f n è un simbolo di funzione n-aria e t1 , . . . , tn sono termini,
allora f (t1 , . . . , tn ) è un termine
Nient’altro è un termine
Le formule sono definite induttivamente come segue:
1
2
3
4
5
Se t1 e t2 sono termini, allora t1 = t2 è una formula
Se P n è un simbolo di predicato n-ario e t1 , . . . , tn sono
termini, allora P(t1 , . . . , tn ) è una formula
Se A e B sono formule, allora ¬A, A ∧ B, A ∨ B, A → B sono
formule
Se A è una formula, e n è una variabile, allora 8n(A) e 9n(A)
sono formule
Nient’altro è una formula
45 / 70
Interpretazione: linguaggio
Dato un linguaggio LΣ una sua interpretazione è data da
Un insieme D, detto dominio
Per ogni simbolo c 2 ΣC , un fissato elemento c D 2 D
Per ogni simbolo f k 2 ΣF una fissata funzione f D : D n → D
Per ogni simbolo P k 2 ΣP una fissata funzione
P D : D n → {V , F }
Un’interpretazione è data da (i) un dominio e (ii) un’associazione
di significato ai simboli propri.
46 / 70
Interpretazione: termini
Sia A un’interpretazione per un linguaggio LΣ .
L’interpretazione si estende in modo canonico ai termini:
Sia ρ un ambiente, cioè una funzione ρ : Variabili → D
D
[[c]]A
ρ =c
[[x]]A
ρ = ρ(x)
D
A
A
[[f (t1 , . . . , tn )]]A
ρ = f ([[t1 ]]ρ , . . . , [[tn ]]ρ )
47 / 70
Interpretazione: formule
Sia A un’interpretazione per un linguaggio LΣ .
L’interpretazione si estende in modo canonico alle formule:
Sia ρ un ambiente, cioè una funzione ρ : Variabili → D
A
A
[[t1 = t2 ]]A
ρ = V sse [[t1 ]]ρ = [[t2 ]]ρ
A
A
[[P(t1 , . . . , tn )]]A
ρ = V sse PD ([[t1 ]]ρ , . . . , [[tn ]]ρ ) = V
A
[[¬A]]A
ρ = V sse [[A]]ρ = F
A
A
[[A ∧ B]]A
ρ = V sse [[A]]ρ = V e [[B]]ρ = V
A
A
[[A ∨ B]]A
ρ = V sse [[A]]ρ = V oppure [[B]]ρ = V
A
A
[[A → B]]A
ρ = V sse [[A]]ρ = F oppure [[B]]ρ = V
A
[[8x(A)]]A
ρ = V sse per ogni d 2 D, [[A]]ρ[x←d] = V
A
[[9x(A)]]A
ρ = V sse esiste un d 2 D, [[A]]ρ[x←d] = V
48 / 70
Verità in un’interpretazione
Sia A una formula sul linguaggio LΣ
Sia A una interpretazione per LΣ
A è vera in A sse per ogni ρ, [[A]]A
ρ =V
In simboli: A |= A
Leggi: A è un modello di A
Si estende ad insiemi di formule Γ :
A |= Γ sse per ogni A 2 Γ , si ha A |= A
49 / 70
Esempi (già visti)
P = 8n ¬(s(n) = 0)
è una formula nel linguaggio L+,s
N, Z, {} sono tutte interpretazioni per L+,s
N |= P
Z 6|= P
{} 6|= P
50 / 70
Formule vere in ogni interpretazione?
Dicemmo:
I
I
I
I
Siamo tentati di dire che alcune sue formule sono “vere”:
8n(n = n), 8n(n + 0 = n), 8n8m8p(n = m ∧ m = p → n = p)
e che altre sono “false”: 8m(0 + 0 = m), 9n8m(n + m = 0)
“verità” e “falsità” pre-suppongono un’interpretazione
canonica dei simboli del linguaggio
Nessuna formula è “vera” o “falsa” in assoluto, ma solo in
riferimento ad una specifica interpretazione (cioè una
semantica) del linguaggio
Siamo sicuri?
Consideriamo P → P, o 8x(x = x)
Per una interpretazione qualsiasi A, queste formule sono vere
in A
51 / 70
Leggi logiche
Il linguaggio ha due livelli:
1
2
Livello logico comune: connettivi, quantificatori ecc.
