DIPARTIMENTO MATEMATICA I.C. SCP

DIPARTIMENTO MATEMATICA I.C. SCP-CENTRO STORICO
Relazioni e Funzioni: Ricerca di regolarità
(Diario di bordo di Spinelli 2013-14)
Tematica(Relazioni e funzioni, dalla ricerca di regolarità alla loro rappresentazione)
Descrizione degli obiettivi (Osservare, saper trovare relazioni, saperle esprimere a
parole e saperle rappresentare attraverso simboli, in particolare con linguaggio
matematico )
Elenco delle fasi
- In una situazione che varia individuazione di relazioni e regolarità. Riflessione sulle
regolarità individuate e sulle loro rappresentazioni.
- In una situazione che varia individuazione di problemi possibili
- Risoluzione di alcuni dei problemi individuati. Riflessione sulle regolarità individuate e
sulle loro rappresentazioni. In particolare dalla successione alla funzione. Uso del
linguaggio matematico per rappresentarle.
- Consolidamento delle osservazioni e delle riflessioni
 Dalla regolarità/formula alla rappresentazione grafica.
Problema o stimolo da cui nasce l’attività
Si inizia utilizzando la LIM in classe e proponendo delle situazioni problematiche nelle
quali compaiono delle figure geometriche che si modificano al crescere del numero dei lati.
La richiesta è di ricercare regolarità in tale crescita e di esprimere e rappresentare le
regolarità individuate.
Prerequisiti richiesti ai ragazzi per svolgere l’attività
Conoscere le principali figure geometriche (triangoli, quadrilateri). Saper esprimere le
proprie osservazioni.
Strumenti forniti agli allievi
Uso del programma geogebra, uso della LIM, uso dell'Ipad (quando il programma
elaborato con Geogebra funziona su questo strumento)
Organizzazione della classe
Lavoro collettivo con discussioni in classe, lavoro a gruppi, report delle osservazioni e
delle argomentazioni elaborate.
Fasi e tempi
Fase1 Introduzione
Utilizzazione del programma stecchini quesito 1.
Proiezione del programma in Geogebra (senza far vedere la tabella) ma facendo
vedere la variazione della mattonella rettangolare al variare della base.
Gli alunni sono stati divisi in gruppi di 2-3 alunni.
Domanda (da scrivere sul quaderno):
Trova il n. di stecchini necessari per costruire la mattonella di base 10.
Cerca una regolarità tra il numero di stecchini della base e gli stecchini totali
necessari.
Cerca di trovare una regola (una formula) che ti permetta di trovare velocemente, dal
numero di base degli stecchini, il numero totale degli stecchini necessari.
Scrivi cosa osservi e le regole eventualmente trovate.
Ho fatto vedere che si poteva costruire una tabella con stecchini di base, stecchini
totali, senza però farla vedere con i numeri
Osservazioni:
Quasi tutti hanno disegnato sul quaderno i rettangoli ed hanno contato gli stecchini.
Hanno costruito la tabella con i numeri.
Tutti i gruppi sono arrivati alla soluzione (31 stecchini) e hanno scritto il ragionamento
fatto per arrivare alla soluzione e il ragionamento per trovare la regola del numero
degli stecchini.
Hanno descritto le regole trovate nel linguaggio naturale. (Utile in questo caso farli
lavorare in gruppo, così tutti sono riusciti ad arrivare ad una soluzione).
Report collettivo delle soluzioni trovate e classificazione delle soluzioni trovate. (sono
emerse 3 modalità diverse).
RISPOSTE SCRITTE DAGLI ALUNNI
Regola di Fiamma e Abe
Secondo noi per trovare il numero degli stecchini bisogna sommare il numero dei
trattini della base per tre volte più uno stecchino.
