similitudine - Mimmo Corrado

SIMILITUDINE
Un triangolo rettangolo ha l’angolo = 60°. La
bisettrice dell’angolo misura 6 . Calcola il
perimetro del triangolo .
Problema 228.179
La bisettrice divide l’angolo = 60° in due angoli di
30°, quindi il triangolo è isoscele.
Soluzione
= 6 .
Pertanto = Il triangolo è la metà di un triangolo equilatero.
= = 3 .
Pertanto Applicando il T. di Pitagora al triangolo si ha:
= = 6 − 3 =
− = √36 − 9 = √27 = 3√3 .
= + = 3 + 6 = 9 .
Pertanto = 2 = 6√3 .
Mentre La misura del perimetro del triangolo è:
+ + = 3√3 + 6√3 + 9 = 9√3 + 9 = 9√3 + 1 .
2 = Matematica
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1
= 12 = 16 , , "
# = 90° .
Nel triangolo rettangolo raffigurato a lato, " = "
Calcola l’area del triangolo $".
Problema 228.136
Applicando il T. di Pitagora al triangolo si ha:
Soluzione
= + = 16 + 12 =
= √256 + 144 = √400 = 20 = 10 .
Pertanto " = "
I triangoli e " sono simili. Infatti:
L’angolo è in comune
# perché entrambi retti.
' ≅ "
= "
;
∶ " ∶ Pertanto hanno i lati corrispondenti in proporzione:
10 ∶ 16 = " ∶ 12 ;
10 ∙ 12
15
=
16
2
1
1
15
75
∙ "
= / ∙ 10 ∙ 0 =
∙ "
2
2
2
2
In definitiva l’area vale:
,-. =
=
"
Matematica
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2
= 9 , = 12 e "1
# = 90° . Calcola il
Nel triangolo rettangolo raffigurato a lato, perimetro del triangolo "1.
Problema 228.140
Applicando il T. di Pitagora al triangolo si ha:
Soluzione 1
= + = 9 + 12 =
= √81 + 144 = √225 = 15 L’area del triangolo è:
1
1
∙ = ∙ 9 ∙ 12 = 54 ∙ 2
2
L’altezza relativa all’ipotenusa misura:
, =
=
"
2 ∙ , 2 ∙ 54
36
=
=
15
5
Applicando il T. di Pitagora al triangolo " si ha:
− "
= = 312 − 4568 = 3144 − 96 = 35:; = ;< .
"
7
7
7
7
Inoltre i triangoli e "1 sono simili. Infatti:
L’angolo ' è in comune
# " perché entrambi retti.
' ≅ 1
= "
∶ ;
∶ "1
Pertanto hanno i lati corrispondenti in proporzione:
48
5 = 9 ∙ 48 ∙ 1 = 144 ∶ 9 =
=
"1
∶ 15 ;
"1
5
15
5 15
25
Applicando il T. di Pitagora al triangolo "1 si ha:
9∙
48
= "
− "1
= 34568 − 4;;8 = 396 − :=56 = 35;::>:=56 = 366; = :< 1
7
7
7
67
67
67
7
La misura del perimetro del triangolo "1 è:
+ "1
= /
+ 1
2.? = "
36 144 108
180 + 144 + 108
432
+
+
0 =
=
.
5
25
25
25
25
Dopo aver determinato le misure dell’ipotenusa e dell’altezza relativa all’ipotenusa " , si sfrutta la
similitudine dei triangoli e "1 :
Soluzione 2
∶ = "1
;
∶ "
36
36 1
144
= 12 ∙
: 15 = "1 ∶ 12 ;
"1
∙
=
5
5 15
25
.
Si calcola in seguito, con il T. di Pitagora, la misura di 1
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3
In un triangolo rettangolo , di cateti 16 e 12 , traccia l’altezza " relativa all’ipotenusa e la
bisettrice 1 dell’angolo retto. Calcola l’area del triangolo "1.