Livello specifico: aspetti specifici del dominio
La semantica del livello specifico dipende dall’interpretazione
perché dipende da come si associano oggetti semantici ai
simboli
La semantica del livello logico è invece fissata nella nozione di
“funzione semantica”, [[ ]]
A
A
E.g., [[A ∧ B]]A
ρ = V sse [[A]]ρ = V e [[B]]ρ = V
A
A
A
[[t1 = t1 ]]ρ = V sse [[t1 ]]ρ = [[t2 ]]ρ
52 / 70
Validità
Una formula A è valida sse per ogni interpretazione A, si ha A |= A
|= A
Le formule valide sono “leggi logiche”
La loro verità non dipende dal dominio, ma dalla semantica
dei connettivi e dei quantificatori
Questa semantica è per noi “connaturata” (“built-in”) alla
logica che stiamo descrivendo
53 / 70
Alcune leggi logiche proposizionali
1
P→P
2
P → (Q → P)
3
P ∧Q →P
4
P → ¬¬P
5
(P → Q) → (¬Q → ¬P)
6
P → (¬P → ¬Q)
7
P → (¬P → Q)
8
P ∨ ¬P
9
¬¬P → P
10
(P → Q) ↔ (¬P ∨ Q)
11
((P → Q) → P) → P
a fortiori
doppia negazione debole
tollendo tollens
legge debole di Duns Scoto
legge forte di Duns Scoto
terzo escluso
doppia negazione forte
legge di Filone Megarico
legge di Pierce
54 / 70
Alcune leggi logiche quantificate
1
(8xP) → (9xP)
2
9x 8yP → 8x 9yP
3
8xP ↔ ¬9x¬P
4
9xP ↔ ¬8x¬P
55 / 70
Procedimento di decisione?
Legge proposizionale
I
I
Tavola di verià
Meccanizzabile (ma richiede tempo esponenziale)
Legge quantificata
I
I
Ragionare a partire dalla definizione
Meccanizzabile?
56 / 70
Intermezzo: logica classica e altre logiche
La logica che descriviamo viene detta classica
Sono state studiate logiche diverse, il cui insieme di leggi è un
sottinsieme proprio di quello della logica classica
Corrispondono a diverse semantiche dei connettivi (e dei
quantificatori)
Ricordiamo le logiche
I
I
minimale
intuizionista
E.g., per l’intuizionista le leggi proposizionali da 8 in poi (e le
3 e 4 delle leggi quantificate) non sono valide
57 / 70
Una validità “condizionata”?
Consideriamo le due formule
1
2
8n(n + 0 = n)
8n8m(n + m = m + n)
8n(0 + n = n) è certamente vera tutte le volte che (1) e (2)
sono vere
Più precisamente:
In ogni interpretazione che è un modello di (1) e (2), anche
8n(0 + n = n) è vera
Diciamo che 8n(0 + n = n) è conseguenza logica di (1) e (2)
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Conseguenza logica
formule chiuse
Sia Γ un insieme di formule chiuse e P una formula.
P è conseguenza logica di Γ (scrivi: Γ |= P)
sse
per ogni interpretazione A,
se A |= Γ , allora A |= P.
P è necessariamente vera laddove le formule di Γ sono vere.
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Conseguenza logica
caso generale
Sia Γ un insieme di formule e P una formula.
P è conseguenza logica di Γ (scrivi: Γ |= P)
sse
per ogni interpretazione A, e per ogni ambiente ρ su A:
A
per tutte le Q 2 Γ [[Q]]A
ρ = V =⇒ [[P]]ρ = V
P è necessariamente vera laddove le formule di Γ sono vere,
nello stesso ambiente.
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Centralità della conseguenza logica
La matematica è incentrata su questa nozione
La logica del novecento nasce per chiarire questa nozione
Un insieme di formule caratterizza (assiomatizza) una certa
nozione matematica (gli ordini parziali, i gruppi, gli anelli ecc.)
Si studiano i teoremi che valgono per tutte quelle strutture
(tutti i gruppi, tutti gli anelli, tutti gli ordini parziali ecc.)
