Unità
1
LA GEOMETRIA 1
Gli enti geometrici
fondamentali
■ Introduzione alla geometria
•
•
La geometria è la scienza che studia la forma e l’estensione dei corpi e le 왘 enti
geometrici
trasformazioni che questi subiscono.
fondamentali
Gli enti geometrici primitivi sono elementi che non hanno bisogno di defifundamental
nizione perché si deducono dall’osservazione della realtà.
geometrical
Gli enti geometrici fondamentali sono il punto, la retta, il piano.
■ Il punto
Il punto in geometria viene considerato senza dimensioni.
I punti si indicano con le lettere maiuscole dell’alfabeto.
concepts
objets
fondamentaux
de la géométrie
entes geométricos
fundamentales
D
A
C
B
F
E
■ La retta e le linee
La retta in geometria viene considerata priva di materia e di spessore e dotata
di una sola dimensione: la lunghezza.
La retta è un caso particolare di un’altra figura geometrica: la linea.
왘 lunghezza
length
longueur
longitud
64
왘 linea
line
ligne
línea
왘 punto
point
point
punto
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
•
Gl i e
on
f
i
c
i
r
t
e
m
n ti ge o
d ament a l i
Una linea può essere aperta o chiusa, semplice o intrecciata.
aperta semplice
chiusa semplice
aperta intrecciata
chiusa intrecciata
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
La retta è una linea aperta semplice.
1
왘 (linea) aperta
open
ouverte
abierta
왘 (linea) chiusa
closed
fermée
cerrada
Le rette si indicano con le lettere minuscole dell’alfabeto.
La retta è costituita da infiniti punti.
왘 (linea)
semplice
simple
simple
sencilla
Se tre punti si trovano sulla stessa retta si dicono allineati.
왘 (linea)
Per due punti A e B passa una e una sola retta.
intrecciata
B
interlaced
entrecoupée
entrelazada
A
La retta ha due versi, uno opposto all’altro.
Quando viene scelto uno dei versi come positivo (e l’altro come negativo),
si dice che la retta è orientata.
왘 (punti)
allineati
aligned points
points alignés
puntos alineados
r
왘 (verso) positivo
positiv
positif
positivo
왘 (verso) negativo
negative
négatif
negativo
왘 (retta) orientata
directed
orientée
orientada
왘 versi
directions
sens
direcciones
65
LA GEOMETRIA 1
■ Il piano
Il piano in geometria viene considerato dotato di due dimensioni: la lunghezza 왘 piano
plane
e la larghezza.
plan
Il piano è indicato con lettere minuscole dell’alfabeto greco: α (alfa), β (beta),
plano
γ (gamma), δ (delta), …
Il piano contiene infiniti punti e infinite rette.
O
왘 lunghezza
length
longueur
longitud
Le figure geometriche costituite da punti che appartengono a un piano si
dicono figure piane.
왘 larghezza
width
largeur
anchura
Le figure geometriche i cui punti non appartengono tutti allo stesso piano si
dicono figure solide (o solidi).
왘 figure geometriche
geometric figures
figures géométriques
figuras geométricas
66
왘 figure piane
plane figures
figures planes
figuras planas
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
Per un punto O del piano passano infinite rette.
Gl i e
on
f
i
c
i
r
t
e
m
n ti ge o
d ament a l i
1
■ Semirette e segmenti
La semiretta è ciascuna delle due parti in cui una retta è divisa da un suo 왘 semiretta
ray (or half-line)
punto, detto origine.
semiretta
semiretta
demi-droite
semirrecta
O
origine
Il segmento è la parte di retta compresa fra due punti A e B.
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
segmento AB
A
B
왘 origine
initial point
origine
origen
estremi
I punti A e B si dicono estremi del segmento.
Il punto medio di un segmento è il punto che divide il segmento in due
parti congruenti.
왘 segmento
segment
segment
segmento
punto medio
AM = MB
■ Segmenti consecutivi e adiacenti
Due segmenti si dicono consecutivi quando hanno solamente un estremo in
comune.
왘 estremi
end points
extrémités
extremos
Due segmenti si dicono adiacenti quando sono consecutivi e appartengono
alla stessa retta.
왘 punto medio
mean point
point moyen
punto medio
왘 consecutivi
consecutive
consécutifs
consecutivos
왘 congruenti
congruent
congrus
congruentes
왘 adiacenti
adjacent
adjacents
adyacentes
67
LA GEOMETRIA 1
■ Addizione e sottrazione di segmenti
Per addizionare due segmenti, AB e CD, è necessario renderli adiacenti.
