Lezioni di Logica Lineare
a cura di
Elena Maringelli
Dipartimento di Informatica, Sistemistica e Comunicazione (DISCo)
Università degli Studi di Milano-Bicocca
Milano, 26.VI.2006
Logica Lineare: Un’introduzione….
Una modalità di introduzione sintattica della logica lineare
la presenta come un raffinamento della logica classica
(LK) attuato attraverso 2 passaggi:
a) L’eliminazione delle regole strutturali(!?)
b) Recupero delle medesime in contesti particolari
attraverso l’introduzione di nuovi connettivi;
…..CONCLUSIONE
Ottenimento di una logica ugualmente potente ma
estremamente più ricca..
….ma facciamo un passo indietro
Calcolo dei sequenti per la logica classica del I ordine*
Definizione di formula di un linguaggio formale del primo ordine L :
-ogni costante o-aria di l è una formula atomica di L
- Se Pn è una costante predicativa n-aria di Le t1,…tn sono termini di L allora Pn(t1,…tn) è una formula
atomica di L
Definizione di sequente:
Un sequente di un linguaggio formale del primo ordine L è una parola Γ⇒∆ dove Γ e ∆ sono successioni
finite di formule di L
Dalla definizione dell’insieme dei sequenti di un linguaggio formale** del I ordine che sono leggi logiche
(ossia formule vere in tutti i mondi possibili i e per ogni realizzione classica):
Γ⇒∆|=Γ⇒∆
Si ottiene un calcolo dei sequenti per la logica classica del I ordine attraverso:
• definizione induttiva un insieme di sequenti chiamato insieme dei teoremi logici classici
•Dimostrazione induttiva dell’uguaglianza estensionale** dell’insieme dei teoremi logici classici all’insieme
delle leggi logiche classiche
(ogni sequente è legge logica classica se la sua traduzione come formula è legge logica classica)
* Si da come noto il calcolo delle formule per la logica classica del I ordine, definizione dell’insieme dei
teoremi logici classici,Th di validità,Th di completezza.
** l’equivalenza estensionale si riferisce al valore di verità di una formula i.e. VERO / FALSO
Calcolo dei sequenti per la logica classica del I ordine
La caratteristica del calcolo è la naturalità, che emerge attraverso la
lettura dei sequenti non come formule (ossia come formalizzazione di
enunciati) ma come sequenti ossia come relazioni tra proposizioni.
Quindi mentre leggere il sequente Γ⇒∆ come formula equivale a leggerlo
come
∧(Γ) →∨(∆)
“ se tutte le premesse in Γ sono vere allora almeno una tra le conseguenze
di ∆ è vera”
Leggerlo come sequente significa esprimere una relazione dinamica di
deducibilità tra le proposizioni significate dalla successione Γ e le
proposizioni significate dalla successione ∆
“ c’è una deduzione che va dalle assunzioni Γ alle conclusioni ∆”
Calcolo dei sequenti per la logica classica del I ordine
Costruzione del calcolo dei sequenti di Gentzen per la logica del I ordine
•Assiomi e regole di calcolo per la LK
Sia L un linguaggio formale de I ordine :
Gli assiomi del calcolo per LK sono tutti i sequenti della forma
A⇒A
Le regole del calcolo dei sequenti pel LK sono ripartite in due gruppi principali
1) Regole Strutturali:
Regola dello Scambio (EL-ER)
Regola di attenuazione (Weakening Rules) (WL-WR)
Regola di contrazione (CR-CL)
2) Regole Logiche:
Regola del Taglio (Cut rule)
Regole su ¬ (L-R)
Regole su ∧ (L-R)
Regole su ∨ (L-R)
Regole su → (L-R)
Regole su ∀ (L-R)
Regole su ∃ (L-R)
Calcolo dei sequenti per la logica classica del I ordine
1) Regole Strutturali:
Scambio ad una premessa
Γ⇒∆¹,A,B,∆² (E,R) Γ¹,A,B,Γ²⇒∆ (E,L)
Γ⇒∆¹,B,A,∆²
Γ¹,B, A,Γ²⇒∆
non importa l’ordine delle assunzioni (inputs) e delle conclusioni(outputs), tale regola non sempre
accettabile in qualsiasi contesto conduce alla seguente lettura:
“ usando davvero le assunzioni Γ in un qualche ordine, si ottengono davvero le conclusioni ∆ in un
qualche ordine”
Weakening Rules o Attenuazione (W,L-W,R) ad una premessa
Γ⇒∆ (W,R)
Γ⇒∆
(W,L)
Γ⇒∆,A
A, Γ ⇒∆
Regola che permette di aggiungere ad una deduzione assunzioni o conclusioni non realmente
utilizzate
“ usando 0 volte o una volta ciascuna delle assunzioni Γ nell’ordine dato , si ottiene 0 volte o una
volta ciascuna delle conclusioni ∆ nell’ordine dato”
Regola di contrazione (C,R-C,L) ad una premessa
Γ⇒∆,A,A (C,R)
A,A,Γ⇒∆ (C,L)
Γ⇒∆,A
A, Γ ⇒∆
Non Importa quante volte un’assunzione o una conclusione è stata effettivamete utilizzata in una
deduzione
“usando una o più volte ciascuna delle assunzioni Γ nell’ordine dato, si ottiene una o più volte
ciascuna delle conclusioni ∆ nell’ordine dato”
Calcolo dei sequenti per la logica classica del I ordine
Regola del Taglio (Cut Rule)
Cut: regola a due premesse:
Γ¹⇒∆¹,A
A,Γ²⇒∆² (CUT)
Γ¹ ,Γ² ⇒ ∆¹,∆²
La regola del taglio può essere vista come una regola di comunicazione
tre due agenti o meglio tra input ed out put,
Se ho un programma che produce un ouput di tipo A disponendo di un
input Γ e se ho un programma che disponendo di un input A produce
un outpt ∆, allora sono in grado di ottenere un programma che produce
un output ∆ da un input Γ facendo comunicare output A con input A
Esempio: Se ho un programma che produce un’arancia dopo aver
introdotto 1 € e un programma che dall’introduzione di un’arancia
produce una spremuta, avrò un programma che introducendo 1€
produrrà una spremuta semplicemente combinando i due programmi
Calcolo dei sequenti per la logica classica del I ordine
1)Regole Logiche:
Le regole a destra di ciascun simbolo di connettivo e di quantificatore ci dicono come arrivare ad
una deduzione fra le cui conclusioni vi sia una formula il cui simbolo logico principale è quel
simbolo di connettivo o di quantificatore.
Le regole a sinistra di ciascun simbolo di connettivo e di quantificatore ci dicono come arrivare ad
una deduzione fra le cui assunzioni vi sia una formula il cui simbolo logico principale è quel simbolo
di connettivo o di quantificatore.
Regola su ¬
A, Γ⇒∆ (¬,R)
Γ⇒∆,A (¬,L)
Γ⇒∆, ¬ A
¬A, Γ ⇒∆
“Una regola che permette di ottenere ¬A come conclusione è quella di esibire A come assunzione”
Un caso partcolare è quello dell’assioma A ⇒A che si ottiene dal sequente ⇒ A,¬A ossia esiste
sempre una deduzione senza premesse che ha come conclusione A ∨ ¬A (Principio del Terzo
escluso) oppure se letto come A,¬A ⇒ esiste sempre una deduzione che da A ∧ ¬A porta
all’assurdo (Principio di non Contraddizione)
Regola sui connettivi logici
Le regole sui connettvi logici possono essere formulate in due modalità che chiameremo
Moltiplicativa e Additiva, si noti he le due formlazioni risulteranno equivalenti solo grazie alla
presenza delle regole strutturali.
Questa modalità di presetazione del calcolo ha la finalità di dimostrare come il significato delle
regole valide per medesimo connettivo nasconde un processo o programma che risulta equivalente
solo se in presenza di alcune rilevanti premesse di struttura.
