Un triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una
poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni
CLASSIFICAZIONE RISPETTO AI LATI: equilatero, isoscele,
scaleno
CLASSIFICAZIONE RISPETTO AGLI ANGOLI: rettangolo,
ottusangolo, acutangolo
In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno dei
due angoli interni non adiacenti ad esso; è congruente alla
somma dei due angoli interni non adiacenti ad esso;
La somma di due angoli interni di un triangolo è minore di un
angolo piatto;
La somma degli angoli interni di un triangolo qualunque è
congruente ad un angolo piatto
Un triangolo non può avere due (o più) angoli retti, né due (o
più) angoli ottusi, né un angolo retto e uno ottuso: cioè in un
triangolo due angoli sono sempre acuti;
In ogni triangolo non equilatero, a lato maggiore si oppone
angolo maggiore;
In ogni triangolo un lato è minore della somma degli altri due
e maggiore della loro differenza.
Se in un triangolo si congiungono i punti medi dei due lati,
il segmento che si ottiene è parallelo al terzo lato e
congruente alla metà;
In ogni triangolo equilatero, ogni angolo è congruente alla
terza parte di un angolo piatto;
Il triangolo isoscele ha i due angoli alla base congruenti ed
acuti;
Nel triangolo isoscele, la bisettrice dell’angolo al vertice è
anche altezza e mediana rispetto alla base;
In ogni triangolo rettangolo gli angoli acuti sono
complementari;
In ogni triangolo rettangolo la mediana relativa
all’ipotenusa è congruente a metà ipotenusa.
ORTOCENTRO: Punto di incontro delle altezze di un
triangolo (o i loro prolungamenti).
BARICENTRO: Punto di incontro delle mediane di un
triangolo.
Divide ogni mediana in due parti, tali che quella
avente per estremo un vertice è il doppio
dell’altra.
INCENTRO: Punto di incontro delle bisettrici di un
triangolo; è il centro della circonferenza inscritta.
CIRCOCENTRO: Punto di incontro degli assi di un
triangolo; è il centro della circonferenza
circoscritta.
EXCENTRO: Punto di incontro delle bisettrici di due
angoli esterni di un triangolo con la bisettrice
dell’angolo interno non adiacente ad essi.
In ogni triangolo rettangolo, il quadrato
costruito sull’ipotenusa è equivalente alla
somma dei quadrati costruiti sui cateti
Un poligono è un insieme di punti costituito da
una poligonale chiusa non intrecciata e dai
suoi punti interni
In
un poligono convesso di n lati, la somma
degli angoli interni è congruente a (n-2)
angoli piatti;
La somma degli angoli esterni di un poligono
convesso è congruente a un angolo giro;
Un parallelogramma è un quadrilatero avente i
lati opposti paralleli.
Ciascuna
diagonale lo divide in due triangoli
congruenti;
I lati opposti sono congruenti;
Gli angoli opposti sono congruenti;
Gli angoli adiacenti ad ogni lato sono
supplementari;
Le diagonali si incontrano nel loro punto medio
Un rettangolo è un parallelogramma avente i
quattro angoli congruenti.
Un
rettangolo ha le diagonali congruenti.
Un rombo è un parallelogramma avente i
quattro lati congruenti.
Un
rettangolo ha le diagonali che sono
perpendicolari tra loro e bisettrici degli angoli.
Un quadrato è un parallelogramma avente i
quattro lati e i quattro angoli congruenti.
Un
quadrato ha le diagonali che sono
perpendicolari e congruenti tra loro, e bisettrici
degli angoli.
Un trapezio è un quadrilatero con due soli lati
paralleli. I due lati paralleli si chiamano basi
(maggiore e minore), i due lati obliqui
vengono chiamati lati.
CLASSIFICAZIONE: scaleni, isosceli, rettangoli.
In un trapezio qualsiasi, il segmento congiungente i punti
medi dei lati obliqui è parallelo alle due basi e congruente
alla loro semisomma;
In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti ad una delle due
basi sono congruenti;
In un trapezio isoscele gli angoli opposti sono
supplementari;
In un trapezio isoscele le diagonali sono congruenti;
In un trapezio rettangolo gli angoli adiacenti al lato
obliquo sono complementari.
Un luogo geometrico è l’insieme di tutti e soli i punti del piano che
godono di una certa proprietà, detta proprietà caratteristica del
luogo.