AB + CD = AD.
Per sottrarre da un segmento AB un segmento CD, minore di AB, bisogna
sovrapporli.
■ Misura della lunghezza di un segmento
La misura di un segmento AB rispetto a un segmento u, preso come unità
di misura, è quel numero che esprime quante volte il segmento u, o un suo
sottomultiplo, è contenuto esattamente in AB.
Per esempio, dato il segmento AB:
왘 misura
measure
mesure
medida
왘 unità
di misura
la misura di AB, rispetto al centimetro, è 6. Si scrive:
AB = 6 cm.
68
unit of measurement
unité de mesure
unidad de medida
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
AB – CD = DB.
La misura
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
■ Misura delle grandezze
La misura di una grandezza A rispetto a una grandezza U, presa come
unità di misura, è il numero che esprime quante volte la grandezza U, o
un suo sottomultiplo, è contenuta esattamente in A.
•
2
왘 misura
measure
mesure
medida
Per la misura di lunghezze, superfici, volumi, capacità, pesi si
usa il sistema metrico decimale.
•
Per la misura degli angoli si usa il sistema sessagesimale.
•
Per la misura del tempo si usa un sistema misto decimale e sessagesimale.
왘 volumi
volumes
volumes
volúmenes
왘 capacità
capacity
capacité
capacidad
왘 grandezza
quantity (or size)
grandeur
magnitud
왘 pesi
weights
poids
pesos
왘 unità
왘 sistema metrico decimale
metric system
système décimal (ou métrique)
sistema métrico decimal
왘 angolo
angle
angle
ángulo
왘 lunghezze
lengths
longueurs
longitudes
왘 sistema sessagesimale
sexagesimal system
système sexagésimal
sistema sexagesimal
왘 (sistema) misto
mixed
mixte
mixto
왘 superfici
surface areas
surfaces
superficies
di misura
unit of measurement
unité de mesure
unidad de medida
69
Unità
LA GEOMETRIA 1
LA GEOMETRIA 1
■ Misure di lunghezza
L’unità di misura fondamentale per misurare la lunghezza è il metro (m).
valore in metri
kilometro (km)
ettometro (hm)
decametro (dam)
1 km = 10 hm = 100 dam = 1 000 m
1 hm = 10 dam = 100 m
1 dam = 10 m
metro (m)
1m
decimetro (dm)
centimetro (cm)
millimetro (mm)
1 dm = 0,1 m
1 cm = 0,1 dm = 0,01 m
1 mm = 0,1 cm = 0,01 dm = 0,001 m
Per trasformare una misura di lunghezza di un certo ordine in un’altra di ordine
superiore/inferiore, devi dividerla/moltiplicarla per 10, 100, 1 000, …
30 m = 3 dam = 0,3 hm = 0,03 km;
30 m = 300 dm = 3 000 cm = 30 000 mm.
■ Misure di superficie
L’unità di misura fondamentale per misurare la superficie è il metro quadra- 왘 metro
quadrato
to (m2).
square meter
La misura della superficie è detta area.
sottomultipli
multipli
unità di misura
valore in metri quadrati
kilometro quadrato (km2)
ettometro quadrato (hm2)
decametro quadrato (dam2)
1 km2 = 100 hm2 = 10 000 dam2 = 1 000 000 m2
1 hm2 = 100 dam2 = 10 000 m2
1 dam2 = 100 m2
metro quadrato (m2)
1 m2
decimetro quadrato (dm2)
centimetro quadrato (cm2)
millimetro quadrato (mm2)
1 dm2 = 0,01 m2
1 cm2 = 0,01 dm2 = 0,0001 m2
1 mm2 = 0,01 cm2 = 0,0001 dm2 = 0,000001 m2
70
mètre carré
metro cuadrado
왘 area
area
aire
área
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
sottomultipli
multipli
unità di misura
왘 metro
meter
mètre
metro
L a mi su ra
2
Per trasformare una misura di superficie di un certo ordine in un’altra di ordine
superiore/inferiore, devi dividerla/moltiplicarla per 100, 10 000, …
30 m2 = 0,3 dam2 = 0,003 hm2 = 0,00003 km2;
30 m2 = 3 000 dm2 = 300 000 cm2 = 30 000 000 mm2.
■ Misure di volume
Il volume è la misura dello spazio occupato da un corpo.
