Appunti di Elettronica I Lezione 3 Risoluzione dei circuiti elettrici
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Appunti di Elettronica I Lezione 3 Risoluzione dei circuiti elettrici; serie e parallelo di bipoli Valentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione Università di Milano, 26013 Crema e-mail: [email protected] http://www.dti.unimi.it/˜liberali 3 marzo 2008 Questi appunti sono un complemento didattico del materiale presentato nelle lezioni di Elettronica I, e riassunto in modo molto schematico nelle diapositive messe a disposizione. Alcune parti di questi appunti, contraddistinte da un asterisco (*), costituiscono un approfondimento degli argomenti trattati a lezione e non fanno parte del programma d’esame. 3 RISOLUZIONE DEI CIRCUITI; SERIE E PARALLELO 1 3 Risoluzione dei circuiti elettrici; serie e parallelo di bipoli 3.1 Risoluzione dei circuiti elettrici indipendenti dal tempo Risolvere un circuito elettrico significa calcolare la tensione e la corrente per ogni bipolo. Per i circuiti in continua, la soluzione si trova usando: • la legge di Ohm per i resistori: V = RI; • la legge di Kirchhoff per le tensioni alle maglie: X (3.1) Vk = 0; (3.2) Ik = 0. (3.3) k∈maglia • la legge di Kirchhoff per le correnti ai nodi: X k∈nodo Come esempio, risolviamo il circuito illustrato nella Fig. 3.1, sapendo che: V0 = 4.5 V, R1 = 1.2 kΩ, R2 = 1 kΩ, R3 = 1.5 kΩ. R1 + R2 R3 V0 - Figura 3.1: Circuito di esempio. Dobbiamo calcolare la tensione e la corrente per ogni bipolo. Come primo passo, definiamo per ogni bipolo il terminale positivo (+) e quello negativo (–), in modo da fissare i versi delle tensioni e delle correnti, come illustrato in Fig. 3.2. In ogni caso, adottiamo la convenzione degli utilizzatori. Per i bipoli simmetrici (come le resistenze), la scelta dei segni è indifferente. Invece, per i bipoli non simmetrici (come i generatori), occorre attenersi al verso indicato per la grandezza elettrica data (tensione o corrente). + + V0 - V1 I0 I1 R 1 I2 + R2 I3 + R3 V2 - V3 - Figura 3.2: Circuito di esempio con l’indicazione dei versi di tensioni e correnti. Il passo successivo consiste nel determinare il numero di incognite del circuito, che è anche il numero di equazioni indipendenti che bisogna scrivere. 3 RISOLUZIONE DEI CIRCUITI; SERIE E PARALLELO 2 • Per ogni resistenza, occorre calcolare la tensione e la corrente: abbiamo quindi due incognite per ogni bipolo resistivo. • Per ciascun generatore occorre calcolare una sola grandezza (la corrente per i generatori di tensione, e la tensione per i generatori di corrente), perché l’altra grandezza è un dato del problema. Per il circuito assegnato, il numero di incognite è 7 (cioè 4 correnti e 3 tensioni): di conseguenza, occorre scrivere 7 equazioni tra loro indipendenti nelle 7 incognite, e risolvere il sistema di equazioni. Anzitutto, per ogni resistenza vale la legge di Ohm. Abbiamo quindi le tre equazioni: V1 = R1 I1 V2 = R2 I2 (3.4) V3 = R3 I3 Nell’applicare le leggi di Kirchhoff per le correnti ai nodi e per le tensioni