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LA LEZIONE
L’ottica geometrica e il principio di Fermat
La radiazione riflessa da specchi ha importanti applicazioni. Si pensi al settore
energetico dove specchi piani in movimento seguono il Sole per convergere i raggi alla
sommità di una torre (figura 1).
Figura 1 Torre di una centrale
solare termica. Gli specchi piani
(eliostati) concentrano l’energia
solare sulla torre, l’energia
termica immagazzinata in una
miscela di sali fusi viene
utilizzata per produrre vapore e
infine elettricità tramite turbine
Oppure agli specchi concavi che grazie all’energia solare, concentrata nel fuoco del
paraboloide, mettono in funzione motori (figura 2) o riscaldano fluidi a elevata capacità
termica (figura 3).
figura 2 Gli specchi parabolici concentrano nel fuoco i raggi solari. L’energia termica è impiegata da un particolare
dispositivo (motore Stirling) per produrre energia elettrica
figura 3 I raggi solari riflessi dallo specchio riscaldano una sostanza con elevata capacità termica disposta all’interno di
un lungo tubo cilindrico
La capacità di analizzare la riflessione della luce in mezzi che presentano turbolenza
come l’atmosfera terrestre ha permesso la costruzione di telescopi con specchi che
adattano la loro forma al percorso della radiazione (ottica adattiva figura 4).
figura 4 La luce proveniente dalla stella arriva come un insieme di raggi
paralleli. L’atmosfera, a causa del diverso indice di rifrazione, modifica
leggermente la posizione dei raggi. Un computer analizza le
deformazioni e adatta la forma dello specchio parabolico del telescopio
per tener conto della rifrazione. D’altra parte lo studio delle lenti ha
portato allo sviluppo di specifici campi: astronomia, microscopia, ottica,
fotografia
Le leggi della riflessione e della rifrazione seicentesche, alla base di queste indagini,
sono semplici. Per esse non ha senso chiedersi cosa sia la luce. L’oggetto dell’ottica
geometrica è la determinazione della traiettoria dei raggi luminosi attraverso una
qualsiasi sistema di specchi e di mezzi rinfrangenti (anche con indice di rifrazione
variabile con continuità). Il comportamento della luce può essere ricondotto a un unico
principio associato al nome del matematico Pierre de Fermat: la luce sceglie, tra due
punti assegnati, il cammino che le permette il percorso in cui impiega il minor tempo
possibile. In molti campi della fisica, le leggi possono essere espresse attraverso un
principio di massimo o di minimo. In un mezzo omogeneo e isotropo è evidente che tra
due punti A e B il tempo minimo corrisponde al tragitto più breve (il segmento che
unisce i due punti). Nella riflessione, per la simmetria dei punti B e B’ della figura 5,
l’angolo di incidenza uguale all’angolo di riflessione corrisponde di nuovo al tragitto più
breve tra i punti A e B.
figura 5 Riflessione della luce
Nella rifrazione, dove la velocità della luce c diminuisce di un fattore n (l’indice di
rifrazione del mezzo) nel passaggio all’interno di una sostanza trasparente la
giustificazione del principio è più complessa (rimandiamo la discussione alla prossima
lezione sulla legge di Snell). Nei casi più semplici il tempo è effettivamente il minimo.
Eppure l’enunciato del principio di Fermat non è considerato esatto. La sua
formulazione generale confronta il cammino ottico seguito dalla luce (tra i punti A e B)
e quello di altri percorsi vicini. Solo quello che porta a un insieme di cammini con tempi
quasi uguali è quello giusto. La formulazione matematica è un esempio di principio
variazionale. La traiettoria di un raggio luminoso tra due punti A e B è tale che quando
essa si faccia variare infinitamente poco, non varia, a meno di infinitesimi di ordine
superiore, il tempo impiegato dalla luce a portarsi da A a B. Dare un significato
matematico alle frasi “infinitamente poco” e “infinitesimi di ordine superiore” non è
facile, ma oggi con applicazioni specifiche è possibile confrontare numericamente i
diversi cammini e i tempi impiegati. Al proposito si può vedere la pagina: link
La luce come onda: indice di rifrazione e costante dielettrica
Nell’ottica fisica, i raggi dell’ottica geometrica divengono le
normali ai fronti d’onda e possono essere interpretati come le
linee del flusso dell’energia trasportata dalla luce (campo
elettromagnetico). Alla luce intesa come onda può essere
associata anche una quantità di moto che si può evidenziare in
linea di principio con un semplice dispositivo come il radiometro
di Crookes.In un’ampolla di vetro viene creato il vuoto e inserito
un mulinello con palette aventi un lato ricoperto da uno strato
riflettente a specchio e uno strato annerito assorbente. Se si
ipotizza che la quantità di moto trasferita dalla luce nell’urto
elastico con le facce a specchio sia maggiore di quella dovuta
all’interazione anelastica con le facce assorbenti, il mulinello
dovrebbe ruotare come se fosse spinto dalla
figura 6 Radiometro di
Crookes
parte delle facce speculari. Purtroppo la maggior parte dei radiometri giocattolo (a
causa della presenza di un residuo di aria all’interno dell’ampolla) ruota nel verso
contrario per l’aumento dell’energia cinetica media delle molecole del gas dalla parte
delle facce che assorbono la luce.