L’unità di misura fondamentale per misurare il volume è il metro cubo (m3).
multipli
sottomultipli
valore in metri cubi
kilometro cubo (km3) 1 km3 = 1 000 hm3 = 1 000 000 dam3 = 1 000 000 000 m3
ettometro cubo (hm3) 1 hm3 = 1 000 dam3 = 1 000 000 m3
decametro cubo (dam3) 1 dam3 = 1 000 m3
metro cubo (m3)
1 m3
왘 metro cubo
cubic meter
mètre cube
metro cúbico
decimetro cubo (dm3) 1 dm3 = 0,001 m3
centimetro cubo (cm3) 1 cm3 = 0,001 dm3 = 0,000001 m3
millimetro cubo (mm3) 1 mm3 = 0,001 cm3 = 0,000001 dm3 = 0,000000001 m3
Per trasformare una misura di volume di un certo ordine in un’altra di ordine
왘 capacità
superiore/inferiore, devi dividerla/moltiplicarla per 1 000, 1 000 000, …
30 m3 = 0,03 dam3 = 0,00003 hm3 = 0,00000003 km3;
30 m3 = 30 000 dm3 = 30 000 000 cm3 = 30 000 000 000 mm3.
capacity
capacité
capacidad
■ Misure di capacità
La capacità è il volume di un recipiente cavo che può contenure liquidi.
L’unità di misura fondamentale per misurare la capacità è il litro (l).
multipli
unità di misura
sottomultipli
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
unità di misura
왘 volume
volume
volume
volumen
valore in litri
ettolitro (hl)
decalitro (dal)
1 hl = 10 dal = 100 l
1 dal = 10 l
litro (l)
1l
decilitro (dl)
centilitro (cl)
millilitro (ml)
1 dl = 0,1 l
1 cl = 0,1 dl = 0,01 l
1 ml = 0,1 cl = 0,01 dl = 0,001 l
왘 liquidi
liquids
liquides
líquidos
왘 litro
liter
litre
litro
71
LA GEOMETRIA 1
Per trasformare una misura di capacità di un certo ordine in un’altra di ordine
superiore/inferiore, devi dividerla/moltiplicarla per 10, 100, 1 000, …
45 l = 4,5 dal = 0,45 hl;
45 l = 450 dl = 4 500 cl = 45 000 ml.
■ Misure di peso
L’unità di misura fondamentale per misurare il peso è il kilogrammo (kg).
sottomultipli
megagrammo (Mg)
valore in kilogrammi
1 Mg = 1 000 kg
kilogrammo (kg)
1 kg
ettogrammo (hg)
decagrammo (dag)
grammo (g)
decigrammo (dg)
centigrammo (cg)
1 hg = 0,1 kg
1 dag = 0,1 hg = 0,01 kg
1 g = 0,1 dag = 0,01 hg = 0,001 kg
1 dg = 0,1 g = 0,01 dag = 0,001 hg = 0,0001 kg
1 cg = 0,1 dg = 0,01 g = 0,001 dag =
= 0,0001 hg = 0,00001 kg
1 mg = 0,1 cg = 0,01 dg = 0,001 g =
= 0,0001 dag = 0,00001 hg = 0,000001 kg
milligrammo (mg)
왘 kilogrammo
kilogram
kilogramme
kilogramo
Per trasformare una misura di peso di un certo ordine in un’altra di ordine
superiore/inferiore, devi dividerla/moltiplicarla per 10, 100, 1 000, …
25 kg = 0,025 Mg;
25 kg = 250 hg = 2 500 dag = 25 000 g.
■ Peso specifico
Il peso specifico ( ps) è il peso di una unità di volume di una certa sostanza. 왘 peso
ps =
P
V
Ogni sostanza è caratterizzata dal suo particolare peso specifico.
unità di misura
volume
peso
3
Mg (t)
m
kg
dm3
3
g
cm
72
specifico
specific gravity
poids spécifique
peso específico
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
multipli
unità di misura
왘 peso
weight
poids
peso
L a mi su ra
2
■ Misura del tempo
L’unità di misura fondamentale del tempo è il secondo (s).
sottomultipli
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
multipli
unità di misura
valore in secondi
ora (h)
minuto (m)
1h = 60m = 3 600s
1m = 60s
secondo (s)
1s
decimo di secondo (d)
centesimo di secondo (c)
1d = 0,1s
1c = 0,1d = 0,01s
왘 secondo
second
seconde
segundo
Il sistema di misura del tempo è sessagesimale se consideriamo i multipli del
secondo, decimale se consideriamo i sottomultipli del secondo.
Se il numero dei minuti e dei secondi è minore o uguale a 59 si dice che la
왘 forma normale
misura è espressa in forma normale.