alle maglie, occorre fare attenzione a non scrivere tutte le equazioni possibili, perché ne risulterebbe un sistema di equazioni fra loro dipendenti. Infatti, dalla legge di Kirchhoff per le correnti (KCL) applicata a tutti i nodi ricaviamo le tre equazioni: −I0 − I1 = 0 I1 − I2 − I3 = 0 (3.5) I0 + I2 + I3 = 0 che sono fra loro linearmente dipendenti: infatti, la terza è data dalla somma delle altre due cambiata di segno. Analogamente, dalla legge di Kirchhoff per le tensioni (KVL) applicata a tutte le maglie ricaviamo le equazioni: −V1 − V2 + V0 = 0 −V3 + V2 = 0 (3.6) −V1 − V3 + V0 = 0 che sono fra loro dipendenti, perché la terza è dalla somma delle prime due. È consigliabile utilizzare per prima la legge di Ohm applicata a tutte le resistenze; poi la legge di Kirchhoff per le correnti (KCL) applicata a tutti i nodi tranne uno; e infine la legge di Kirchhoff per le tensioni (KVL), facendo attenzione che le maglie per cui si scrive la KVL siano indipendenti. Per il circuito proposto, un possibile sistema di sette equazioni in sette incognite è: V1 = R1 I1 V2 = R2 I2 Ohm V3 = R3 I3 (3.7) −I0 − I1 = 0 KCL I1 − I2 − I3 = 0 −V1 − V2 + V0 = 0 KVL −V + V = 0 3 2 V0 , R1 , R2 e R3 sono grandezze note; le incognite sono V1 , V2 , V3 , I0 , I1 , I2 e I3 . 3 RISOLUZIONE DEI CIRCUITI; SERIE E PARALLELO 3 Il sistema può essere risolto con un metodo qualsiasi. Ad esempio, si possono sostituire le V date dalla legge di Ohm, ottenendo un sistema di quattro equazioni nelle quattro incognite I0 , I1 , I2 , I3 : −I0 − I1 = 0 I1 − I2 − I3 = 0 (3.8) −R1 I1 − R2 I2 + V0 = 0 −R3 I3 + R2 I2 = 0 L’incognita I0 compare solo nella prima equazione del sistema (3.8); quindi è possibile risolvere separatamente il sistema costituito dalle restanti tre equazioni in tre incognite: I1 − I2 − I3 = 0 −R1 I1 − R2 I2 + V0 = 0 (3.9) −R3 I3 + R2 I2 = 0 Ricavando dalla prima equazione I3 = I1 − I2 e sostituendo nelle altre due, ci si riduce al sistema di due equazioni in due incognite: −R1 I1 − R2 I2 + V0 = 0 (3.10) −R3 I1 + R3 I2 + R2 I2 = 0 Dall’ultima equazione del sistema (3.10) si ricava: I1 = I2 R3 + R2 , R3 (3.11) che sostituita nell’altra equazione dà: −R1 R3 + R2 I2 − R2 I2 + V0 = 0, R3 (3.12) e da quest’ultima si ricava la soluzione per l’incognita I2 : I2 = V0 R3 +R2 R1 R3 + R2 = 4.5 V 1.2 kΩ 1.5 kΩ+1 kΩ 1.5 kΩ + 1 kΩ = 4.5 V = 1.5 mA. 3 kΩ (3.13) Dopo avere ricavato I2 , si procede a ritroso, ricavando le altre incognite dalle equazioni del sistema: I1 = I2 1.5 kΩ + 1 kΩ R3 + R2 = 2.5 mA, = 1.5 mA R3 1.5 kΩ I3 = I1 − I2 = 2.5 mA − 1.5 mA = 1 mA, (3.14) (3.15) e cosı̀ via, calcolando anche l’ultima corrente (I0 ) dall’equazione −I0 − I1 = 0, ed infine le tre tensioni (V1 , V2 , V3 ) con la legge di Ohm. Per evitare errori di calcolo, è meglio ricavare la soluzione in forma simbolica, e solo alla fine sostituire i valori numerici. La soluzione completa del sistema è: V1 = 3 V; V2 = 1.5 V; V3 = 1.5 V; I1 = 2.5 mA; I2 = 1.5 mA; I3 = 1 mA; I0 = –2.5 mA. I programmi di simulazione circuitale, come SPICE, che sarà descritto in seguito, risolvono i circuiti ricavando dalla descrizione del circuito un sistema di equazioni, di cui trovano la soluzione mediante algoritmi numerici. 