Massimo comun divisore
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In matematica, il massimo comun divisore (M.C.D.
M.C.D.) di due numeri interi, che non siano entrambi uguali a zero, è il numero naturale più grande
per il quale possono entrambi essere divisi.
Il massimo comun divisore tra i due numeri a e b viene indicato con MCD(a,
MCD( b), o più semplicemente (a, b).
). Ad esempio, MCD(12, 18) = 6,
MCD(−4, 14) = 2 e MCD(5, 0) = 5.
Due numeri si dicono coprimi o primi tra loro se il loro massimo comun divisore è uguale a 1. Per esempio, i numeri 9 e 28 sono primi tra loro (ma
non sono primi).
Il massimo comun divisore è utile per ridurre una frazione ai minimi termini. Per esempio nella seguente frazione:
è stato semplificato il fattore 14, il massimo comun divisore tra 42 e 56.
Calcolo del MCD [modifica]
Il massimo comun divisore può essere calcolato, in linea di principio, determinando la scomposizione in fattori primi dei due numeri dati e
moltiplicando i fattori comuni, considerati una sola volta con il loro minimo esponente. Per esempio, per calcolare
calcol
il MCD(18,84) si scompongono
2
2
dapprima i due numeri in fattori primi, ottenendo 18 = 2·3 e 84 = 2 ·3·7, e poi si considerano i fattori comuni ai due numeri, 2 e 3: entrambi
compaiono con esponente minimo uguale a 1, e quindi si ottiene che MCD(18,84)=6.
MCD(18,84)=6
Questo metodo è utilizzabile, nella pratica, solo per numeri molto piccoli: la scomposizione in fattori primi di un numero richiede
ri
in generale troppo
tempo.
Un metodo molto più efficiente è fornito dall'algoritmo
algoritmo di Euclide:
Euclide: si divide 84 per 18 ottenendo un quoziente di 4 e un resto di 12. Poi si divide 18
per 12 ottenendo un quoziente di 1 e un resto di 6. Infine si divide 12 per 6 ottenendo un resto di 0, il che significa che 6 è il massimo comun
divisore.
Proprietà [modifica]
Ogni divisore comune di a e b è un divisore di MCD(a,
MCD( b).
MCD(a, b), dove a e b non sono contemporaneamente uguali a zero, può essere definito in modo alternativo ed equivalente come il più
piccolo intero positivo d che può essere scritto
itto nella forma d = a·p + b·q dove p e q sono interi. Questa espressione viene chiamata identità di
Bézout.
Se a divide il prodotto b·c, e MCD(a, b) = d,, allora a/d divide c.
Se m è un intero non nullo, allora MCD(m·a
a, m·b) = m·MCD(a, b) e MCD(a + m·b, b) = MCD(a, b).
). Se m è un divisore comune diverso da
zero di a e b, allora MCD(a/m, b/m) = MCD(a, b)/m.
Il MCD è una funzione moltiplicativa nel senso seguente: se a1 e a2 sono primi tra loro,, allora MCD(a
MCD( 1·a2, b) = MCD(a1, b)·MCD(a2, b).
Il MCD di tre numeri può essere calcolato come MCD(a,
MCD( b, c) = MCD(MCD(a, b), c) = MCD(a, MCD(b,
MCD( c)). Quindi il MCD è una
operazione associativa.
MCD(a, b) è legato al minimo comune multiplo mcm(a, b): si ha
MCD(a, b)·mcm(a, b) = a·b.
Questa formula viene usata spesso per calcolare il minimo comune multiplo: si calcola prima il MCD con l'algoritmo di Euclide e poi si divide il
prodotto dei due numeri dati per il loro MCD.
Vale la seguente proprietà distributiva:
MCD(a, mcm(b, c)) = mcm(MCD(a, b), MCD(a, c))
mcm(a, MCD(b, c)) = MCD(mcm(a, b), mcm(a, c)).
È utile definire MCD(0, 0) = 0 e mcm(0, 0) = 0 perché in questo modo i numeri naturali diventano un reticolo completo distributivo con
MCD e mcm come operazioni. Questa estensione è compatibile anche
anche con la generalizzazione per gli anelli commutativi data più sotto.
In un sistema di coordinate cartesiane il MCD(a,
MCD( b)) può essere interpretato come il numero di punti con coordinate intere sulla retta che
passa per i punti (0, 0) e (a, b),
), escludendo il punto (0, 0).
Il MCD in anelli commutativi [modifica]
Il massimo comun divisore può essere definito in maniera più generale per gli elementi di un anello commutativo arbitrario.