Data, per esempio, la misura 3h 64m 128s, si ha:
3h 64m 128s
+
+
60s + 60s + 8s
m
2
66m
1h 60m + 6m
4h
normal form
forme normale
forma normal
la forma normale è: 4h 6m 8s.
■ Le quattro operazioni con le misure del tempo
A) Addizione
Considera l’esempio 3h 28m 50s + 5h 34m 28s:
3h 28m 50s +
5h 34m 28s =
8h 62m 78s
+
60s + 18s
m
+ 1
63m
60m + 3m
1h
9h
Ottieni: 9h 3m 18s.
73
LA GEOMETRIA 1
B) Sottrazione
Considera l’esempio 5h 45m 39s – 2h 29m 40s:
44m 99s
5h 45m 39s –
2h 29m 40s =
3h 15m 59s
Ottieni: 3h 15m 59s.
3h
28m 12s x
6 =
h
m
18 168 72s
+
60s + 12s
+
1m
169m
60m + 60m + 49m
2h
20h
Ottieni: 20h 49m 12s.
D) Divisione
Considera l’esempio 22h 21m 10s : 5:
22h
21m
+
10s : 5 = 4h 28m 14s
2h
120m
141m
1m
Ottieni: 4h 28m 14s.
74
+
60s
70s
0
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
C) Moltiplicazione
Considera l’esempio 3h 28m 12s x 6:
Gli angoli
3
■ Definizione di angolo
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
L’angolo è ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette 왘 angolo
angle
aventi l’origine in comune.
angolo
convesso
b
angolo
concavo
angle
ángulo
a
O
왘 angolo
concavo
Le due semirette si dicono lati e l’origine O si dice vertice dell’angolo.
lato
b
reflex angle
angle concave
ángulo cóncavo
a
O
lato
왘 angolo
vertice
convesso
^
aOb è il simbolo per indicare l’angolo.
convex angle
angle convexe
ángulo convexo
■ Angolo nullo, giro, piatto
Un angolo si dice angolo nullo se è privo di punti interni (0°).
O
왘 lati
sides
côtés
lados
왘 vertice
vertex
sommet
vértice
a
왘 angolo nullo
zero-degree angle
angle nul
ángulo nulo
75
Unità
LA GEOMETRIA 1
LA GEOMETRIA 1
Un angolo si dice angolo giro se i due lati concidono e contiene tutti i punti 왘 angolo giro
perigon (or round
del piano (360°).
or revolution) angle
angle plein
ángulo completo
o perigonal
a
O
Un angolo si dice angolo piatto se i suoi lati sono due semirette opposte
(180°).
a
O
■ Angolo retto, acuto, ottuso
Un angolo retto è la metà di un angolo piatto (90°).
B
A
O
왘 angolo retto
right angle
angle droit
ángulo recto
A
Un angolo si dice angolo acuto se è minore di un angolo retto (< 90°).
B
O
A
Un angolo si dice angolo ottuso se è maggiore di un angolo retto e minore
di un angolo piatto (> 90°; < 180°).
B
O
왘 angolo ottuso
obtuse angle
angle obtus
ángulo obtuso
76
A
왘 angolo acuto
acute angle
angle aigu
ángulo agudo
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
왘 angolo piatto
straight angle
angle plat
ángulo plano
G l i an go l i
3
■ Angoli consecutivi e angoli adiacenti
Due angoli si dicono angoli consecutivi quando hanno un lato e il verti- 왘 angoli
consecutivi
ce in comune.
C
B
O
A
adjacent angles
angles consécutifs
ángulos
consecutivos
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
Due angoli si dicono angoli adiacenti quando sono consecutivi e i lati
non comuni sono sulla stessa retta.
왘 angoli
adiacenti
supplementary
angles
angles adjacents
ángulos adyacentes
■ Bisettrice di un angolo
La bisettrice di un angolo è la semiretta che ha origine nel vertice dell’angolo e lo divide in due parti congruenti.
B
bisettrice
C
O
A
■ Addizione e sottrazione di angoli
왘 bisettrice
(angle) bisector
bissectrice
bisectriz
Si dice somma di due angoli consecutivi l’angolo che ha come lati i lati non
comuni degli angoli considerati e contiene al suo interno il lato comune:
C
O
B
A
^
^
^
AO B + BO C = AO C.
왘 (angoli) congruenti
congruent
congrus
congruentes
77
LA GEOMETRIA 1
Per addizionare due angoli non consecutivi è necessario disegnarli in modo tale
che risultino consecutivi:
B
A
^
^
^
α + β = AO B.