3 RISOLUZIONE DEI CIRCUITI; SERIE E PARALLELO 4 3.2 Potenza assorbita e erogata Si verifica immediatamente che: • per i componenti passivi (resistori) i segni della tensione e della corrente sono concordi e la potenza è positiva (cioè assorbita); • per il generatore i segni di tensione e corrente sono discordi e la potenza è negativa (cioè erogata). Possiamo calcolare facilmente la potenza dissipata da ogni resistore e la potenza erogata dal generatore. Otteniamo per la resistenza R1 : P1 = V1 I1 = 7.5 mW; per la resistenza R2 : P2 = V2 I2 = 2.25 mW; per la resistenza R3 : P3 = V3 I3 = 1.5 mW; e per il generatore V0 : P0 = V0 I0 = –11.25 mW. Si nota che la potenza erogata dal generatore è pari alla somma delle potenze assorbite dalle resistenze: infatti la somma algebrica delle potenze è: P1 + P2 + P3 + P0 = 7.5 mW + 2.25 mW + 1.5 mW − 11.25 mW = 0. (3.16) 3.3 Teorema di Tellegen Il risultato della (3.16) può essere generalizzato. Infatti, in qualsiasi circuito, la somma algebrica delle potenze di tutti i bipoli è nulla. Infatti, poiché in un sistema fisico isolato l’energia totale si conserva, W = costante (3.17) dW = 0. dt (3.18) e P= Quindi la potenza totale è sempre nulla. Questo risultato, noto come teorema di Tellegen, si scrive di solito nella forma: X X P= Pk = Vk Ik = 0 k (3.19) k dove la sommatoria è estesa a tutti i bipoli del circuito. 3.4 Serie di bipoli Due bipoli sono detti in serie quando sono percorsi dalla stessa corrente. Ad esempio, i bipoli 1 e 2 della Fig. 3.3 sono in serie, perché dalla legge di Kirchhoff al nodo intermedio si vede che: I1 = I2 . (3.20) + 1 I1 - + 2 I2 Figura 3.3: Bipoli in serie. 3 RISOLUZIONE DEI CIRCUITI; SERIE E PARALLELO 5 Applicando la legge di Kirchhoff per le tensioni, si ricava che per due bipoli in serie la tensione complessiva ai capi è data dalla somma delle tensioni di ciascun bipolo (Fig. 3.4): V = V1 + V2 (3.21) V I1 + I2 A 1 V1 - 2 V2 + - Figura 3.4: Tensione ai capi di due bipoli in serie. 3.5 Parallelo di bipoli Due bipoli sono detti in parallelo quando hanno la stessa tensione ai capi. Ad esempio, i bipoli 1 e 2 della Fig. 3.5 sono in parallelo, perché dalla legge di Kirchhoff all’unica maglia si vede che: V1 = V2 . (3.22) V1 + + 1 V2 2 - - Figura 3.5: Bipoli in parallelo. Applicando la legge di Kirchhoff per le correnti al nodo A di Fig. 3.6, si ricava che per due bipoli in parallelo la corrente complessiva è data dalla somma delle correnti di ciascun bipolo: I = I1 + I2 (3.23) 3.6 Resistenze in serie Due resistenze in serie (Fig. 3.7) sono percorse dalla stessa corrente: I1 = I2 = I. La tensione ai capi della serie è: V = V1 + V2 = R1 I + R2 I = (R1 + R2 )I, (3.24) 3 RISOLUZIONE DEI CIRCUITI; SERIE E PARALLELO 6 I A + + 1 V1 I1 I2 2 - V2 - B Figura 3.6: Corrente in due bipoli in parallelo. + + V - V1 R1 I + V2 R2 Figura 3.7: Resistenze in serie. e quindi si vede che la serie delle due