Calcolo dei sequenti per la logica classica del I ordine
Regola su ∧ (moltiplicativa)
Γ¹⇒∆¹,A
Γ²⇒∆²,B (∧,m,R)
Γ¹ ,Γ² ⇒ ∆¹,A ∧B,∆²
A,B,Γ ⇒ ∆ (∧,m,L)
A ∧B,Γ ⇒ ∆
La regola (∧,m,R) può essere letta come una regola di cooperazine tra due agenti; ossia se
pagando 0,90 € ricevo un cappuccino e se pagando 1,2€ ricevo una pasta allora pagando 0.9€ e
1,2€ riceverò una cappuccino ed una pasta al bar
Regola su ∧ (additiva)
Γ⇒∆,A
Γ⇒∆,B (∧,a,R)
Γ ⇒ ∆,A ∧B
A,Γ ⇒ ∆ (∧,a,L1)
A ∧B,Γ ⇒ ∆
B,Γ ⇒ ∆ (∧,a,L2)
A ∧B,Γ ⇒ ∆
La regola (∧,a,R) attesta l’esistenza di una deduzione Γ da cui si può ottenere A e B in due
processi distinti qiundi si può ricavare una deduzione Γ da cui si può ottenere sia A che B ; ad
esempio “se pagando 0,9 € ricevo un cappuccino e se pagando 0,9€ ricevo una latte macchiato
allora pagando 0.9€ potrò ricevere un cappuccino o un latte macchiato ma non entrambi
La regola (∧,m,L) permette di usare sia la verità di A che di B mentre (∧,a,L1), (∧,a,L2) permettono
di utilizzare la verità di una delle due.
Calcolo dei sequenti per la logica classica del I ordine
Regola su ∨ (moltiplicativa)
A,Γ¹⇒∆¹
B,Γ²⇒∆² (∨,m,R)
A ∨ B, Γ¹ ,Γ² ⇒ ∆¹,∆²
Γ ⇒ ∆,A,B, (∨, m,L)
Γ ⇒ ∆ A∨B
“…Cooperazione tra le assunzioni”
Regola su ∨ (additiva)
A,Γ⇒∆ B,Γ⇒∆ (∨,a,R)
A ∨B,Γ ⇒ ∆,
Γ ⇒ ∆,A (∨,a,L1)
Γ ⇒ ∆,A ∨B
B,Γ ⇒ ∆ (∨,a,L2)
Γ ⇒ ∆,A ∨B
Calcolo dei sequenti per la logica classica del I ordine
Regola su → (moltiplicativa)
Γ¹⇒∆¹,A B,Γ²⇒∆² (→,m,L)
A →B, Γ¹ ,Γ² ⇒ ∆¹,∆²
A,Γ ⇒ ∆,B (→,m,R)
Γ ⇒ ∆, A →B
La regola (→,m,L) è l’applicazione del Modus Ponens; ossia per ottenere (A→B) come
assunzione si mostrano due deduzioni una con A come conclusione e una con B come
assunzione.
Regola su → (additiva)
Γ⇒∆,A
Γ⇒∆,B ( →,a,L)
A →B, Γ ⇒ ∆
A,Γ ⇒ ∆ (→,a,R1)
Γ⇒∆, A →B
Γ ⇒ ∆,B (→,a,R2)
Γ⇒∆, A →B
La regola (→,a,R1) dice che: da una deduzione in cui A è un’assunzione si deduce che
A →B è una conclusione, quindi A → B è vera sse A è falsa, ossia da A si deduce il
falso.
La regola (→,a,R2) dice che: da una deduzione in cui B è un conclusione si deduce che
A →B è una conclusione, B è vera poiché da nulla si deduce B.