Problema 292.202
Applicando il T. di Pitagora al triangolo si ha:
Soluzione
= + = 12 + 16 =
= √400 = 20 L’area del triangolo vale:
∙ = 4 ∙ 12 ∙ 168 = 96 .
, = 2 ∙ , 2 ∙ 96
48
=
=
.
20
5
L’altezza relativa all’ipotenusa misura:
=
"
Ricordando il T. della bisettrice:
“La bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti direttamente proporzionali agli altri due
lati”,
∶ ∶ 1
1 = ∶ 1
1 = 12 ∶ 16 ;
si ottiene:
= B
Ponendo 1
⇒
= 12 ∶ 16 ;
B ∶ 1
+ 1
= 20
Considerando che: 1
4
B + B = 20 ;
3
si ha:
3B + 4B = 60 ;
7B = 60 ;
= ; ∙ 6: = <: .
= 60 e 1
Pertanto 1
7
5 =
=
Applicando il T. di Pitagora al triangolo " si ha:
= 6D = ; B .
1
5
B=
60
7
= − "
= 312 − 4;< 8 = 3144 − 5:; = 396 = 56 .
"
7
7
7
7
− "
= 4 − 8 =
= 1
Si ricava quindi: "1
7
7
60
56
5::>7
57
1 48 48
1152
1
= / ∙
,.? = "1 ∙ "
∙ 0 =
2 35 5
175
2
= 57 .
;<
In definitiva l’area vale:
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4
= 16 e altezza Un rettangolo di perimetro 28 è inscritto in un triangolo di base " = 12 .
Calcola le dimensioni del rettangolo.
Problema 294.217
I triangoli e sono simili. Infatti:
L’angolo ' è in comune
# perché corrispondenti ….
' ≅ ≅ perché corrispondenti ….
Soluzione
Ricordando il teorema:
“In due triangoli simili le basi sono proporzionali alle rispettive altezze”
∶ ∶ 1
= "
si ha:
= B
Ponendo E
⇒
= "
− E
= 12 − B
1
16 ∶ 14 − B = 12 ∶ 12 − B ;
12 ∙ 14 − B = 16 ∙ 12 − B ;
= 14 − B
168 − 12B = 192 − 16B ;
−12B + 16B = 192 − 168 ;
4B = 24 ;
B =6.
= 6 è Pertanto E
= 8 .
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5
In una circonferenza di centro F inscrivi un triangolo isoscele avente la base di 16 e i lati obliqui di 20 ciascuno. Calcola la misura del raggio.
Problema 206.113
= 8 2
Applicando il T. di Pitagora al triangolo " si ha:
Soluzione 1
=
"
− "
= 20 − 8 = √336 = 4√21 " = Applicando il I T. di Euclide al triangolo si ha:
= "
∙ ;
=
400
4√21
=
100
=
√21
Pertanto il raggio misura:
G=
50 √21
=
.
2
21
;
20 = 4√21 ∙ 100 √21
21
100 √21
∙
=
.
21
21
√21 √21
Soluzione 2
∶ ∶ HD
;
CH
AH = HB
Applicando il T. delle corde si ha:
HD =
8∙8
4√21
Pertanto:
=
16
√21
=
16
∙
√
√21
√21 √21
√
=
4√21 ∶ 8 = 8 ∶ HD
16 √21
21
16 √21
84√21 + 16 √21
100√21
4√21 + 21
50 √21
" + "
21
21
=
=
=
=
.
G =
2
2
2
2
21
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6
Due corde AB e CD di una circonferenza di raggio 10 si intersecano in un punto $ interno a essa. Sapendo
= 7cm e le parti un cui è divisa CD sono lunghe 6 e 2 , determina le lunghezze delle parti in
che AB
cui è divisa la corda AB.
Problema 206.116
= B
Ponendo $
= 7 − B
⇒ $
Soluzione
Applicando il teorema delle corde si ha:
$: $ = $: $
6 ∶ B = 7 − B ∶ 2 ;
B ∙ 7 − B = 6 ∙ 2 ;
7B − B = 12 ;
B − 7B + 12 = 0 ;
B = 3
B = 4
= 3 e $
= 4 .