La differenza di due angoli è un terzo angolo che addizionato al minore dà
come somma l’angolo maggiore:
왘 angoli
complementari
α^ – β^ = ^
γ.
■ Angoli complementari, supplementari, esplementari
Due angoli si dicono angoli complementari se la loro somma è un angolo
retto:
C
B
O
^
complementary
angles
angles
complémentaires
ángulos
complementarios
A
^
^
AO B + BO C = AO C = 90°.
왘 angoli
supplementari
Due angoli si dicono angoli supplementari se la loro somma è un angolo
piatto:
B
C
^
A
O
^
^
AO B + BO C = AO C = 180°.
78
supplementary
angles
angles
supplémentaires
ángulos
suplementarios
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
O
G l i an go l i
3
Due angoli si dicono angoli esplementari se la loro somma è un angolo 왘 angoli
esplementari
giro.
explementary angles
or conjugate angles
angles pleins
ángulos conjugados
B
O
A
^
^
AO B + BO A = 360°.
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
■ Angoli opposti al vertice
Due angoli sono angoli opposti al vertice se i lati dell’uno sono le
semirette opposte dei lati dell’altro.
Due angoli opposti al vertice sono congruenti.
^
^
AO D = BO C;
^
^
AO C = BO D.
왘 angoli
opposti
al vertice
vertical
(or opposite) angles
angles opposés
par le sommet
ángulos opuestos
por el vértice
■ Misura degli angoli
L’ampiezza di un angolo si misura in:
•
•
•
gradi
(°) ➝ il grado si ottiene dividendo l’angolo giro
in 360 parti uguali;
primi (’) ➝ il primo si ottiene dividendo il grado
in 60 parti uguali;
secondi (”) ➝ il secondo si ottiene dividendo il primo
in 60 parti uguali.
왘 ampiezza
width
ouverture
amplitud
Questo sistema di misura è detto sessagesimale, perché 60 unità di un certo 왘 gradi
degrees
ordine costituiscono una unità dell’ordine immediatamente superiore.
1° = 60’;
1’ = 60”;
1° = 3 600”.
왘 secondi
seconds
secondes
segundos
왘 sessagesimale
sexagesimal
sexagésimal
sexagesimal
degrés
grados
왘 primi
minutes
minutes
minutos
79
LA GEOMETRIA 1
■ Calcoli con le misure degli angoli
Le quattro operazioni con le misure degli angoli si eseguono con gli stessi procedimenti già visti per le operazioni con le misure del tempo.
A) Addizione
α^ + β^ = ^
γ
α^ = 15° 28’ 50”;
β^ = 110° 34’ 28”.
+
28’
34’
62’
+
50” +
28” =
78”
60” + 18”
1’
63’
60’ + 3’
1°
126°
γ^ = 126° 3’ 18”.
B) Sottrazione
α^ – β^ = ^
γ
α^ = 160° 45’ 39”;
β^ = 51° 29’ 40”.
44’
160° 45’
51° 29’
109° 15’
γ^ = 109° 15’ 59”.
80
99”
39” –
40” =
59”
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
15°
110°
125°
G l i an go l i
3
C) Moltiplicazione
α^ × 6 = ^
γ
α^ = 35° 28’ 12”.
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
35°
28’ 12” x
6 =
210° 168’ 72”
+
60” + 12”
+
1’
169’
60’ + 60’ + 49’
2°
212°
γ^ = 212° 49’ 12”.
D) Divisione
α^ : 5 = ^
γ
α^ = 92° 21’ 10”.
92°
21’
+
10” : 5 = 18° 28’ 14”
2°
120’
141’
1’
+
60”
70”
0
γ^ = 18° 28’ 14”.
81
Unità
4
LA GEOMETRIA 1
Rette perpendicolari
e rette parallele
■ Posizioni reciproche delle rette complanari
Due rette che stanno sullo stesso piano si dicono rette complanari.
왘 rette
complanari
s
P
coplanar lines
droites coplanaires
rectas complanarias
t
Le rette perpendicolari sono incidenti e formano quattro angoli retti.
Si indicano così: s ⬜ t.
s
왘 rette
incidenti
P
t
α^ = 90°;
γ^ = 90°;
β^ = 90°;
δ^ = 90°.
Le rette parallele non hanno alcun punto in comune.
Si indicano così: s || t.
s
t
왘 rette parallele
parallel lines
droites parallèles
rectas paralelas
82
incident lines
droites sécantes
rectas incidentes
왘 rette
perpendicolari
perpendicular
lines
droites
perpendiculaires
rectas
perpendiculares
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
Due rette si dicono rette incidenti se hanno un solo punto in comune.