Se R è un anello commutativo e a e b appartengono a R, allora un elemento d di R è chiamato divisore comune di a e b se divide sia a che b (e
cioè se esistono due elementi x e y in R tali che d·x = a e d·y = b). Se d è un divisore comune di a e b,, e ogni divisore
d
comune di a e b divide d,
allora d viene chiamato un massimo comun divisore di a e b.
Si noti che, secondo questa definizione, due elementi a e b possono avere più di un massimo comun divisore, oppure nessuno. Ma se R è un
dominio di integrità allora due qualsiasi MCD di a e b devono essere elementi associati. Inoltre, se R è un dominio a fattorizzazione unica,
unica allora
due qualunque elementi hanno un MCD. Se R è un anello euclideo allora i MCD possono essere calcolati
lati con una variante dell'algoritmo
euclideo.
Quello che segue è un esempio di un dominio di integrità con due elementi che non ammettono un MCD:
Gli elementi
vale per
e 2 sono due "divisori comuni massimali" (cioè ogni divisore comune che è multiplo di 2 è associato
ass
a 2, e lo stesso
), ma non sono associati, quindi non esiste il massimo comun divisore di a e b.
Analogamente alla proprietà di Bezout si può considerare, in un qualunque anello commutativo, la collezione di elementi nella forma pa + qb, dove
p e q variano all'interno dell'anello. Si ottiene l'ideale generato da a e b,, che viene denotato semplicemente con (a,b). In un anello i cui ideali sono
tutti principali (un anello ad ideali principali,, "principal ideal domain" o PID), questo ideale sarà identico all'insieme dei multipli di qualche elemento
d dell'anello; allora questo d è un massimo comun divisore di a e b. Ma l'ideale (a,b) può essere utile anche quando non c'è nessun MCD di a e b
(in effetti, Ernst Kummer usò questo
to ideale come sostituto del MCD nel suo studio dell'ultimo
dell'ultimo teorema di Fermat,
Fermat anche se lo considerò come
l'insieme di multipli di un qualche ipotetico, o ideale,, elemento d dell'anello, da qui proviene il termine ideale).
ideale
Minimo comune multiplo
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In matematica il minimo comune multiplo (mcm)) di due interi a e b è il più piccolo intero positivo che è multiplo sia di a che di b. Se non esiste
un intero positivo con queste proprietà, cioè se a = 0 o b = 0, allora mcm(a, b) è definito uguale a zero.
Il minimo comune multiplo è uno strumento utile per determinare la somma o sottrazione di due frazioni:: in questo caso il denominatore della
frazione risultante è il minimo comune multiplo delle due date. Ad esempio, nella somma
il denominatore è mcm(21, 6) = 42.
Se a e b non sono entrambi nulli, il minimo comune multiplo può essere calcolato usando il massimo comun divisore (MCD) di a e b e la formula
seguente:
Quindi, l'algoritmo di Euclide per il MCD fornisce
rnisce anche un veloce algoritmo per il calcolo del mcm. Ritornando all'esempio precedente,
Calcolo efficiente del mcm [modifica]
La formula
è adeguata per calcolare il mcm per piccoli numeri.
Poiché (ab)/c = a(b/c) = (a/c)b,, è possibile calcolare il mcm usando la formula precedente in modo più efficiente, dapprima utilizzando il fatto che
b/c o a/c sono più semplici da calcolare rispetto al divisione tra il prodotto ab e c: il fatto che c sia multiplo sia di a che di b consente di
semplificare completamente il fattore c dalla frazione a/c oppure da b/c, prima di effettuare il prodotto ab.
Allora il mcm si può calcolare o così:
oppure così:
In questo modo, l'esempio precedente diventa:
Anche se i numeri sono grandi e non
on sono facilmente scomponibili in fattori, il MCD può essere calcolato velocemente usando l'algoritmo
l'
di
Euclide.
Come ricordarsi di semplificare prima di moltiplicare
moltipli
[modifica]
Il metodo che segue rende impossibile dimenticarsi di semplificare prima di moltiplicare. Verrà illustrato con un esempio: come trovare il
mcm(12, 8).
Si deve ridurre ai minimi termini la frazione avente come numeratore e denominatore i due numeri di cui si deve trovare il minimo
mi
comune multiplo:
Si esegue la "moltiplicazione a croce":
Il prodotto 12 × 2 = 8 × 3 è il mcm: 24.
Metodo di calcolo alternativo [modifica]
Il teorema fondamentale dell'aritmetica afferma che ogni intero maggiore di 1 può essere scritto in un modo unico
u
come prodotto di fattori primi. I
numeri primi possono essere considerati come "atomi" che, combinati insieme, producono un numero composto.
composto
Per esempio:
Il numero composto 90 è costituito da un atomo uguale al numero primo 2,, due atomi uguali al numero primo 3 e un atomo uguale al numero
primo 5.