Calcolo dei sequenti per la logica classica del I ordine
Regola su∀
∀xA(conclusione)
Γ ⇒ ∆,A
Γ ⇒ ∆, ∀x A
(purchè x non sia una variabile libera in Γ,A)
Per mostrare una deduzione in cui Ax è una conclusione si mostra la
verità di A per una x qualunque priva di ipotesi, ossia x non deve
comparire libera in A
Regola su∀
∀xA(assunzione)
A[x/t],Γ ⇒ ∆
∀x A(x)Γ ⇒ ∆
“Dictum de omni”= se si ha una deduzione in cui A(x/t) è un’assunzione
allora si può ottenere una deduzione in cui ∀xA è un ‘assunzione
Calcolo dei sequenti per la logica classica del I ordine
Regola su ∃R (conclusione)
Γ ⇒ ∆,A(x/t) (purchè x non sia una variabile libera in Γ,A)
Γ ⇒ ∆,∃x A(x)
Per dimostrare x gode di A la maniera più naturale è quella
di dimostrare che un certo individuo x gode di A
Regola su ∃L(assunzione)
A,Γ ⇒ ∆
∃x A,Γ ⇒ ∆
Calcolo dei sequenti per la logica classica del I ordine
Formulazione moltiplicativa e additiva
delle regole dei connettivi logici
Le
regole delle due formulazioni additiva e
moltiplicativa sono derivabili le une dalle altre solo
mediante l’introduzione delle regole strutturali, infatti
“ogni dimostrazione di un sequente S da un insieme
M di assunzioni nella formulazione moltiplicativa può
essere trasformata in una dimostrazione S da M nella
formulazione additiva”
N.B. entrambe le formulazioni permettono di ottenere
tutte e sole le leggi classiche
Esempi di dimostrazione nel calcoli classico
Dimostrazione del Sequente : ¬(A ∧B)⇒ ¬A∨¬B
Formulazione Moltiplicativa
A ⇒A
B ⇒B
⇒ ¬A,A ⇒ ¬B,B
⇒¬A,¬B,A ∧B
⇒¬A∨¬B,A ∧B
¬(A ∧B)⇒ ¬A∨¬B
FormulazioneAdditiva
A ⇒A B ⇒B
⇒ ¬A,A ⇒¬B,B
⇒¬A∨¬B,A ⇒¬A∨¬B,B
⇒ ¬A∨¬B,A ∧B
¬(A ∧B)⇒¬A∨¬B
Si noti l’equivalenza delle due formulazioni
Logica Lineare:Il calcolo
La concezione lineare del calcolo dei sequenti è compatibile sia con la concezione dei
sequenti come costituti da un numero finito di assunzioni e di conclusioni, sia con la
concezione intuizionista che prevede un’unica formula a destra del simbolo di sequente*
La caratteristica della logica intuizionista che ne fa una logica costruttiva** è quella di
essere alla base della corrispondenza Curry Howard fra la stessa logica intuizionista e il λ
calcolo tipato (alla base della programmazione funzionale), tale caratteristica per transitività
risulta valida anche in un contesto lineare con un significato operazionale più forte:
•Controllare l’esecuzione dil un programma
•Misurare le risorse di tempo e spazio necessarie per la sua esecuzione
Infatti assegnando tipi di oggetti alle formule A1 ,….,Am,B del linguaggio della logica
intuizionista , un sequente A1 ,….,A m⇒ B viene letto come:
“esiste un programma che ricevuti come input m oggetti x1,….xm dove x1 è del tipo
corrispondente ad A1 e xm è del tipo corrispondente a Am produce come output un oggetto
del tipo corrispondente a B”
Ogni sequente dimostrabile corrisponde dunque all’esistenza di un programma logicamente
corretto
*Si danno come note le carattestiche fondamentali della logica intuizionista e si rimanda ad
altra sede la trattazione in dettaglio del suo calcolo dei sequenti
“…logica costruttiva**…”
La logica lineare eredita dal parallelismo con la logica
intuizionista la caratteristica di costruttività:
“Per la logica intuizionista il problema era quello di creare
una nuova matematica che abbandonasse i giochi linguistici
privi di contenuti intuitivi naturalmente normativi
La logica classica è vista come un’estrapolazione linguistica
di situazioni specifiche ristretta ad ambiti specifici.