ASSE DI UN SEGMENTO
BISETTRICE DI UN
È il luogo dei punti equidistanti
ANGOLO
dagli estremi di un segmento
È il luogo dei punti
equidistanti dai lati
dell’angolo
CIRCONFERENZA
È il luogo dei punti di un
piano che hanno distanza
assegnata da un punto,
detto centro
È il luogo dei punti di un piano che hanno distanza assegnata
da un punto, detto centro.
Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza.
È una figura piana formata dai punti di una circonferenza e
quelli interni alla circonferenza.
•RAGGIO: ogni segmento che ha come estremi il
centro e un punto della circonferenza.
•CORDA: ogni segmento che ha come estremi
due punti della circonferenza.
•DIAMETRO: ogni corda passante per il centro.
•ARCO: parte di circonferenza compresa fra
due sue punti.
•SEMICIRCONFERENZA: arco i cui estremi sono
distinti e appartengono a un diametro.
•SEMICERCHIO: parte di piano compresa fra una
semicirconferenza e un diametro.
•SETTORE CIRCOLARE: parte di piano compresa
fra un arco e i raggi che hanno un estremo
negli estremi dell’arco.
•ANGOLO AL CENTRO: angolo che ha il vertice
nel centro della circonferenza.
•ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA: angolo
convesso che ha il vertice sulla circonferenza e
i due lati secanti la circonferenza stessa.
a) Data una circonferenza, se si verifica una delle seguenti
congruenze:
fra due angoli al centro;
fra due archi;
fra due settori circolari;
fra due segmenti circolari
allora sono congruenti anche le restanti figure corrispondenti
e considerate.
b) Un angolo alla circonferenza è la
metà del corrispondente angolo al
centro.
Ogni diametro è maggiore di qualsiasi corda che non passa per il
centro;
Se in una circonferenza un diametro è perpendicolare ad una
corda, allora la corda, l’angolo al centro e l’arco corrispondenti
risultano divisi a metà da tale diametro;
Se in una circonferenza un diametro interseca una corda non
passante per il centro nel suo punto medio, allora il diametro è
perpendicolare alla corda;
Corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro, e viceversa.
Se due corde non sono congruenti, la corda maggiore ha distanza
maggiore dal centro.
RETTA SECANTE: la distanza tra retta e centro è minore del
raggio. Ha due punti in comune con la circonferenza.
RETTA TANGENTE: la distanza tra retta e centro è uguale al
raggio. Ha un solo punto in comune con la circonferenza.
- È perpendicolare al raggio avente come estremo il punto di tangenza;
-Se da un punto P esterno alla circonferenza si conducono le due rette
tangenti ad essa, allora i segmenti di tangenza, aventi ciascuno un
estremo nel punto P e l’altro in un punto in comune con la
circonferenza, sono congruenti.
RETTA ESTERNA: la distanza tra retta e centro è maggiore del
raggio. Non ha nessun punto in comune con la circonferenza.
POLIGONI INSCRITTI: Un poligono è inscritto in una circonferenza se
ha tutti i vertici sulla circonferenza.
-Gli assi dei suoi lati si incontrano al centro della circonferenza.
POLIGONI CIRCOSCRITTI: Un poligono è circoscritto a una
circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza.
-Le bisettrici dei suoi angoli si incontrano in uno stesso punto.
POLIGONO REGOLARE: poligono avente
tutti i lati e gli angoli congruenti.
È inscrivibile in una circonferenza e
circoscrivibile a un’altra; le due
circonferenze hanno lo stesso centro.
-
-
I vertici dei poligoni regolari inscritti in una
circonferenza dividono in archi congruenti la
circonferenza stessa;
I punti di tangenza dei poligoni regolari
circoscritti ad una circonferenza dividono in
archi congruenti la circonferenza stessa.
Un QUADRILATERO inscritto in una circonferenza
ha gli angoli opposti supplementari;
Un QUADRILATERO circoscritto ad una
circonferenza ha la somma di due lati congruente
alla somma degli altri due.
ROMBI e QUADRATI sono sempre circoscrivibili ad
una circonferenza.
In un QUADRATO circoscritto ad una
circonferenza i punti di contatto coincidono con i
punti medi dei lati.