resistenze R1 e R2 è equivalente ad una sola resistenza di valore: R = R1 + R2 . (3.25) Le resistenze in serie si sommano, e questo risultato vale per un numero qualsiasi di resistenze in serie: R = R1 + R2 + R3 + . . . (3.26) 3.7 Resistenze in parallelo Due resistenze in parallelo (Fig. 3.8) hanno la stessa tensione ai capi: V1 = V2 = V. + + I R1 - I1 R2 - I2 Figura 3.8: Resistenze in parallelo. La corrente totale nel parallelo è: I = I1 + I2 = 1 1 V + V = G1 V + G2 V = (G1 + G2 )V, R1 R2 (3.27) 3 RISOLUZIONE DEI CIRCUITI; SERIE E PARALLELO 7 e quindi si vede che le due resistenze R1 e R2 in parallelo sono equivalenti ad una conduttanza uguale alla somma delle conduttanze: G = G1 + G2 . (3.28) Le conduttanze in parallelo si sommano, e questo risultato vale per un numero qualsiasi di conduttanze in parallelo: G = G1 + G2 + G3 + . . . (3.29) Dalla (3.28) si può ricavare la resistenza: R= 1 1 = = G G1 + G2 1 R1 1 = + R12 1 R1 +R2 R1 R2 = R1 R2 = R1 //R2 . R1 + R2 (3.30) Il simbolo // indica il parallelo di due resistenze. Attenzione: il risultato (3.30) non è generalizzabile nel caso di più di due resistenze in parallelo! Infatti, nel caso di tre resistenze in parallelo, la conduttanza totale è: G = G1 + G2 + G3 . (3.31) La resistenza equivalente si calcola come: R= 1 1 = = G G1 + G2 + G3 1 1 R1 + 1 R2 e non + 1 R3 = 1 R1 R2 +R1 R3 +R2 R3 R1 R2 R3 = R1 R2 R3 R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 R1 R2 R3 R1 + R2 + R3 (3.32) (3.33) che dimensionalmente non è una resistenza! 3.8 Generatori in serie e in parallelo Consideriamo due generatori di tensione in serie, come in Fig. 3.9. Dalla (3.21), si ricava che la tensione ai capi della serie dei due generatori è V = V1 + V2 . Il risultato ottenuto può essere generalizzato ad un numero qualsiasi di generatori di tensione in serie: la tensione risultante è pari alla somma delle tensioni di tutti i generatori. + V1 + V2 Figura 3.9: Generatori di tensione in serie. Se invece consideriamo due generatori di corrente in serie, come nella Fig. 3.10, e applichiamo la KCL al nodo tra i due generatori, ricaviamo che dev’essere I1 = I2 . Quindi, due generatori di corrente 3 RISOLUZIONE DEI CIRCUITI; SERIE E PARALLELO 8 I1 I2 Figura 3.10: Generatori di corrente in serie. I1 I2 Figura 3.11: Generatori di corrente in parallelo. possono essere collegati in serie solo se erogano la stessa corrente; non è possibile collegare in serie generatori di corrente che erogano correnti diverse. Due generatori di corrente possono essere collegati in parallelo, come nella Fig. 3.11. Dalla (3.23), ricaviamo che la corrente totale è I = I1 + I2 . Quindi, la corrente risultante da più generatori di corrente in parallelo è la somma delle correnti erogate dai generatori. + V1 + V2 Figura 3.12: Generatori di tensione in parallelo. Infine, consideriamo due generatori di tensione collegati in parallelo, come nella Fig. 3.12. Applicando la KVL alla maglia dei due generatori, si ricava V1 = V2 . Quindi, due generatori di tensione possono essere collegati in parallelo solo se le loro tensioni sono uguali; non è possibile collegare in parallelo generatori di tensione che erogano tensioni diverse. Si noti che il collegamento della Fig. 3.12 viene effettuato quando si collegano le batterie di due automobili. È possibile collegare in parallelo le batterie delle automobili solo perché hanno tutte la stessa tensione ai capi (12 V). 