Olimpiadi della Matematica 14. Aritmetica (livello 0) 15. Problemi

69.
Dati i due numeri n = 111.333.222.666 e m = 111.333.333.111, dire quanti sono i divisori di
m che non sono divisori di n.
C.A.P.O.2010 (Corso Annuale di Preparazione Olimpica)
70.
Olimpiadi della Matematica
Quanti sono i numeri interi strettamente positivi e non maggiori di 10.000 che hanno un
numero pari di divisori? (tra i divisori di un numero n vanno contati anche 1 e n)
L.S.S. I. Newton (Roma) - Corso Base
docente:
Lezione n.
14.
Callegari
8
A.S. 2010-2011
25 Novembre 2010
ore 15.30-17.00
Calcolare la somma di tutti i divisori di 1024.
72.
Trovare un modo rapido per calcolare 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 512 + 1024.
73.
Trovare una formula corta per calcolare 1 + x + x2 + x3 + . . . + xn .
74.
Calcolare la somma di tutti i divisori di 144.
75.
Calcolare la somma di tutti i divisori di 7200.
Aritmetica (livello 0)
La lezione di oggi ha come unici prerequisiti le nozioni sulla scomposizione tra numeri interi
e su MCD e mcm, che normalmente lo studente apprende alla scuola media.
Premesso questo, si utilizzeranno i problemi dal 58 al 64 per far familiarizzare lo studente
con l’algoritmo di Euclide e per abituarlo a non operare in modo troppo meccanico, quando
invece, per trovare il MCD, decide di fare la scomposizioni dei numeri in questione.
In tutti gli esempi proposti, infatti, operare in modo troppo standard, porta a calcoli molto
lunghi.
Invece, con i problemi che vanno dal 65 al 70, vogliamo farlo familiarizzare con la formula
che conta il numero di divisori di un numero assegnato.
I problemi dal 71 al 77 invece saranno dedicati ad indovinare e dimostrare la formula che
fornisce la somma di tutti i divisori di un numero. Per poterlo fare saremo costretti ad
aprire una piccola perentesi (problemi 72 e 73) per ricavarci la formula che ci permette di
calcolare la somma dei termini di una progressione geometrica.
Infine, come anticipazione alla lezione successiva, gli studenti potranno cimentarsi con la
soluzione dei problemi 78 e 79. Tali problemi possono essere agevolmente risolti a mano,
visto che i numeri coinvolti sono sufficientemente piccoli, tuttavia nella prossima lezione essi
costituiranno il pretesto per sviluppare la teoria delle equazioni diofantee lineari.
15.
71.
76.
Sia n la somma di tutti i divisori di 611 e m la somma di quelli di 511 (tra i divisori di un
numero vanno contati anche 1 e il numero stesso). Trovare il massimo comune divisore tra
m e n.
77.
Sia S la somma di tutti i divisori di 3011 (contando anche 1 e il numero stesso) e sia K il
K
numero di divisori di S. Quanto vale
?
10
78.
Problemi svolti e/o proposti
79.
58.
Dimostrare che 187456 e 187487 sono primi tra loro.
59.
Dati m = 198.486 e n = 21.987, calcolare MCD(m, n).
60.
Dati m = 497.592 e n = 51.037, calcolare MCD(m, n).
61.
Due pulci, Pina e Gina, si divertono a saltare su una retta. Si muovono entrambe nella stessa
direzione ma Pina parte da un punto P mentre Gina parte da un punto Q che, rispetto alla
direzione del moto, sta un centimetro più avanti di P . Pina fa salti lunghi 17cm, mentre
Gina fa salti di 25cm.
A che distanza da P si incontrano per la prima volta?
Cosa sarebbe successo se i salti di Gina fossero stati lunghi 20cm anziché 17cm?
Dati m = 20152 − 20142 e n = 20122 − 20112 , calcolare MCD(m, n).
62.
Dati m = 1.000.000 e n = 999.999, calcolare mcm(m, n).
63.
Dati m = 1.000.000.000 e n = 1.006.012.008, calcolare MCD(m, n).
64.
Dati m = 111.144.444.444 e n = 111.155.553.333, calcolare MCD(m, n).
65.
Quanti sono i divisori di 1024?
66.
Quanti sono i divisori di 144?
67.
Quanti sono i divisori di 222.288.888.888?
68.
Due pulci, Pina e Gina, si divertono a saltare su una retta. Partono dallo stesso punto P e
si muovono nella stessa derezione. Pina fa salti lunghi 17cm, mentre Gina fa salti di 25cm.
Quanto distano da P i punti toccati da entrambe?
Siano n = 22.222.222 e m = 22.228.888. Quanti numeri interi positivi dividono sia m che
n?
c Emanuele Callegari c/o Dipartimento di Matematica - Università di Roma Tor Vergata - Tutti i diritti sono riservati.
Info su questa e altre iniziative analoghe alla pagina
www.mat.uniroma2.it/~olimpiad/trainingolimpico.html
8