1) In un determinato volume V dello spazio vuoto è presente il

Compito05_07_2010.nb
1)
1
In un determinato volume V dello spazio vuoto è presente il campo elettrico
2 x y i+ Hx +y L j
CE = K ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
2 L ÅÅÅÅÅÅÅ
Hx2 +y
Ø
2
2
Ø
dove K è una costante di opportune dimensioni.
Si stabilisca se nel volume V è contenuta o meno carica elettrica con densità r, e in caso af-fermativo se ne determini l’
espressione in funzione delle coordinate (x , y) e della costante dielettrica del vuoto ¶ε0.
K
CE = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 82 x y, x2 + y2 , 0<;
2
Hx + y2 L
2xy
CE = K 9 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , 1, 0=;
Hx2 + y2 L
Div@CED
4 K x2 y
2Ky
- ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
Å + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
x2 + y2
Hx2 + y2 L2
Quindi la carica c'e' eccome nel volume !!!!!!!!!!!!!!
-a r
q
E
2)
Dato il potenziale elettrostatico
V = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
4pe
r
definito in una determinata regione dello spazio, dove q e α sono costanti positive e r è la di-stanza dall’origine O del
sistema di riferimento cartesiano assunto, determinare, utilizzando la legge di Gauss, le espressioni della carica elettrica
Q
a)
nell’origine O.
b)
a distanza r = ∞.
Soluzione:
a) per r<< a, V Ø ÅÅÅÅ
ÅqÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ1 , il potenziale di una carica puntiforme pari a q.
4pe r
b) Per r ض, q = 0.
Possiamo arrivarci anche utilizzando la legge di Gauss. Prima di tutto occorre trovare il campo elettrico
Ø
Ø
`.
‰-r a q
‰-r a q a
E = - “ V = H ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ L r
4 p r2 e
4pre
‰
q
‰
qa
2
-r a
Q(r) = e F(E) = e H ÅÅÅÅÅÅÅÅ
q H1 + r aL
4 p rÅ2ÅÅÅÅÅ
e + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
4 p rÅÅÅÅÅÅ
e L4p r = ‰
Per la legge di Gauss allora abbiamo che la carica
Ø
-r a
Di conseguenza
a) limrØ0 QHrL = q
b) limrض QHrL = 0
<< Graphics`Graphics`
-r a
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2
LogLogPlot@E-r H1 + rL, 8r, 10-4 , 100<, PlotRange Ø 810-4 , 1<D
1
0.1
0.01
0.001
0.0001
0.0001 0.001
0.01
0.1
1
10
100
Ü Graphics Ü
3) Un filo conduttore rettilineo indefinito è percorso da una corrente i. Determinare l’espressione del modulo della
forza esercitata su un elettrone (avente carica elettrica di mo-dulo e) che si trova in un punto a distanza a dal filo e si
muove con velocità di modulo v nei seguenti casi:
a)
l’elettrone si muove verso il filo e perpendicolarmente ad esso;
b)
l’elettrone si muove parallelamente al filo;
Soluzione:
Ø
Ø
Ø Ø
mi `
F = q v ä B , con B = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ r; q = -e.
2pr
Poniamo il filo parallelo all'asse Z:
Ø
Ø
mi
F = - e v ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ k
2pa
a)
Ø
mi `
F = - e v ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ r
2pa
b)
4) Un circuito (vedi figura) è costituito di due binari conduttori paralleli di resistività trascu-rabile, distanti L1 l’uno
dall’altro, collegati da un conduttore fisso, anch’esso di resistività trascurabile e da un’asta metallica di resistenza R,
che può scorrere senza attrito sui due binari. Il circuito è immerso in un campo di induzione magnetica variabile
B = HKtL k dove K è una costante positiva nota. Inizialmente l’asta si trova ad una distanza L2 dal conduttore fisso e si
muove con velocità V0 costante verso destra. Determinare:
a)
il verso di rotazione della corrente nel circuito;
b)
l’espressione dell’intensità della corrente che circola nel circuito;
c)
l’espressione del modulo F della forza che viene applicata all’asta per mantenerne costante la velocità.