Re t t e p e r
i e re t
r
a
l
o
c
i
d
pen
te pa r a l l el e
Le rette coincidenti hanno tutti i punti in comune.
Si indicano così: s ≡ t.
4
왘 rette
coincidenti
coinciding lines
droites coïncidentes
rectas coincidentes
s
t
■ Distanza di un punto da una retta
La distanza fra una retta r e un punto P dello stesso piano, ma non appartenente a r, è il segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta.
Il punto H è detto piede della perpendicolare.
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
P
PH: distanza
di P da r
r
왘 distanza
distance
distance
distancia
H
H: piede della perpendicolare
■ Asse di un segmento
L’asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento nel suo 왘 piede della
perpendicolare
punto medio.
r
—
r ⬜ AB ;
asse di AB
— —
AM = MB .
■ Distanza di due rette parallele
La distanza di due rette parallele è la distanza di un qualsiasi punto di una di
esse dall’altra.
A
B
perpendicular foot
pied d’une
perpendiculaire
pie de la
perpendicular
왘 asse di un
segmento
axis
médiatrice
eje de un segmento
r
distanza (AA’ = BB’)
s
A'
B'
83
Unità
5
LA GEOMETRIA 1
I poligoni e la loro
rappresentazione
nel piano cartesiano
Si dice poligono la parte di piano limitata da una spezzata chiusa semplice.
lato
D
vertice
왘 poligono
polygon
polygone
polígono
C
E
B
angolo
A
ABCDE
➝ poligono;
A, B, C, D, E
➝ vertici;
AB, BC, CD, DE, EA ➝ lati;
^^ ^^ ^
A , B, C, D , E
➝ angoli.
In un poligono ogni lato è minore della somma degli altri lati.
La somma dei lati è detta perimetro.
numero dei lati
3
4
5
6
7
8
왘 esagono
hexagon
hexagone
hexágono
84
왘 ettagono
heptagon
heptagone
heptágono
nome del poligono
triangolo
quadrilatero
pentagono
esagono
ettagono
ottagono
왘 ottagono
octagon
octogone
octágono
왘 perimetro
perimeter
périmètre
perímetro
왘 triangolo
triangle
triangle
triángulo
왘 quadrilatero
quadrilateral
quadrilatère
cuadrilátero
왘 pentagono
pentagon
pentagone
pentágono
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
■ Modelli di poligoni
I pol ig o
ni e la lor o rappresent
o c a r t es i a n o
n
a
i
p
l
e
n
az io n e
5
■ Diagonali e angoli di un poligono
A) Diagonali
La diagonale di un poligono è un segmento che unisce due vertici non 왘 diagonale
diagonal
consecutivi.
diagonale
diagonal
D
diagonale
C
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
E
B
A
AC, AD, BD, BE, CE ➝ diagonali.
Il numero totale delle diagonali di un poligono di n lati è:
n × (n – 3) .
2
Per esempio, nel pentagono ABCDE (n = 5) le diagonali sono cinque, infatti si ha:
5 × (5 – 3) = 5.
2
B) Angoli
^ ^ ^ ^
A , B, C, D sono angoli interni del poligono.
Un poligono di n lati ha n angoli interni.
interni
interior angles
angles intérieurs
ángulos interiores
C
D
왘 angoli
A
B
Un angolo adiacente a un angolo interno si dice angolo esterno.
esterno
D
exterior angle
angle extérieur
ángulo exterior
C
A
왘 angolo
B
E
85
LA GEOMETRIA 1
■ Poligoni regolari
Un poligono si dice equilatero se ha i lati congruenti.
왘 (poligono)
equilatero
C
equilateral
équilatéral
equilátero
B
D
A
Per esempio, il rombo è un poligono equilatero.
Un poligono si dice equiangolo se ha gli angoli congruenti.
왘 (poligono)
equiangolo
D
C
A
B
^
^
^
equiangular
équiangle
equiángulo
^
A = B = C = D.
Per esempio, il rettangolo è un poligono equiangolo.
Un poligono si dice regolare se ha i lati e gli angoli congruenti.
왘 (poligono)
regolare
D
C
A
B
AB = BC = CD = DA;
^ ^ ^
A = B = C = D.
^
Per esempio, il quadrato è un poligono regolare.
86
regular
régulier
regular
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
AB = BC = CD = DA.