Il lato dell’ ESAGONO REGOLARE inscritto in una
circonferenza è congruente al raggio della
circonferenza.
Una trasformazione geometrica è una
corrispondenza biunivoca che associa a ogni
punto del piano un punto del piano stesso.
TRASFORMAZIONI PROIETTIVE
IDENTITA’
OMEORFISMI
AFFINITA’
SIMILITUDINE
ISOMETRIE
Una similitudine è un’affinità, nella quale si conserva la forma delle
figure, e in particolare la congruenza fra angoli; inoltre, fra i
segmenti corrispondenti esiste un rapporto costante.
Due triangoli sono simili se hanno…
due angoli ordinatamente congruenti (1°);
due lati ordinatamente in proporzione e
l’angolo tra essi compreso congruente (2°);
i lati ordinatamente in proporzione(3°).
Sono le trasformazioni che descrivono, in modo astratto, i movimenti
che mantengono inalterate le misure degli oggetti, ossia i movimenti
rigidi.
Sono particolari similitudini che hanno il rapporto di similitudine uguale
a 1.
Due triangoli sono congruenti se sono
sovrapponibili punto a punto.
Due triangoli sono congruenti se hanno
ordinatamente congruenti…
due lati e l’angolo tra essi compreso (1°);
un lato e i due angoli ad esso adiacenti (2°);
i tre lati (3°).
Due superfici che hanno la stessa estensione si
dicono equivalenti.
Superfici ottenute come somme o differenze di superfici rispettivamente
equivalenti sono equivalenti.
Se due parallelogrammi hanno congruenti le basi e le altezze, sono
equivalenti.
Un triangolo è equivalente a un parallelogramma che ha altezza
congruente a quella del triangolo e base congruente a metà di quella del
triangolo.
Un trapezio è equivalente a un triangolo se la sua altezza è congruente a
quella del triangolo e la somma delle due basi è congruente alla base del
triangolo.
Un poligono inscritto a una circonferenza è equivalente a un triangolo che
ha base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente al
raggio della circonferenza.
SISTEMA
SESSAGESIMALE:
L’unità di misura è il grado,
ovvero la 360ma parte di una circonferenza. Il grado si divide in 60
primi, e il primo in 60 secondi, ed eventualmente il secondo si
divide in decimi, centesimi ecc.
MISURA CIRCOLARE: L’unità di misura è il radiante ρ,
ovvero l’arco che, rettificato, è congruente al raggio della
circonferenza alla quale l’arco appartiene.
ρ:
= α : 180°
La circonferenza goniometrica è una
circonferenza presente nel piano cartesiano
xOy, avente il centro nell’origine e per
raggio il segmento che è stato fissato come
unità di misura tra i due assi. La sua
equazione è:
x2+y2=1
SENO:
si dice seno di un angolo α l’ordinata
del punto associato ad α nella circonferenza
goniometrica.
COSENO: si dice coseno di un angolo α
l’ascissa del punto associato ad α nella
circonferenza goniometrica.
Seno e coseno sono funzioni PERIODICHE con periodo di 360° (2 ):
• sen (α + 2k ) = sen α
• cos (α + 2k ) = cos α
Essendo seno e coseno rispettivamente ascissa ed ordinata di un punto
appartenente alla circonferenza, questi certamente avranno valori maggiori
di -1 e minori di 1:
• -1< sen α < 1
• -1< cos α < 1
Inoltre
sen2 α + cos2 α = 1
TANGENTE: la tangente di un angolo orientato è l’ordinata
del punto di intersezione tra il secondo lato dell’angolo, o il suo
prolungamento, con la retta tangente alla circonferenza
goniometrica nel punto in cui questa interseca il primo lato
dell’angolo.
COTANGENTE: la cotangente di un angolo orientato è
l’ascissa del punto di intersezione tra il secondo lato dell’angolo, o
il suo prolungamento, con la retta tangente alla circonferenza
goniometrica nel punto in cui questa interseca il semiasse delle
ordinate positive.