Si può usare questo teorema per trovare facilmente
te il mcm di un gruppo di numeri.
Per esempio: calcolare il mcm(45, 120, 75).
Il mcm è il numero composto da tutti i fattori primi dei numeri dati, presi una sola volta con il massimo esponente. Quindi
Questo è il metodo che di solito viene insegnato
to nella scuola italiana.
Esempi [modifica]
Calcolo di mcm(3, 5, 7 ):
i tre numeri sono primi, quindi
mcm(3,5,7)=3·5·7=105
Calcolo di mcm(7, 8, 20):
i numeri non primi devono essere scomposti in fattori primi
7=7
8=2·2·2=2³
20=2·2·5=2²·5
allora il mcm risulta
mcm(7,8,20)=7·2³·5=280.
il fattore primo 2 è stato preso con esponente massimo 3.
Analogamente si ragiona se si vuole eseguire il mcm tra espressioni algebriche: si procede alla scomposizione in fattori (monomi, binomi,
trinomi..., comunque espressioni algebriche non trasformabili in prodotto di espressioni algebriche di grado inferiore) primi tra loro e si ricava il
mcm tra le espressioni algebriche applicando la stessa definizione data per i numeri, ricordando che mcm(4a,bc) non è detto che sia 4abc.
Esempio:
Calcolo di mcm(2np, (p+q)², 4n²(q+p)³).
Le espressioni sono già indicate come prodotti di espressioni algebriche semplici e allora il loro mcm risulta
mcm(2np, (p+q)², 4n²(q+p)³)=mcm(4,n²,p,(p+q)³)
Calcolo di mcm(x³, ab(x²-2x+1), (1-x)).
Si ha che
x³= x³
ab(x²-2x+1) = ab(x-1)² = ab(1-x)²
(1-x)= -(x-1).
E quindi il mcm in questo caso è
mcm(x³, ab(x²-2x+1), (1-x))=mcm(ab,x³(1-x)²) =mcm(ab,x³(x-1)²)
Numero razionale
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In matematica, un numero razionale è un numero reale ottenibile come rapporto tra due numeri interi,, il secondo dei quali diverso da 0. Ogni
numero razionale quindi può essere espresso mediante una frazione.
Storicamente, i numeri razionali sono stati introdotti prima dei numeri reali, per permettere l'operazione di divisione fra numeri interi. I numeri
razionali formano un campo, indicato con Q oppure
.
In fisica,, il risultato di una misurazione è solitamente esprimibile come numero razionale, dipendente dalla precisione dello strumento.
strument
Aritmetica [modifica]
Operazioni [modifica]
La somma ed il prodotto di due numeri razionali vengono calcolati nel modo seguente.
Ne segue che l'inverso per la somma e la moltiplicazione vengono calcolati così:
Descrizioni diverse dello stesso numero [modifica]
Un numero razionale può essere descritto come frazione in modi diversi: le frazioni
e
rappresentano lo stesso numero razionale se e solo
so
se ad = bc. In effetti si ottiene
moltiplicando entrambi i membri per bd.
Ogni numero razionale è rappresentato da un'unica frazione
ridotta ai minimi termini, cioè tale che il massimo comune divisore tra a e b sia
un'unità, e b sia positivo.
due frazioni che individuano lo stesso numero razionale sono dette equivalenti.. Evidentemente, per ogni intero k diverso da zero le frazioni
e
sono equivalenti: quindi
indi ogni numero razionale può essere espresso da infinite frazioni. Ad esempio 3/6 = 2/4 = 1/2=4/8.
Scrittura decimale [modifica]
Come tutti i numeri reali,, i numeri razionali possono essere rappresentati tramite il sistema numerico decimale.
decimale Lo sviluppo decimale dei numeri
razionali ha la particolarità di essere periodico:: un numero reale è razionale se e solo se nella sua scrittura esiste una sequenza finita di cifre
(detta periodo)) che si ripete all'infinito, da un certo punto in poi dopo la virgola.
Ad esempio:
(si ripete il periodo "3" all'infinito)
Un numero razionale può essere descritto quindi "soprallineando" il periodo, come in questi esempi.
Numeri irrazionali [modifica]
Un numero reale che non è razionale è detto irrazionale. Un numero irrazionale quindi non è rappresentabile in forma decimale periodica. Ad
esempio, il numero
0,12 122 1222 12222... (dove la sequenza di "2" è sempre più lunga)
è irrazionale. Altri numeri irrazionali importanti in matematica sono
e pi greco.