N°+ N° + N° + 1 = totale stecchini
10 + 10 + 10 + 1 = 31 stecchini
20 + 20 + 20 + 1 = 61 stecchini
Pietro B e Andrea
La regola che abbiamo trovato noi é: addizionare 4 (cioè il numero degli
stecchini del 1º quadratino) a 3 e poi moltiplicare per la base alla quale devi
sottrarre 1 quindi la formula è: 4+3x(base-1)
Neri, Rebecca, Frida, Tommaso.
La risposta alla domanda è che ci vogliono 31 stecchini
Regola
Per trovare il risultato ad una domanda qualsiasi simile a questa bisogna
moltiplicare 3 per il numero degli stecchini della base poi bisogna aggiungere
1 ed avrete trovato il numero esatto.
Perché
Questo perché aggiungendo un quadrato (formato di stecchini) ad un altro
quadrato il numero da aggiungere non è 4 ma bensì 3 perché gli stecchini
interni si sovrapporrebbero a quelli dei quadrati vicini, quindi va moltiplicato
per 3 il numero della base e poi si aggiunge 1 perché essendo o il primo o
l'ultimo quadrato non ha un altro quadrato con cui condividere gli stecchini
interni.
Es. Ho un rettangolo di base 45, bisogna fare 3x45=135 in seguito si aggiunge 1 e
viene che il rettangolo è costituito da 136 stecchini
David e Pietro A
Quanti stecchini?
Regola:
Secondo noi per trovare il numero di stecchini corrispondente alla base, bisogna
moltiplicare il numero della base per tre e aggiungere al risultato 1, visto che ho
iniziato con quattro stecchini.
A questo punto ho chiesto come avremmo potuto scrivere queste regole in linguaggio
matematico.
Dopo aver concordato il nome delle variabili (b – stecchini della base; n – numero
stecchini totali)
Ho chiesto loro di tradurre le regole trovate nel linguaggio matematico.
In genere non hanno avuto difficoltà a farlo.
a) n= b+b+b+1
b) n= 4+3*(b-1)
c) n=3*b+1
Fase 2 Individuazione di possibili problemi
Presentazione del programma Triangoli 1m nel quale si vedono crescere i triangoli
(senza domande).
Richiesta: Osservando la figura che varia al variare della lunghezza della base quali
domande ti vengono in mente?
Filippo G.
1) Al variare del lato quanti nuovi triangoli sono visibili?
2) Di quanto aumentano a ogni passaggio i triangolini rosso/bianchi?
3) Perché ci fai fare queste domande?
David
1) Via via che il lato aumenta 3 triangoli si aggiungono al triangolo iniziale.
Quanto misura la sua area? E il suo perimetro? E i suoi lati?
2) Curiosità: come hai fatto a fare quel programma?
ABEJU
1) Fino a quanti triangoli può arrivare? Perché?
2) Quanti sono i triangoli rossi, quelli bianchi, e tutti?
3) Quale è l'area del triangolo generale?
4) Se riuscissi a spezzare la figura riusciresti a costruire un parallelogramma o un
rombo?
PIETRO A
1) Quanti triangoli ci sono nella piramide ?
2) Perché viene un triangolo bianco e uno rosso?
3) Quanto misura la sua area ?
4) Curiosità come hai inventato il programma?
?
1) Quale area ha il triangolo in ogni posizione?
2) Quale perimetro ha il triangolo in ogni posizione?
3) Perché i triangoli rossi sono più di quelli bianchi?
4) Cosa cambia ogni volta che il triangolo aumenta o diminuisce?
1) In base alla quantità di triangolini rossi aggiunti quanti ne appaiono bianchi?
2) Quale è la regola che dice quanti triangolini si aggiungono a ogni fascia?
3) Quanti parallelogrammi interi di lato uno ci sono nella figura?
4) Quante e quali figure geometriche regolari vedi in questa figura?
Emma G. & Clara
1) Sapendo il lato di un triangolo sapresti dire quanto misura l'area dell'ultimo
triangolone?
2) Di quanti triangolini aumenta ogni volta?
3) Sapendo il lato di un triangolino sapresti calcolare il perimetro dell'ultimo
triangolone?