I po l ig
oni e la
l o r o r a p p r es e n t
o c a r t es i a n o
n
a
i
p
l
e
n
az io ne
■ Il piano cartesiano
Il piano cartesiano è individuato da due semirette perpendicolari fra loro
che hanno l’origine in comune.
ascissa
y
P (3; 1)
semiasse
delle
ordinate
coordinate
cartesiane
P
1
3
O
origine
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
ordinata
5
왘 piano
cartesiano
Cartesian coordinate
system
or rectangular
coordinate system
plan cartésien
plano cartesiano
x
semiasse
delle ascisse
A ogni punto P del piano cartesiano corrisponde una coppia ordinata (a; b) di
numeri. I due numeri si dicono coordinate cartesiane di P; in particola- 왘 coordinate
cartesiane
re, a è detta ascissa, b è detta ordinata:
P (3; 1).
Nel piano cartesiano si possono rappresentare poligoni di cui si conoscono le
coordinate cartesiane dei vertici.
Cartesian
coordinates
coordonnées
cartésiennes
coordenadas
cartesianas
Per esempio, il quadrilatero di vertici
A (2; 2); B (9; 3); C (8; 7); D (3; 9)
è rappresentato nel piano cartesiano.
왘 ascissa
abscissa
abscisse
abscisa
y
D
C
왘 ordinata
ordinate
ordonnée
ordenada
B
A
1
O
1
x
87
Unità
6
LA GEOMETRIA 1
I triangoli
■ Elementi fondamentali del triangolo e proprietà dei lati
Un triangolo è un poligono con tre lati.
C
lato
A
B
angolo
A, B, C ➝ vertici
AB, BC, CA ➝ lati
^^^
A , B , C ➝ angoli
In un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due.
In un triangolo ogni lato è maggiore della differenza degli altri due.
■ Proprietà degli angoli di un triangolo
La somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto:
^
^
^
A + B + C = 180°.
La somma degli angoli esterni di un triangolo è di due angoli piatti (360°).
■ Classificazione dei triangoli
A) Rispetto ai lati
Triangolo scaleno: ha i tre lati disuguali.
왘 triangolo
scaleno
C
A
B
AB ≠ BC ≠ CA.
88
scalene triangle
triangle scalène
triángulo escaleno
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
vertice
왘 triangolo
triangle
triangle
triángulo
I tr ian go l i
Triangolo isoscele: ha due lati congruenti.
왘 triangolo
isoscele
F
D
6
isosceles triangle
triangle isocèle
triángulo isósceles
E
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
DF = EF.
Triangolo equilatero: ha i tre lati congruenti.
equilatero
L
G
왘 triangolo
equilateral triangle
triangle équilatéral
triángulo equilátero
I
GI = IL = LG.
B) Rispetto agli angoli
Triangolo acutangolo: ha i tre angoli acuti.
C
B
A
^
A < 90°;
B < 90°;
^
C < 90°.
^
왘 triangolo acutangolo
acute triangle
triangle acutangle
triángulo acutángulo
89
LA GEOMETRIA 1
Triangolo rettangolo: ha un angolo retto e due angoli acuti.
왘 triangolo
rettangolo
C
right triangle
triangle rectangle
triángulo rectángulo
B
A
^
A = 90°;
B < 90°;
^
C < 90°.
^
ottusangolo
C
obtuse triangle
triangle obtusangle
triángulo obtusángulo
B
A
^
A > 90°;
B < 90°;
^
C < 90°.
^
C) Rispetto agli angoli e ai lati
Un triangolo acutangolo può essere:
F
C
I
A
B
D
equilatero
E
H
G
isoscele
scaleno
Un triangolo rettangolo può essere:
C
F
A
B
isoscele
90
왘 triangolo
E
D
scaleno
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
Triangolo ottusangolo: ha un angolo ottuso e due angoli acuti.
I tr ian go l i
6
Un triangolo ottusangolo può essere:
C
F
A
D
B
isoscele
scaleno
E
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
■ Altezze e ortocentro di un triangolo
In un triangolo ci sono tre altezze; ogni altezza è perpendicolare al relativo lato.
Le tre altezze si incontrano in un punto detto ortocentro.
C
I
K
ortocentro
A
H
altezza
B
CH ⬜ AB;
AK ⬜ BC;
BI ⬜ CA.
■ Proprietà dei triangoli
A) Proprietà del triangolo isoscele
C
A
H
B
CA = BC;
^
A = B.
^
CH è l’altezza relativa al lato AB e lo divide in due parti congruenti:
AH = HB.