Pertanto $
Da un punto $ esterno a una circonferenza e distante 20 dal centro F di essa, conduci una tangente
lunga 12 cm . Determina la lunghezza del raggio.
Problema 206.117
Applicando il T. di Pitagora al triangolo $F si ha:
Soluzione 1
= F$
− $
= 20 − 12 =
G = F
= √400 − 144 = √256 = 16 .
= B
Ponendo F
Soluzione 2
⇒
∶ $ ∶ $ = $
$ ;
= 20 − B e $
= 20 + B
$
Applicando il T. della tangente si ha:
20 + B ∶ 12 = 12: 20 − B
20 + B ∙ 20 − B = 12 ∙ 12 ;
400 − B = 144 ;
B = 256 ;
B = ∓√256 = ∓16 .
Scartando la soluzione negativa si ha: G = F = 16 .
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7
L’area di un triangolo rettangolo è 80 e l’ipotenusa è lunga 20 . Calcola la misura dei cateti.
Problema 214.173
Soluzione 1
2 , 2 ∙ 80
=
= 8 .
20
I triangoli " e " sono simili. Infatti:
L’altezza relativa all’ipotenusa misura:
" =
# ≅ "
# ≅ 90° .
"
' " ≅ 90° − "' ≅ ∶ ∶ "
" = "
"
= B e Ponendo "
" = 20 − B si ottiene:
Pertanto i lati corrispondenti sono proporzionali:
B ∶ 8 = 8 ∶ 20 − B ;
B − 20B + 64 = 0 ;
B ∙ 20 − B = 8 ∙ 8 ;
= 4 Pertanto "
∆
= 10 − 64 = 36 ;
4
= 16 .
"
Applicando il T. di Pitagora al triangolo " si ha:
e
20B − B = 64 ;
B, = 10 ∓ 6 =
B = 4
B = 16
= = 8 + 4 = √64 + 16 = √80 = 4√5 " + "
Applicando il T. di Pitagora al triangolo " si ha:
= = 8 + 16 = √64 + 256 = √320 = 8√5 " + "
Soluzione 2
2 , 2 ∙ 80
=
= 8 .
20
= B ⇒ Ponendo "
" = 20 − B
L’altezza relativa all’ipotenusa misura:
" =
Applicando il II T. di Euclide al triangolo si ha:
∙ "
;
" = "
8 = B ∙ 20 − B ;
B − 20B + 64 = 0 ;
= 4 Pertanto "
∆
= 10 − 64 = 36 ;
4
= 16 .
"
64 = 20B − B ;
B, = 10 ∓ 6 =
Applicando il T. di Pitagora al triangolo " si ha:
e
B = 4
B = 16
= = 8 + 4 = √64 + 16 = √80 = 4√5 " + "
Applicando il T. di Pitagora al triangolo " si ha:
= = 8 + 16 = √64 + 256 = √320 = 8√5 " + "
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8
= 10 , = 15 , Nel triangolo isoscele raffigurato a lato, = 5 Problema 215.180
e ∥ . Calcola il perimetro e l’area del triangolo CLM.
Il perimetro del triangolo misura:
Soluzione
+ = 10 + 15 + 15 = 40 + 2 = Applicando il T. di Pitagora al triangolo " si ha:
− "
= √225 − 25 = √200 = 10√2 " = L’area de triangolo vale:
∙ "
= 4 10 ∙ 10√28 = 50√2 .
, = I triangoli e " sono simili. Infatti:
' è in comune
# perché angoli corrispondenti fra DE ∥ AB tagliate da AC
#E ≅ A
CD
≅ perché angoli corrispondenti fra ∥ tagliate da Ricordando il teorema:
“Il rapporto fra i perimetri di due triangoli simili è uguale al rapporto fra le misure dei lati corrispondenti”,
si ottiene:
2
∶ ;
∶ 2 = 40 ∶ 2 = 15 ∶ 5
Ricordando il teorema:
2
=
40 ∙ 5
40
=
.