4) Quali figure vi vedi dentro?
Fase 3 Dalla regolarità alla formula
a)
Vengono lette alcune delle domande poste da loro e si inizia a rispondere alla
domanda: Quanti triangolini ci sono nella “piramide” di lato 11?
Prova a trovare una regola che lega la lunghezza del lato al numero dei triangolini
Risposte degli alunni
Per sapere il numero di triangoli presenti nella piramide basta fare il numero del lato
moltiplicato per se stesso.
Es 4•4=16 numero dei triangoli.
Visto che la base arriva fino a 6 triangolini e quando la base aumenta aumenta anche
la diagonale sempre del solito numero dei triangolini. E via via che la base aumenta
aumentano anche i triangolini orizzontali, Per cui i triangolini rossi andando in su
diminuiscono fino ad arrivare a uno e i triangolini bianchi sono sempre meno di uno.
Quindi la prima fila è formata da 6 triangolini rossi e 5 bianchi e continua così fino ad
arrivare all'ultimo triangolino rosso.
Quando il lato aumenta, si aggiungono sempre il numero del lato
precedente+2
Esempio:
Lato 1= 1 triangolo rosso
Lato 2= 2 triangoli rossi e 1 bianco= 3
Lato 3= 3 triangoli rossi e 2 bianchi= 5
Lato 4= 4 triangoli rossi e 3 bianchi= 7
Per aiutarci noi all'inizio abbiamo contato i triangoli che aumentano quando il
lato aumenta a sua volta senza distinguere i triangoli rossi e i triangoli
bianchi
Quando la piramide ha il lato di 11 triangoli è di
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21= 121
I numeri dei triangolini vanno aumentando di due in due partendo da uno
Regola: Per trovare la somma dei triangolini totali, con lato 11, basta fare il
lato alla seconda quindi con 11 bisogna fare 11x11= 121.
b)
La volta successiva (dato che stavo facendo il Teorema di Pitagora applicato nel
quadrato) mi è venuto in mente di seguire la stessa procedura per far individuare a
loro la regola per trovare la diagonale del quadrato, dato il lato.
Ho costruito il programma in Geogebra (Diagonalequadrato.ggb) e fatto vedere i
quadrati che variavano, ed ho posto il problema come la volta precedente. (Formando
i soliti gruppi)
Consegna:
Disegna i quadrati di lato 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm.
Trova, utilizzando il Teorema di Pitagora, la diagonale di ciascun quadrato.
Cerca di individuare una regolarità nelle misure trovate.
Cerca di trovare un legame fra la misura del lato e la diagonale del quadrato.
Hanno calcolato la diagonale applicando il Teorema di Pitagora.
Abbiamo visto i risultati insieme, utilizzando anche il programma in geogebra.
Abbiamo letto le osservazioni trovate.
Rebecca: scrive diag= radice quadrata( L al quad +L al quad)
David osserva che le diagonali aumentano di 1,41
Filippo cerca una regolarità. Osserva che il secondo numero è il doppio del primo ma il
terzo non è il doppio del secondo. E quindi è perplesso.
Allora utilizzo il programma in geogebra dove si vede crescere i quadrati e le diagonali
e dico di osservare come crescono le diagonali.
Sia Filippo sia David allora osservano che la diagonale raddoppia, poi triplica.
Allora li invito a pensare a quello che avevano fatto la volta scorsa, quando hanno
scritto nel linguaggio matematico le regolarità trovate.
Arrivano così alla formula per trovare la diagonale del quadrato.
D=lato*1,41
o meglio D=lato* √2
c) Siamo quasi al termine del Teorema di Pitagora e voglio vedere se riescono a
trovare la formula per trovare l'altezza di un triangolo equilatero conoscendo il lato.
Procedo come per la diagonale del quadrato.
Consegna: Disegna 3 triangoli equilateri di lato 2cm, 4 cm, 6 cm e le loro altezze
Trova la misura dell'altezza dei triangoli.
Scrivi le tue osservazioni.