91
LA GEOMETRIA 1
B) Proprietà del triangolo equilatero
C
L
I
O
A
B
H
AB = BC = CA;
^ ^
A = B = C = 60°.
^
AH = HB.
BL è l’altezza relativa al lato CA e lo divide in due parti congruenti:
CL = LA.
AI è l’altezza relativa al lato BC e lo divide in due parti congruenti:
BI = IC.
C) Proprietà del triangolo rettangolo
C
ipotenusa
cateto maggiore
A
B
cateto minore
^
A = 90°;
^
B + C = 90°.
^
AC è l’altezza relativa al lato AB.
AB è l’altezza relativa al lato CA.
I lati del triangolo rettangolo sono detti:
• cateto maggiore e cateto minore, i lati dell’angolo retto;
• ipotenusa, il lato opposto all’angolo retto.
92
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
CH è l’altezza relativa al lato AB e lo divide in due parti congruenti:
I quadrilateri
7
■ Caratteristiche generali dei quadrilateri
Un quadrilatero è un poligono con quattro lati e quattro angoli.
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
D
C
vertice
angolo
왘 quadrilatero
quadrilateral
quadrilatère
cuadrilátero
diagonale
A
B
lato
^^^ ^
A, B, C, D
➝ vertici;
AB, BC, CD, DA ➝ lati;
A , B , C , D ➝ angoli;
AC, BD
➝ diagonali.
La somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360°:
^
^
^
^
A + B + C + D = 360°.
La somma degli angoli esterni di un quadrilatero è di due angoli piatti (360°).
■ Trapezio
왘 trapezio
trapezoid
trapèze
trapecio
Un trapezio è un quadrilatero con due lati opposti paralleli. I lati paralleli si
dicono basi (base maggiore, base minore). La distanza fra le due basi è
detta altezza.
base minore
lato
altezza
base maggiore
AB || CD;
^
A + D = 180°;
^ ^
B + C = 180°.
^
왘 base maggiore
longer side
grande base
base mayor
왘 base minore
smaller side
petite base
base menor
93
Unità
LA GEOMETRIA 1
LA GEOMETRIA 1
•
Trapezio rettangolo: ha uno dei due lati non paralleli perpendicolare alle basi.
왘 trapezio
rettangolo
right trapezoid
trapèze rectangle
trapecio rectángulo
•
Trapezio isoscele: ha due lati congruenti.
왘 trapezio
isoscele
isosceles trapezoid
trapèze isocèle
trapecio isósceles
BC = DA;
^
A = B;
^ ^
C = D;
AC = BD.
^
■ Parallelogrammo
Un parallelogrammo è un quadrilatero con i lati opposti paralleli.
AB || CD;
DA || BC;
AB = CD;
DA = BC;
^ ^
A = C;
^ ^
B = D;
AO = OC;
BO = OD.
94
왘 parallelogrammo
parallelogram
parallélogramme
paralelogramo
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
DA ⬜ CD;
DA ⬜ AB;
^ ^
A = D = 90°.
I q u a d r i l a t e ri
■ Rettangolo
Un rettangolo è un parallelogrammo con quattro angoli retti.
^
^
^
7
왘 rettangolo
rectangle
rectangle
rectángulo
^
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
A = B = C = D = 90°;
AB = CD; BC = DA;
AC = BD.
■ Rombo
Un rombo è un parallelogrammo con quattro lati congruenti.
왘 rombo
rhombus
losange
rombo
AB = BC = CD = DA;
^
^ ^
A = C; B = D;
AC ⬜ BD.
^
■ Quadrato
Il quadrato è un parallelogrammo che ha i lati e gli angoli congruenti.
왘 quadrato
square
carré
cuadrado
AB = BC = CD = DA;
^ ^ ^
A = B = C = D = 90°;
AC = BD; AC ⬜ BD.
^
95
LA GEOMETRIA 1
■ La classificazione dei quadrilateri
Quadrilateri
Trapezio
Il trapezio è un quadrilatero
con due lati opposti paralleli
Il parallelogrammo è un quadrilatero
con i lati paralleli a due a due
Rettangolo
Il rettangolo è un parallelogrammo
con i quattro angoli retti
Rombo
Il rombo è un parallelogrammo
con i quattro lati congruenti
Quadrato
Il quadrato è un particolare
rettangolo perché ha gli angoli
congruenti ed è anche un particolare
rombo perché ha i lati congruenti
96
© 2009 Diffusione Scolastica Srl – Novara Pagina fotocopiabile e scaricabile dal sito: www.scuola.com
Parallelogrammo