Per ritornare alla propagazione della luce all’interno di mezzi omogenei e isotropi come
il vetro o l’acqua, la velocità di una luce monocromatica (come quella di un laser) passa
da 299792458 m/s al valore inferiore v=c/n, dove n è l’indice di rifrazione assoluto
della sostanza (caratteristico di quel particolare colore). La novità della trattazione della
luce come onda, non è solo nella trattazione dei fenomeni di dispersione dei colori.
L’indice di rifrazione può essere legato alle proprietà elettriche e magnetiche della
sostanza attraversata dal raggio di luce. Se si può trascurare il magnetismo (le
sostanze trasparenti non presentano effetti magnetici) allora l’indice di rifrazione
dipende solo dagli effetti elettrici. Diamone una breve introduzione. Consideriamo un
condensatore carico. Le forze elettriche tra due superfici piane cariche possono essere
ridotte interponendo tra i due piani del condensatore un dielettrico (una sostanza che
non ha proprietà conduttrici). L’interpretazione microscopica del fenomeno è
abbastanza intuitiva. Le molecole della sostanza si orientano in modo tale da
schermare parzialmente le cariche presenti sulla superficie e la forza elettrica si riduce
(rispetto al vuoto) di un fattore pari alla costante dielettrica relativa: r.
Nel caso in cui il magnetismo sia trascurabile, è possibile
dimostrare che n=(r)1/2. Ricordando però che questo valore
dipende dalla frequenza dell’onda monocromatica (le velocità di
fase sono diverse e anche r dipende dalla frequenza). La
dimostrazione è basata su un modello in cui l’onda luminosa
nell’attraversamento del mezzo provoca un assorbimento e una
riemissione dell’energia da parte delle cariche oscillanti. Inizia così
il
problema della trattazione fisica dell’interazione tra materia e
radiazione.
figura 7 Riduzione delle forze
elettriche tra le armature del
condensatore a causa
dell’interposizione di un dielettrico
I fotoni e la polarizzazione
Le proprietà dei quanti di luce sono state accennate già in precedenza più volte. La
relazione di Einstein-Planck E=hf collega la frequenza alla sua energia, mentre quella di
de Broglie p=h/, associa la quantità di moto alla lunghezza d’onda. La terza
caratteristica del fotone, avente un corrispettivo classico, è lo stato di polarizzazione.
Pensiamo alla luce costretta all’interno di uno spazio anisotropo, come ad esempio una
fibra ottica. Le imperfezioni presenti nel materiale vetroso producono variazioni nello
stato di polarizzazione. Qui ci limiteremo a introdurre, sia nella schematizzazione della
luce come onde che in quella delle intensità legata al numero di fotoni, alcuni fenomeni
tipici della polarizzazione. L’utilizzo di filtri polaroid è abbastanza comune nelle aule dei
laboratori di fisica. Osservando la luce attraverso due filtri, il primo fisso con asse di
polarizzazione disposto verticalmente e il secondo con asse variabile a causa di una
regolare rotazione, si nota una graduale riduzione dell’intensità della luce, fino al
raggiungimento di una zona buia corrispondente alla disposizione del secondo filtro con
asse orizzontale.
Se indichiamo con I0 l’intensità della luce che raggiunge il
secondo filtro e con IT l’intensità della luce trasmessa vale la
legge di Malus: IT = I0 cos2dove  rappresenta l’angolo tra i
due piani di polarizzazione dei due filtri. L’interpretazione
ondulatoria del fenomeno è rappresentata nella figura
seguente in cui la luce è un’onda sinusoidale (uscente dal
primo filtro) che si trova su un piano verticale (le linee
rappresentano la direzione del piano di polarizzazione, alcuni
autori preferiscono disegnare invece il polaroid con linee
figura 8 Filtri polaroid
perpendicolari rispetto a queste che sono particolari delle fibre conduttrici della
sostanza). Se l’angolo definito dai due filtri è di 0°, IT = I0. Se l’angolo è di 45°, IT =
I0/2, la luce è assorbita al 50%. Infine, con angolo di 90°, I T = 0, la luce non riesce a
passare.
figura 9 Fascio di luce polarizzato lungo un piano verticale che incide su un secondo filtro orientato
(rispetto al primo) rispettivamente con angoli di 0°, 45°, 90°
figura 10 Fotoni polarizzati lungo un piano verticale che incidono su un secondo filtro orientato (rispetto al
prino) rispettivamente con angoli di 0°, 45°, 90°
Proviamo a visualizzare la stessa situazione coi fotoni. Nel caso  0° tutti i fotoni
uscenti dal primo filtro passano attraverso il secondo filtro. Se i piani sono a 45°, solo
la metà dei fotoni provenienti da sinistra attraversa il secondo polaroid. Nel terzo caso
nessun fotone. Nel caso più significativo, la riduzione dell’intensità della luce non
comporta allora una riduzione dell’energia del singolo quanto, ma il dimezzamento del
numero dei fotoni che attraversano il filtro. Solo un fotone su due modifica il suo stato
di polarizzazione (misurabile attraverso un dispositivo capace di rilevare il passaggio
dei fotoni attraverso il filtro stesso). Il punto cruciale della teoria quantistica è che tutti
i fotoni per  45° hanno la stessa probabilità (50%) di passare o non attraversare
(50%) il secondo filtro, essi sono indistinguibili e, allo stesso tempo, lo stato di
polarizzazione può essere pensato come uno strano miscuglio di potenzialità di
successo (trasmissione) e insuccesso (assorbimento). L’unica misura possibile è la
probabilità statistica dell’insieme dei fotoni di essere trasmessi, ma non è possibile
prevedere con certezza l’esito della misura relativa al passaggio di un singolo fotone.