15
3
“Il rapporto fra le aree di due triangoli simili è uguale al rapporto fra i quadrati delle misure dei lati
corrispondenti”, si ha:
,-V
=
;
,
,-V =
,-V
5
= ;
15
50√2
50
√2 2 .
9
,-V
50√2
=
25
;
225
,-V
50√2
=
1
;
9
Problema 215.181
Un rettangolo il cui perimetro è 15a è simile a un altro rettangolo la cui base è 8a e la cui altezza è 2a. Calcola
la misura dei lati e l’area del primo rettangolo.
Il perimetro del rettangolo W X è
Soluzione
YZ = 2 ∙ 8[ + 2[ = 20[
Essendo i due rettangoli W e W X simili, si ha che i perimetri sono proporzionali ai lati corrispondenti:
Y ∶ YZ = \ ∶ \ X
15[ ∶ 20[ = \ ∶ 8[
L’altezza ℎ =
7
Matematica
\=
7] ∙ <]
:]
= 6[ .
[ − 6[ = [ . L’area del rettangolo W è: , = \ ∙ ℎ = 6[ ∙ [ = 9[ .
5
da cui si ottiene:
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5
9
Problema 215.184
Il lato AB di un triangolo ABC misura a. Conduci da un punto P di AB la parallela PQ a un altro lato in modo che
il triangolo risulti suddiviso in due poligoni equivalenti.
= B
Poniamo $
Soluzione 1
Con i limiti geometrici: 0 < B < [
I due triangoli $`
perché:
e
sono simili
l’angolo ' è in comune
` $ ≅ ' (angoli corrispondenti)
$ ` ≅ (angoli corrispondenti)
Pertanto i due triangoli $` e hanno i lati proporzionali alle altezze corrispondenti:
∶ = `"
∶ 1
$
∶ 1
;
B ∶ [ = `"
L’equivalenza fra il triangolo $`
e il trapezio `$
$` ≗ `$ In simboli:
⇔
Sostituendo i dati conosciuti si ha:
∙?
= 2∙
∙d.
c
;
= 2 ∙ B ∙ D 1
;
[ ∙ 1
]
B
[ =2∙
;
[
B = ∓3
[
=∓
√
[=
√
∓ [
B = −
B =
⇔
√
[
√
+[
= D `"
1
]
l’area del triangolo ABC è il doppio
dell’area del triangolo $`
∙ 1
= 2 ∙ $
∙ `"
;
[ = 2B ;
=
⇔
≗ 2 ∙ $`
≠ 0
dividendo per 1
da cui si ottiene:
, = 2 ∙ ,cd
si ottiene:
[
B =
;
2
fgf [hii[\jkh
[hii[\jkh
Soluzione 2
Ricordando il teorema:
“Il rapporto fra le aree di due triangoli simili è uguale al rapporto fra i quadrati delle misure dei lati
corrispondenti”, si ha:
∶ $
= , ∶ ,cd ;
[ ∙ ,cd
B =
2,cd
B = ∓3
[
;
=∓
Matematica
√
[=
√
∓ [
[ ∶ B = 2 ,cd ∶ ,cd ;
=
B = −
B =
√
[
√
+[
B =
1 [ ;
2
fgf [hii[\jkh
[hii[\jkh
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10
Considera una circonferenza avente il raggio di 3 e circoscrivi a essa un triangolo isoscele sulla base
6
. Il rapporto tra l’altezza " e la base è . Determina le lunghezze dei lati del triangolo.
Problema 215.191
7
Soluzione
= B
Poniamo "
= 6 2B = B
"
=
F
7
7
⇒
7
B−3
= 2B
= 3;; B + B = 369 B = 5 B .