Grazie alla logica intuizionista si è arrivati a chiarire il
contenuto costruttivo delle singole teorie matematiche”
(es ripensamento del 3°escluso valido intuitivamente nei soli
domini finti..)
Logica Lineare:Il calcolo
Si noti che anche la logica intuizionista è ottenuta dalla logica classica
mediante una limitazione nel numero delle formule a destra del simbolo
di sequente, tale limitazione non è altro che la limitazione delle regole
strutturali a destra, quindi si può affermare che anche la logica
intuizionista nasce da una riflessione sull’uso delle regole strutturali.
La totale eliminazione delle regole di contrazione e di weakening senza
porre però limite alcuno al numero delle formule a destra del simbolo di
sequente è alla base della logica lineare, che qundi sarà in grado di
trattare programmi che siano eseguiti in parallelo da più agenti che
cooperano tra loro
L’eliminazione delle regole di contrazione e di indebolimento ha come
effetto immediato quello di non rendere più equivalenti le due
formulazioni del calcolo dei sequenti precedentemente esposte, dando
vita a connettivi logici differenti…. (Splitting)
Logica Lineare:I connettivi lineari”
Introduzione delle nuove costanti logiche e dei
nuovi connettivi:
Costanti logiche moltiplicative 1,⊥
Costanti logiche additive Τ,0
Congiunzione moltiplicativa ⊗ (tensore)
Congiunzione Additiva & (con)
Disgiunzione Moltiplicativa ℘(par)
Disgiunzione Additiva ⊕
Implicazione Moltiplicativa
Implicazione Additiva Ξ
Calcolo dei sequenti per la logica classica del I ordine
Definizione: Sia L + il linguaggio esteso per la logica formale classica nel frammento senza esponenziali
L’alfabeto di L + è costituito dai seguenti simboli:
Lettere Proposizionali :P,Q,R,…
Costanti logiche moltiplicative e additive 1,⊥ e Τ,0
Connettivo unario ⊥
Connettivi moltiplicativi e additivi ⊗,&,℘,⊕,↔,Ξ
Simbolo di sequente ⇒ e simboli ausiliari
Data per nota la definizione induttiva delle formule si definiscono le regole del calcolo:
Assioma
A ⇒A
Cut
Γ¹⇒∆¹,A
A,Γ²⇒∆² (CUT)
Γ¹ ,Γ² ⇒ ∆¹,∆²
Regola su ⊥
A, Γ⇒∆ (⊥,R)
Γ⇒∆, ⊥ A
Γ⇒∆,A (⊥,L)
⊥A, Γ ⇒∆
Calcolo dei sequenti per la logica classica del I ordine
Regola su ⊗
Γ¹⇒∆¹,A
Γ²⇒∆²,B (∧,m,R)
Γ¹ ,Γ² ⇒ ∆¹,A ⊗ B,∆²
A,B,Γ ⇒ ∆ (∧,m,L)
A ⊗ B,Γ ⇒ ∆
Regola su &
Γ⇒∆,A
Γ⇒∆,B (&,R)
Γ ⇒ ∆,A&B
A,Γ ⇒ ∆ (&,L1) B,Γ ⇒ ∆ (&,L2)
A&B,Γ⇒ ∆
A&B,Γ ⇒ ∆
Regola su ℘
A,Γ¹⇒∆¹
B,Γ²⇒∆² (℘,m,R)
A ℘ B, Γ¹ ,Γ² ⇒ ∆¹,∆²
Regola su ⊕
A,Γ⇒∆ B,Γ⇒∆ (∨,a,R)
A ∨B,Γ ⇒ ∆,
Γ ⇒ ∆,A,B, (℘, m,L)
Γ ⇒ ∆ A℘B
Γ ⇒ ∆,A (∨,a,L1)
Γ ⇒ ∆,A ∨B
B,Γ ⇒ ∆ (∨,a,L2)
Γ ⇒ ∆,A ∨B
Calcolo dei sequenti per la logica classica del I ordine
Regola su ↔
Γ¹⇒∆¹,A B,Γ²⇒∆² (↔,L)
A ↔ B, Γ¹ ,Γ² ⇒ ∆¹,∆²
A,Γ ⇒ ∆,B (↔R)
Γ ⇒ ∆, A ↔ B
Regola su Ξ
Γ⇒∆,A
Γ⇒∆,B(Ξ,L) A,Γ ⇒ ∆ (Ξ,R1) Γ ⇒ ∆,B (Ξ,R2)
A Ξ B, Γ ⇒ ∆
Γ⇒∆, A Ξ B
Γ⇒∆, A →B
Calcolo dei sequenti per la logica classica del I ordine
La C-LLK- pur dimostrandosi più attenta all’uso delle risorse, rimane una logica più
debole rispetto alla logica proposizionale classica LK.