Tangente e cotangente sono funzioni PERIODICHE con periodo di 180° ( ):
• tg (α + k ) = tg α
• cotg (α + k ) = cotg α
Inoltre…
𝑠𝑒𝑛 ∝
𝑐𝑜𝑠 ∝
𝑐𝑜𝑠 ∝
𝑐𝑜𝑡𝑔 ∝ =
𝑠𝑒𝑛 ∝
𝑡𝑔 ∝ =
𝑐𝑜𝑡𝑔 ∝ =
1
𝑡𝑔 ∝
In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale al
prodotto della misura dell’ipotenusa per il seno dell’angolo
opposto a esso o per il coseno dell’angolo acuto ad esso
adiacente:
b = a senβ | b = a cosγ | c = a senγ | c = a cosβ
In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale al
prodotto della misura dell’altro cateto per la tangente
dell’angolo opposto al primo cateto, oppure per la cotangente
dell’angolo acuto adiacente al primo cateto:
b = c tgβ | b = c cotgγ | c = b tgγ | c = b cotgβ
L’area
di un triangolo è data dal semiprodotto
di due lati per il seno dell’angolo compreso:
S = ½ ab senγ
In
una circonferenza il rapporto tra una
corda e il seno di uno qualsiasi degli angoli
alla circonferenza che insistono su quella
corda è uguale al diametro della
circonferenza
TEOREMA
DI CARNOT: In un triangolo
qualsiasi, il quadrato di un lato è uguale alla
somma dei quadrati degli altri due lati,
diminuita del doppio prodotto di questi due
lati per il coseno dell’angolo che essi
formano:
a2 = b2 + c2 -2bc cosα
b2 = a2 + c2 – 2ac cosβ
c2 = b2 + a2 – 2ba cosγ
TEOREMA
DEI SENI: In un triangolo qualsiasi i
lati sono proporzionali ai seni degli angoli
opposti e quindi è costante il rapporto tra
ciascun lato e il seno dell’angolo opposto, ed
è uguale al diametro della circonferenza
circoscritta al triangolo:
𝒂
𝒃
𝒄
=
=
= 𝟐𝑹 (𝑹 𝒎𝒊𝒔𝒖𝒓𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒓𝒂𝒈𝒈𝒊𝒐)
𝒔𝒆𝒏 ∝ 𝒔𝒆𝒏𝜷
𝒔𝒆𝒏𝜸
SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO ORTOGONALE (PIANO
ORTOGONALE): Piano su cui siano state considerate due
rette perpendicolari x e y, su cui sia stato fissato per
entrambe un sistema di coordinate ascisse in modo che
-il punto O di intersezione delle due rette sia l’origine
comune dei due sistemi di ascisse,
-il verso positivo della retta x sia verso destra e quello della
retta y verso l’alto,
-l’unità di misura sia la stessa nei due sistemi fissati sulle
rette x e y.
Considerando
un generico punto P del piano,
si osserva che a questi corrisponde
biunivocamente una coppia ordinata (x;y) di
numeri reali, che prendono il nome di
COORDINATE. x è detta ASCISSA, y ORDINATA.
I
due assi x e y dividono il piano in 4 angoli,
chiamati QUADRANTI.
𝑨𝑩 =
Es. 𝐴𝐵 =
(𝐌
(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝟐
(4 − 1)2 + (5 − 1)2 = 5
𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 𝒚𝟏 + 𝒚 𝟐
;
)
𝟐
𝟐
𝒅=
|𝒂𝒙𝟎 + 𝒃𝒚𝟎 + 𝒄|
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
Equazione retta generica: y=mx+q
passante per l’origine del sistema: y=mx
bisettrice I e III quadrante: y=x
bisettrice II e IV quadrante: y=-x
parallela all’asse x: y=k
parallela all’asse y: x=k
Due rette sono parallele quando non hanno
alcun punto in comune, oppure quando
coincidono.
Due rette tra loro parallele hanno lo stesso
COEFFICIENTE ANGOLARE (tangente dell’angolo
che si forma tra la retta e l’asse delle ascisse)
Due rette incidenti sono perpendicolari quando
dividono il piano in quattro angoli retti. Per
un punto del piano passa una e una sola
perpendicolare a una retta data.
Due rette sono tra loro perpendicolari se tra esse
sussiste la seguente relazione:
𝒎 ∙ 𝒎′ = −𝟏
𝟏
𝒎=−
𝒎′
, dove m ed m’ sono i
coefficienti angolari
delle due rette.