7
7
7
Dalla similitudine dei triangoli F e " si ottiene:
∶ = F
∶ F
" ;
39
12
B = B ∙ / B − 30 ;
5
5
B=0
9
2B − 9B = 0 ;
B=
2
Pertanto:
12
13
B − 30 ∶
B=3∶B
5
5
39
12 B=
B − 3B ;
5
5
/
12B − 54B = 0 ;
9
= 9 2
13 9 117
=
∙ =
= 11,7 .
5 2
10
= 2 ∙
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11
Problema 215.192
É dato un triangolo rettangolo il cui cateto è 12 . Si sa, inoltre, che il cateto è di .
;
Determina su un punto $ in modo tale che, detta ` la sua proiezione ortogonale su , sussista la
+ 2$`
= 40$
− 3 .
relazione: $
5
Soluzione
3
∙ 12 = 9 4
Calcoliamo innanzitutto le misure degli altri due lati:
=
= 12 + 9 = √144 + 81 = √225 = 15 = B ⇒ Indicando: $
$ = 12 − B
geometrici 0 < B < 12 .
con i vincoli
Dalla similitudine dei due triangoli e $` (l’angolo in comune e ' = $` = 90°) si ottiene:
∶ = $
;
∶ $`
∶ 9 = 12 − B ∶ 15 ;
$`
=
$`
= $
;
∶ ∶ `
∶ 12 = 12 − B ∶ 15 ;
`
=
`
Mentre
4
75 − 48 + 4B 27 + 4B
= − `
= 15 − 12 − B =
`
=
5
5
5
Applicando il T. di Pitagora al triangolo rettangolo CPQ si ricava:
Pertanto:
9 ∙ 12 − B 3
= 12 − B .
15
5
12 ∙ 12 − B 4
= 12 − B .
15
5
3
27 + 4B 9
729 + 16B + 216B
= $`
+ `
= l 12 − Bm + /
144 + B − 24B +
$
0 =
=
5
25
5
25
1296 + 9B − 216B + 729 + 16B + 216B 2025 + 25B =
=
= 81 + B .
25
25
= 40$
− 3 si ottiene:
Sostituendo le espressioni trovate nella relazione: $ + 2$`
81 + B + 2 ∙
9
144 + B − 24B = 40B − 3 ;
25
Da cui si ricavano le radici: B = 2 e B = − 59 .
=<
Pertanto il punto P si trova a 2 dal vertice .
Di queste radici soltanto quella positiva è accettabile.
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12
Un rettangolo ha la superficie di 80 . Se si aumentano le sue dimensioni ciascuna di 2 , l’area aumenta
di 46 . Calcola la misura delle dimensioni.
x
2
Problema 215.193
y
Soluzione
Ponendo le dimensioni del rettangolo uguali a B e n.
Si ottiene il sistema:
B ∙ n = 80
o
B + 2n + 2 = 80 + 46
80
B
p
q
80
80
B∙
+ 2B + 2 ∙
= 122
B
B
n=
80
p
on = B
2B − 42B + 160 = 0
Da cui si ricava:
B,
80
n=
p
o
B
Bn + 2B + 2n + 4 = 126
q
n=
80
B
80 + 2B +
p
160
− 122 = 0
B
80
p
on = B
B − 21B + 80 = 0
21 ∓ √441 − 320 21 ∓ 11 B = 5
=
=
=
B = 16
2
2
2
80
n=
p
o
B
Bn + 2B + 2n = 122
80
p
on = B
80B + 2B + 160 − 122B = 0
B = 5 p
n = 16
B = 16p
r n = 5
r
Le dimensioni del rettangolo sono pertanto: \ = 16 e ℎ = 5 .
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13
Stabilisci se si può inscrivere un trapezio isoscele che ha il perimetro di 20 in una semicirconferenza di
raggio 5 .
Problema 215.194
Soluzione
La base del trapezio deve coincidere con il diametro.
= 10 .
Pertanto + DC
+ CD
= 10 .
Quindi: AD
Cioè:
+ CB
= 5 . Ma ciò non può sussistere.
EC
Infatti, ricordando che:
la somma di due qualsiasi lati di un triangolo è maggiore del terzo
+ CB
> EB
= 5 .