3 RISOLUZIONE DEI CIRCUITI; SERIE E PARALLELO 9 3.9 Dualità Osservando le leggi fondamentali che descrivono il comportamento dei circuiti elettrici, si nota che molte coppie di formule sono simili. Per ogni circuito, è possibile ricavare il circuito duale, ottenuto tramite le sostituzioni indicate nella Tabella 3.1. Il circuito duale è descritto da un sistema di equazioni numericamente identico a quello del circuito di partenza. Tabella 3.1: Dualità nei circuiti elettrici corrente generatore di corrente conduttanza nodo circuito aperto I = GV KCL parallelo stella capacità ←→ ←→ ←→ ←→ ←→ ←→ ←→ ←→ ←→ ←→ tensione generatore di tensione resistenza maglia cortocircuito V = RI KVL serie triangolo induttanza 3.10 Problemi risolti Problema 3.1. Risolvere il circuito del paragrafo 3.1 utilizzando i concetti di serie e parallelo di resistenze. V0 = 4.5 V; R1 = 1.2 kΩ; R2 = 1 kΩ; R3 = 1.5 kΩ. R1 + V0 R2 - R3 Figura 3.13: Problema 3.1. Soluzione. Nella Fig. 3.13, osserviamo che le due resistenze R2 e R3 sono in parallelo; quindi possiamo sostituirle con una resistenza R23 data da: R23 = R2 //R3 = R2 R3 1 kΩ · 1.5 kΩ = = 0.6 kΩ, R2 + R3 1 kΩ + 1.5 kΩ ottenendo il circuito illustrato in Fig. 3.14. Ora possiamo sostituire le due resistenze R1 e R23 con una resistenza data dalla serie delle due: R123 = R1 + R23 = 1.2 kΩ + 0.6 kΩ = 1.8 kΩ, ottenendo il circuito illustrato in Fig. 3.15. Il calcolo della corrente I per il circuito della Fig. 3.15 è immediato: I= 4.5 V V0 = = 2.5 mA. R123 1.8 kΩ 3 RISOLUZIONE DEI CIRCUITI; SERIE E PARALLELO 10 R1 + R23 V0 - Figura 3.14: Circuito equivalente a quello della Fig. 3.13. + I R123 V0 - Figura 3.15: Circuito equivalente a quello della Fig. 3.14. La corrente I è anche la corrente nella resistenza R1 della Fig. 3.14, quindi si può calcolare la tensione V1 : V1 = R1 I = 1.2 kΩ · 2.5 mA = 3 V A questo punto si può calcolare la tensione ai capi del parallelo di resistenze R23 nella Fig. 3.14, usando la KVL: V2 = V3 = V0 − V1 = 1.5 V. Ora che sono note tutte le tensioni ai capi dei bipoli, si ritorna alla Fig. 3.13 e si trovano le correnti in R2 , in R3 e nel generatore; questi ultimi semplici passaggi sono lasciati come esercizio al lettore. 3.11 Altri problemi Problema 3.2. I resistori comunemente disponibili per la realizzazione di circuiti su scheda hanno i seguenti valori: 10 Ω, 12 Ω, 15 Ω, 18 Ω, 22 Ω, 27 Ω, 33 Ω, 39 Ω, 47 Ω, 56 Ω, 68 Ω, 82 Ω, 100 Ω, 120 Ω, 150 Ω, . . . , e cosı̀ via fino a 10 MΩ. Disegnare lo schema di una combinazione di resistori che presenti una resistenza pari a : A. 50 Ω; B. 75 Ω. Problema 3.3. Quattro pile da 1.5 V sono collegate in serie. Calcolare la tensione risultante ai capi della serie. * * *