Si attua l’introduzione dei connetivi esponenziali completando l’intero quadro della
logica lineare C-LLK:
“!”…” ma certo”…
“?”…”perché no..”
!A,Γ⇒∆ usando un n°finito di volte A e Γ si otiene ∆
Γ⇒?A,∆ usando Γsi ottiene un n°finito di volte A e ∆
Γ⇒∆ (!,W)
!A,Γ⇒∆
!A,!A,Γ⇒∆ (!C) A,Γ⇒∆(!,L)
!A,Γ⇒∆
!A, Γ ⇒∆
Γ⇒∆ (?,W) Γ⇒∆,?A,?A,(?,C)
Γ⇒∆,?A
Γ⇒∆,?A
!Γ⇒?∆,A (!R)
Γ ⇒∆,A
Γ⇒∆,A(?,L) A,!Γ⇒?∆ (?R)
Γ⇒∆,?A
?A,!Γ ⇒?∆
Esempi di dimostrazione nel calcoli classico
Dimostrazione del Sequente : ¬(A ∧B)⇒ ¬A∨¬B
Formulazione Moltiplicativa
A ⇒A
B ⇒B
⇒ ¬A,A ⇒ ¬B,B
⇒¬A,¬B,A ∧B
⇒¬A∨¬B,A ∧B
¬(A ∧B)⇒ ¬A∨¬B
FormulazioneAdditiva
A ⇒A B ⇒B
⇒ ¬A,A ⇒¬B,B
⇒¬A∨¬B,A ⇒¬A∨¬B,B
⇒ ¬A∨¬B,A ∧B
¬(A ∧B)⇒¬A∨¬B
Si noti l’equivalenza delle due formulazioni
Tale equivalenza come si è visto decade al venir meno
delle regole strutturali
Esempi di dimostrazione nei calcoli presentati
Il Sequente classico ¬(A ∧B)⇒ ¬A∨¬B nel Calcolo
lineare si sdoppia in:
(A ⊗B)⊥⇒ A⊥℘B⊥
(A⊕B)⊥⇒ A⊥&B⊥
Dimostrazione dei Sequenti
A ⇒A
B ⇒B
A ⇒A
B ⇒B
⇒A,A⊥ ⇒B,B ⊥
⇒A, A⊥ ⇒B,B⊥
⇒ A⊥,B⊥,A ⊗B
⇒ A⊥&B⊥,A ⇒ A⊥&B⊥,B
⇒A⊥℘B⊥,A ⊗B
⇒ A⊥ ⊕ B⊥,A &B
(A⊗B) ⊥⇒A⊥℘B
(A &B) ⊥ ⇒ A⊥ ⊕ B⊥
Logica Lineare: Geometrizzazione
delle dimostrazioni
La possibilità di rappresentare le dimostrazioni logiche formali
mediante alberi era il metodo usato sia da Hilbert che da Getzen;
Per Hilbert però la rappresentazione non corrispondeva ad una
reale dimostrazione presente nel calcolo, poichè la scelta degli
assiomi e delle regole era fatta in maniera sostanzialmente
arbitraria e le dimostrazioni formali non avevano lo scopo di
rappresentare un processo dimostrativo naturale.