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L’insieme Ord
Sia LOrd il linguaggio senza costanti o funzioni e col solo simbolo
di predicato M
Sia Ord il seguente insieme di formule su LOrd :
8xM(x, x)
8x 8y (M(x, y ) ∧ M(y , x) → x = y )
8x 8y 8z(M(x, y ) ∧ M(y , z) → M(x, z)
Ord esprime che M è un predicato (binario) riflessivo,
antisimmetrico e transitivo.
Cioè M è una relazione d’ordine.
Se A è un modello di Ord, deve avere un ordine
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Alcuni modelli di Ord
N |= Ord
Z |= Ord
{} |= Ord
Molte altre interpretazioni
I
I
I
D0 : D = {0, 1}, M D (0, 0) = V , M D (1, 1) = V
D1 : D = {0, 1}, M D (0, 0) = V , M D (1, 1) = V , M D (0, 1) = V
D2 : D = {0, 1}, M D (0, 0) = V , M D (1, 1) = V , M D (1, 2) = V
0
0
1
1
1
2
2
2
Ci sono infiniti modelli di Ord!
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La teoria degli ordini parziali
Un modello di Ord è un ordine parziale
Le conseguenze logiche di Ord sono le proprietà che valgono
per tutti gli ordini parziali
Th(Ord) = {P | Ord |= P}
La teoria degli ordini parziali è costituita da tutte quelle
formule che sono conseguenza logica di Ord, cioè che sono
vere in ogni ordine parziale.
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Conseguenze di formule “logiche”
Consideriamo il linguaggio puro (no costanti, no variabili, un
insieme numerabile di simboli di predicato)
La conseguenza logica ha senso anche in questo caso
A, A → B |= B
B non è certo una legge logica. . .
¬B(c), 8x(A(x) → B(x)) |= ¬A(c)
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I gruppi
Un gruppo è un insieme con un’operazione binaria associativa
L’operazione ha un elemento neutro
Ogni elemento ha un inverso
Il linguaggio: Lgruppo = {, 2 }; nessun predicato.
Sia Grp l’insieme delle quattro formule seguenti:
8x 8y 8z[(x y ) z = x (y z)]
8x( x) = x) e anche 8x(x ) = x)
8x 9y (x y = 0) ∧ (y x = 0)
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La teoria dei gruppi
Le conseguenze logica di Grp sono i teoremi sui gruppi
Th(Grp) = {P | Grp |= P}
Modelli di Grp sono Z con la somma; Q con il prodotto; R
con il prodotto ecc. ecc.
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Quanti sono i modelli di una teoria?
1
Ci sono solo modelli finiti (il cui dominio è finito)
I
I
I
2
Linguaggio con una sola costante, diciamo 0
8x(x = 0) ha un solo modello, quello con un solo elemento
Linguaggio con due sole costanti, diciamo 0 e 1
8x(x = 0 ∨ x = 1) ∧ ¬(0 = 1) ha un solo modello, quello con
un due elementi
In questo caso i modelli di tali formule sono in numero finito
(uno solo, in entrambi i casi)
Ci sono (anche) modelli infiniti (il cui dominio è infinito)
I
I
I
Linguaggio con una sola costante (0) ed un simbolo di
funzione s 1
8x¬(x = s(x)) ha modelli sia finiti (per esempi con due
elementi) sia infiniti (cioè di cardinalità infinita)
In questo caso è possibile dimostrare che esistono
necessariamente una quantità infinita di modelli (ciascuno di
essi con un dominio di cardinalità infinita)
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“Difficoltà” della conseguenza logica
Se Γ ha (anche) modelli infiniti (col dominio infinito)
Allora Γ ha infiniti modelli (non è un gioco di parole. . . )
(Tale infinito è di una cardinalità estremamente grande)
L’insieme delle conseguenze logiche di Γ caratterizza cosı̀ il
comportamento di una collezione vastissima di interpretazioni
Come stabilire allora una conseguenza logica?
Non possiamo ragionare su questa (enorme) collezione di
modelli!
Alla ricerca di metodi sintattici
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Dov’è finito “il mentitore”?
“Questa frase è falsa”
Non è una proposizione, perché una teoria non parla delle
proprie frasi
Né tantomeno della loro verità
Il mentitore presuppone una metateoria riflessa nella teoria
O no?
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