Ø
Ø
Soluzione:
a) orario
dF
d
d
b) |V| = RI = » ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ » = ÅÅÅÅ
ÅÅ @ Kt L1 HL2 + v0 tLD = ÅÅÅÅ
ÅÅ HK L1 L2 t + K L1 v0 t2 L = K L1 L2 + 2 K L1 v0 t
dt
dt
dt
K L1 L2 +2 K L1 v0 t
da cui : I = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
R
Ø
Ø
Ø
Ø
t K L1 L2 +2 K L1 v0 t
c) Fext = - I L1 j ä B = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ L1 i
R
2
2
2
2
2
Soluzione:
a) orario
dF
d
d
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b) |V| = RI = » ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ » = ÅÅÅÅ
ÅÅ @ Kt L1 HL2 + v0 tLD = ÅÅÅÅ
ÅÅ HK L1 L2 t + K L1 v0 t2 L = K L1 L2 + 2 K L1 v0 t
dt
dt
dt
3
K L1 L2 +2 K L1 v0 t
da cui : I = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
R
Ø
Ø
Ø
Ø
t K L1 L2 +2 K L1 v0 t
c) Fext = - I L1 j ä B = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ L1 i
R
2
2
2
2
2
t
Vo
1
- ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
9 ÅÅÅÅÅÅÅ IE Rt C M, ÅÅÅÅ Vo 2 C= ê. 8Vo Ø 100, Rt Ø 120, t Ø 6 10-4 , C Ø 5 10-6 < êê N
Rt
2
80.306566, 0.025<
5) Si consideri un circuito composto da un condensatore di capacità C=5–F da una resistenza R=100Ω , da un generatore di resistenza interna r = 20Ω che fornisce una f.e.m. pari a ¶ε=100 V e da un interruttore T inizialmente aperto
posti in serie. Calcolare in regime quasi stazionario:
a)
il valore della corrente i che circola nel circuito dopo un tempo τ=6x10-4s
b)
il valore della corrente di spostamento is tra le facce del condensatore allo stesso istante
Calcolare inoltre per un tempo T' molto grande (T' → ∞)
c)
d)
l'energia immagazzinata nel condensatore C
l'energia totale dissipata per effetto Joule sulla resistenza R
Soluzione:
si ponga R + r = Rt
t
Vo
Rt ÅÅCÅÅ )
a) I = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ (E- ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Rt
Vo
dE
d s
d Q
d
d
Rt ÅÅCÅÅ M = ÅÅÅÅ
Rt ÅÅCÅÅ
b) e ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ S= e ÅÅÅÅ
ÅÅ ÅÅÅÅÅ S= ÅÅÅÅ
ÅÅ ÅÅÅÅÅ S = ÅÅÅÅ
ÅÅ Q = ÅÅÅÅ
ÅÅ C V0 I1 - E- ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅ E- ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ovvero è perfettamente la risposta a),
dt
dt e
dt S
dt
dt
Rt
visto che la corrente di spostamento è quella che carica il condensatore, cioè pari a quella che effettivamente circola nel
circuito.
Per T Ø ¶, la corrente di spostamento è nulla, non variando più la carica elettrica sull'armatura del condensatore.
t
t
c) energia accumulata nel condensatore = ÅÅÅÅ12 V0 2 C
V0
d) la potenza dissipata per effetto Joule: W = I 2 R = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ IE- ÅÅÅÅRCÅÅ Å M R;
R2
2
2t
R V0
1 V0
R
Rt ÅÅCÅÅ M „ t = ÅÅÅÅ
di conseguenza l'energia dissipata nel transitorio: Ÿ0 ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ IE- ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Rt C ÅÅÅÅ
ÅÅ
2 Rt
Rt
R2
¶
t
2
2t
2
t
2
Vo
cioè la potenza media dissipata tra l'istante iniziale T =0, ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ , e quello finale Tض, 0, sulla resistenza totale
Rt
Rt =R+r., moltiplicata per il tempo caratteristico del circuito Rt C , partizionata con la regola del partizionatore per la
R
R
resistenza R, cioé ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅ .
R+r
Rt