Riesci a trovare una regola che ti permetta di trovare l'altezza conoscendo il lato del
triangolo equilatero?
Si pone subito il problema di come fare a disegnare il triangolo equilatero. Ci si riflette
e viene la proposta di disegnare la base, prendere il punto medio, tracciare una retta
perpendicolare, prendere il righello e inclinarlo dai vertici della base fino a questa retta
fino ad arrivare alla misura richiesta.
Alcuni chiedono: ma possiamo trovare l'altezza misurandola?
Si riflette anche su questo. Misurando si trova un valore preciso? Quali errori si
possono commettere?
Molti suggeriscono di usare il teorema di Pitagora per trovare la misura precisa.
Lavorano a gruppi (sono liberi di organizzarsi come vogliono, molti lavorano a coppie,
altri lavorano individualmente)
Suggerisco di scrivere le osservazioni che via via fanno e di cercare la regola solo in
un secondo momento. (eventualmente di costruire una tabella con la misura del lato e
accanto la misura dell'altezza).
Molti osservano che i numeri dell'altezza crescono regolarmente di 1,73.
Si leggono le loro osservazioni e si riflette insieme.
Molti riescono a trovare la formula h=l/2*1,73. Qualcuno addirittura (quasi fosse una
cosa scontata) dice che h=l/2*Rad(3) perché quel 1,73 è venuto da quel calcolo.
Si scrivono le conclusioni collettivamente.
Chiedo a questo punto: La formula inversa come sarà? (quella che permette di trovare
il lato conoscendo l'altezza)
Si scrive insieme questa formula e si riflette su un suo possibile uso.
d)
Sono ripartito dall'esercizio precedente ed ho posto il quesito:
Quanti sono i triangolini rossi della 11° “piramide” Trova una regolarità.
Hanno lavorato in gruppo, poi ogni gruppo ha relazionato
Per trovare il nº di triangolini rossi bisogna sommare il lato del triangolo grande con il risultato di
triangolini rossi venuto prima.
Tabella:
Lato
Triangolini rossi
1
1
2
3
3
6
4
10
5
15
6
21
Es. Lato:3
Triangolini rossi:3
3+3=6 triangolini rossi nel triangolo di lato 3.
Metodo 2
Per trovare i triangoli rossi bisogna moltiplicare il lato del triangolo grande per il numero
successivo ad esso è poi dividerlo per due.
Es.
2x3=6:2=3 numero di triangoli rossi in un triangolo di lato 2.
Neri�
Per sapere quanti triangoli rossi e bianchi sono presenti nel triangolo completo basta sapere
quanto misura il lato(ad es 6) i triangoli rossi presenti in quella fila saranno 6 mentre quelli bianchi
5. I triangoli bianchi sono sempre 1 in meno(in ogni fila) rispetto a quelli rossi. Quindi i triangoli
rossi sono 21 ovvero:
6(1º fila)+5(2º fila)+4(3º fila)+3(4º fila)+2(5º fila)+1(6º fila).
Mentre quelli bianchi sono 15 perchè siccome c'è ne sono 1 in meno in ogni fila, 1 per 6= 6 che è il
numero da sottrarre al totale dei triangoli rossi.
David, Abe, Filippo S, Alessio P.
Per trovare il numero dei triangolini abbiamo fatto così:
Abbiamo sommato il numero dei triangolini rossi della prima fila con la seconda fila 1+2 e così
viene il numero dei triangolini rossi della seconda fila 3, e così via. (3+3=6, 6+4=10, 10+5=15)
1 1
2 3
3 6
4 10
5 15.
Lea, Giulia
Alla fine collettivamente ho chiesto di scrivere la formula per trovare i triangolini rossi
sapendo il lato e molti hanno risposto
n = l * (l+1)/2
!!!!
Una alunna ha cercato di giustificare questa formula cercando una spiegazione
geometrica (guardando i triangolini rossi che si trovano all'interno dei parallelogrammi
con lati l e l+1)
!!!!!