Dicesi parabola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un
punto fisso chiamato FUOCO, e da una retta fissa chiamata DIRETTRICE.
y=ax2 + bx + c
a>0 -> concavità verso l'alto
a<0 -> concavità verso il basso
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑉 −
𝑏
∆
;−
2𝑎
4𝑎
𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑖 𝑠𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑥 = −
𝑓𝑢𝑜𝑐𝑜 𝐹 −
𝑏 1−∆
;
2𝑎 4𝑎
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑡𝑡𝑟𝑖𝑐𝑒 𝑦 = −
1+∆
4𝑎
𝑏
2𝑎
(𝒙 − 𝒑)𝟐 + (𝒚 − 𝒒)𝟐 = |𝒚 − 𝒅|
Dicesi circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da
un punto fisso chiamato CENTRO.
x2+y2+ax+by+c=0
-2x0 = a
-2y0 = b
x02+ y02–r2 = c
(𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝟎 )𝟐 = 𝒓𝟐
Dicesi ellisse il luogo geometrico dei punti del piano la cui somma delle
distanze da due punti fissi detti FUOCHI è costante
𝒙 𝟐 𝒚𝟐
+
=𝟏
𝒂𝟐 𝒃𝟐
(𝒙 − 𝒄)𝟐 + 𝒚𝟐 + (𝒙 + 𝒄)𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝒂
ELLISSE CON FUOCHI SULL'ASSE x
ELLISSE CON FUOCHI SULL'ASSE y
𝒙 𝟐 𝒚𝟐
+
=𝟏
𝒂𝟐 𝒃𝟐
𝒙 𝟐 𝒚𝟐
+
=𝟏
𝒂𝟐 𝒃𝟐
con a>b
con a<b
distanza focale F1F2 = 2c (c<a)
distanza focale F1F2 = 2c (c<b)
asse maggiore A1A2 = 2a
asse minore A1A2 = 2a
asse minore B1B2 = 2b
asse maggiore B1B2 = 2b
a2 - c2 = b2
b2- c2= a2
𝑓𝑢𝑜𝑐𝑜 𝐹 ± 𝑎2 − 𝑏2 ; 0
𝑓𝑢𝑜𝑐𝑜 𝐹 0; ± 𝑏2 − 𝑎2
vertici A1 (a;0), A2 (-a;0)
vertici A1 (a;0), A2 (-a;0)
B1 (0;b), B2 (0;-b)
B1 (0;b), B2 (0;-b)
Dicesi iperbole il luogo geometrico dei punti del piano la cui differenza
delle distanze da due punti fissi detti FUOCHI è costante.
𝒙 𝟐 𝒚𝟐
−
=𝟏
𝒂𝟐 𝒃𝟐
IPERBOLE (RIFERITA AL CENTRO E AGLI
ASSI)* CON FUOCHI SULL'ASSE x
𝒙 𝟐 𝒚𝟐
−
=𝟏
𝒂𝟐 𝒃𝟐
con a>b
IPERBOLE * CON FUOCHI SULL'ASSE y
𝒙 𝟐 𝒚𝟐
−
=𝟏
𝒂𝟐 𝒃𝟐
con a>b
c2- a2 = b2
c2- b2= a2
𝑓𝑢𝑜𝑐𝑜 𝐹 ± 𝑎2 + 𝑏2 ; 0
𝑓𝑢𝑜𝑐𝑜 𝐹 0; ± 𝑎2 + 𝑏2
𝑏
𝑏
asintoti: y = ± 𝑎 𝑥
asintoti: y = ± 𝑎 𝑥
vertici: A1 (a;0), A2 (-a;0)
vertici: B1 (0;b), B2 (0;-b)
IPERBOLE EQUILATERA* CON FUOCHI
SULL'ASSE x
𝒙 𝟐 𝒚𝟐
−
=𝟏
𝒂𝟐 𝒃𝟐
con a>b
IPERBOLE EQUILATERA* CON FUOCHI
SULL'ASSE y
𝒙 𝟐 𝒚𝟐
−
=𝟏
𝒂𝟐 𝒃𝟐
con a>b
c= 𝑎 2
c= 𝑎 2
𝑓𝑢𝑜𝑐𝑜 𝐹 ±𝑎 2; 0
𝑓𝑢𝑜𝑐𝑜 𝐹 0; ±𝑎 2
asintoti: y = ±𝑥
asintoti: y = ±𝑥
vertici: A1 (a;0), A2 (-a;0)
vertici: A1 (0;a), A2 (0;-a)
