La Logica Matematica
Una delle definizioni più naturali e più comuni della logica presenta
questa disciplina come l’analisi dei metodi di ragionamento. Nello
studio di questi metodi, la logica si interessa alla forma più che al
contenuto dell’argomento e quindi uno dei compiti più importanti
della logica è la formalizzazione sistematica dei metodi validi di
ragionamento. Questa scienza si chiama “Logica Matematica”.
La logica matematica, come disciplina a sé, è relativamente recente;
nasce, infatti, negli anni tra la fine dell’800 e l’inizio del ‘900 ed è
attualmente oggetto di insegnamento nei corsi di studio universitari.
Il connubio tra Logica da una parte (come branca della Filosofia) e
Matematica dall’altra, esprime, forse, il legame più sottile tra questi
due modi di pensare e di indagare, che ha origini antiche in domande
apparentemente semplici ma di rara profondità: cosa è un numero,
cosa significa dimostrare, cosa è l’infinito, cosa è lo spazio, cosa è il
tempo.
Oggi sappiamo che il concetto di numero si può precisare nell’ambito
della teoria degli insiemi ponendo 0 = , 1 = 0, 2 = 0,1 e così
via; i sistemi formali precisano la nozione di dimostrazione, di
deduzione, di teorema. Spazio e tempo sono legati nella Teoria della
Relatività; infiniti ed infinitesimi (potenziali) sono alla base del
Calcolo Infinitesimale; l’infinito attuale è organizzato nella gerarchia
dei cardinali transfiniti di Cantor.
Ma il problema ultimo resta quello della (dimostrazione della)
coerenza di una teoria.
Una lettura interessante in proposito può essere il libro La ribellione
del numero di Paolo Zellini.
Il programma Hilbertiano di sviluppare l’aritmetica e quindi tutta la
matematica su basi logiche (sistemi R e S) ha avuto, con i teoremi
di Gödel, un effetto dissacrante sulla matematica e sui matematici,
inficiando la fede nel metodo assiomatico-deduttivo. La crisi
fondazionale della Matematica, che si è accompagnata a quella della
Fisica (con il principio di indeterminazione di Heisenberg) ha
tormentato generazioni di matematici, ma si è risolta, come spesso
accade, nella apertura di nuovi orizzonti e nella nascita di nuovi filoni
di indagine, relegando il problema della non contraddittorietà, sempre
latente in ogni teoria, all’ambito puramente logico e non matematico.
Una delle branche più affascinanti della Logica Matematica porta il
nome di Teoria dei Modelli. Per comprendere pienamente la
funzione della teoria dei modelli, locuzione dovuta a Tarski, è
necessario richiamarsi a due nozioni fondamentali della logica
matematica: quella di linguaggio formale e quella di interpretazione
o modello di un dato linguaggio. In maniera molto sommaria si
potrebbe dire che un linguaggio formale è sostanzialmente costituito
da una lista di simboli e da precise regole mediante le quali si
possono costruire formule con tali simboli; una interpretazione è un
modo di definire la nozione di verità, cioè di riconoscere se una
formula è vera o falsa in un senso prefissato. Esistono numerose
tecniche per la costruzione di modelli. La distinzione tra linguaggio
formale e modello, porta a distinguere, inoltre, proprietà sintattiche da
proprietà semantiche. La sintassi si riferisce infatti alla pura struttura
formale del linguaggio, mentre la semantica riguarda l'interpretazione
e il significato del linguaggio formale. Ad esempio, la lunghezza di una
formula o l’insieme dei simboli che in essa occorrono, è una proprietà
sintattica; la verità o falsità di una formula in un modello è invece
una proprietà semantica.
È importante sottolineare che la teoria dei modelli, nonostante la
dicitura, non studia i modelli, ma le relazioni tra linguaggio formale e
relative interpretazioni o modelli.
La logica aristotelica: il sillogismo