Gentzen, invece, dimostrava tale parallelismo, ma ancora non
faceva seguire l’idea di ricercare una proprietà geometrica
intrinseca che permettesse di caratterizzare le strutture
dimostrative.
Logica Lineare: Geometrizzazione
delle dimostrazioni
Le figure geometriche che meglio si prestano ad illustrare le
dimostrazioni appartengono alla classe dei grafi e degli alberi.
Lo scopo principale della geometrizzazione delle dimostrazioni,
così come è stato intesa da Girard, è quello di trovare una
proprietà puramente geometrica, quindi non dipendente dalla
sintassi, che è propria di tutti e soli i grafi provenienti da
dimostrazioni in logica lineare.
Tale scoperta se da un lato assicura che data una struttura
geometrica, sussiste l’indiscutibile certezza della corrispondenza
tra essa e una dimostrazione proveniente dal calcolo dei sequenti,
dall’altro permette di giungere ad asserire che tali dimostrazioni,
perdendo la loro naura sintattica, risultino totalmente svincolate
dalla scelta di un particolare formalismo e dunque dai cavillosi
ostacoli ad esso associati ed appaiano come oggetti geometrici
aventi proprietà intrinseche.
Logica Lineare: Geometrizzazione
delle dimostrazioni
Una dimostrazione di C-LLK terminante con il sequente Γ ⇒∆
corrisponde come sappiamo all’esistenza di una deduzione che ha
assunzioni Γ e conclusioni ∆.
É ora possibile rappresentare una deduzione Γ ⇒∆ come un grafo
orientato:
DEF: Ua grafo orientato è un insieme di punti tale che ogni punto sia
etichettato da una formula del sequente, per cui i punti di partenza di un
legame sono le premesse e punti di arrivo sono le conclusioni….
Γ
∆
I punti iniziali a cui non arrivano le frecce sono le pemesse del legame Γ
e i punti finali da cui non partono legami sono le conclusioni del legame ∆
Geometrizzazione delle dimostrazioni
Per induzione sulla costruzione dei legami di una dimostrazione nel
calcolo dei sequenti per C-LLK si può associare ad ogni dimostrazione Γ
⇒∆ un grafo che rappresenta la deduzione dalle assunzioni Γ alle
conclusioni i cui legami saranno introdotti solo in presenza di regole
logiche.
(Si noti che una dimostrazione esaustiva si ottiene per il frammento
moltiplicativo, mentre vi sono diverse ipotesi per il frammento dei
connettivi additivi. )
Geometrizzazione delle dimostrazioni
Regole Basilari:
Si da per nota la dimostrazione dell’equivalenza del calcolo a due
parti con il calcolo ad una sola parte.
⇒A,A⊥ (id)
A⊥
A
⇒Γ,A ⇒∆, A⊥ (CUT)
⇒ Γ,∆
⇒Γ,A ⇒∆,B (⊗)
⇒Γ,∆,A⊗B
A⊥
A
Γ
∆
A
B
A⊗B
⇒Γ,∆,A,B (℘)
⇒Γ,∆,A℘B
Γ
∆
A
B
A℘B
Dalle strutture dimostrative……..
• Una struttura dimostrativa o Proof Structure di
LL* è un grafo costruito con i legami di LL tale
che ogni occorrenza di formula è la conclusione
di esattamente un legame e la premessa di al
massimo un legame.
• Se π è una proof structures di LL, la conclusione
di π sono le occorrenze delle formule in π che
non sono premesse di un legame.
*LL sta per Logica Lineare
…alle reti dimostrative
Criteri di correttezza
•Sia Π una Girard’s proof structures, Π è una rete
dimostrativa o Girard’s proof net di LL sse ogni
switching s in Π è un viaggio lungo in Π.
•L’equivalente criterio di correttezza in Vincent
Danos and Laurent Regnier cita che una proof
structure Π è un proof net sse ogni suo sottografo
è aciclico connesso. (Definizione di cammino)