> OB
si ha che: EC
in un triangolo rettangolo l’ipotenusa è maggiore di ciascuno cateto
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14
Problema 215.195
Un trapezio isoscele è circoscritto a
un semicerchio di raggio G. Sapendo
che la base minore è parallela al
5
diametro ed è lunga G, determina il
;
perimetro e l’area del trapezio.
Soluzione
Essendo = ; G
5
⇒
5
= < G
F ≅ F' perché alterni interni
e
5
F" = < G
F' ≅ F' u perché CE e CF sono tangenti alla circonferenza.
⇒
Il che dimostra che il triangolo OBC è isoscele con F ≅ .
= B
Poniamo F
⇒
F ≅ F' u
= B − 5 G
"
<
Con i limiti geometrici: B > G
+ "
;
= "
Applicando il T. di Pitagora al triangolo rettangolo BCH si ha:
3 9
3
G + /B − G0 = B ;
G + B + G − GB = B ;
8
64
4
73 73 4
73
3
GB =
G ;
B=
G ∙
;
B=
G
4
64
64
3G
48
= =5 G e = 2 ∙ =5 G = =5 G
Pertanto ;<
;<
;
73 3
G − GB = 0 ;
64
4
+ + =
2 = + In definitiva il perimetro del trapezio è:
Mentre l’area è:
=5
;
G+
=5
;<
G+ G+
5
;
=5
;<
G=
+ ∙ "
= ∙ 4 G + G8 ∙ G = G .
, = ∙ ;
;
;<
Matematica
=5
5
9
5<
;<
G=
;
6
G.
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15
Disegna un arco AB, quarta parte di una circonferenza di centro F il cui raggio 5 . Fissa su AB un punto $ e
+ 2$"
= 11 .
indica con " la sua proiezione sul lato F. Determina la misura di PH in modo che: $
Problema 215.196
Soluzione
Poniamo $" = B
$ = 11 − 2B
Con i limiti geometrici: 0 < B < 5
⇒
e
1 = 5 − B
Applicando il T. di Pitagora al triangolo rettangolo OPH si ha:
= 25 − B F"
+ $1
;
= $
1
Applicando il T. di Pitagora al triangolo rettangolo PAK si ha:
5 − B + 425 − B 8 = 11 − 2B ;
25 + B − 10B + 25 − B = 121 + 4B − 44B ;
4B − 34B + 71 = 0 ;
\
\ − 428 ∓ 3428 − [
17 ∓ √289 − 284 17 ∓ √5
=
.
[
4
4
Soluzioni entrambe accettabili, perché rispettano i limiti geometrici.
B, =
=
= 20 , individua un punto P in modo tale che 2$
= 3$
.
Su una semicirconferenza di diametro Problema 215.198
Soluzione
= B
Poniamo $
⇒
5
$ = B
Con i limiti geometrici: 0 < B < 20
+ $
= $
Applicando il T. di Pitagora al triangolo rettangolo ABP si ha:
B + ; B = 400 ;
9
4B + 9B = 1600 ;
13B = 1600 ;
= ;: √13 .
Soltanto la soluzione positiva è accettabile. Pertanto $
5
B =
6::
5
;
B = ∓ 5 √13
;:
= "
∙ Applicando il I° T. di Euclide al triangolo rettangolo ABP si ha: $
= c = 6:: ∙ = <: .
Da cui si ottiene: "
5
:
5
v
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16
Il raggio di una circonferenza di centro F è 10 . Conduci una corda e indica con " il piede della
perpendicolare condotta da F ad .. Trova a quale distanza dal centro F si deve tracciare la corda affinché
+ F"
= 22 .
sussista la relazione Problema 218.206
Soluzione
Poniamo F" = B
= 100 − B "
con i limiti geometrici: 0 < B < 10.
= 2100 − B ⟹
+ Sostituendo nella relazione F" = 22 si ottiene:
2100 − B + B = 22 ;
4100 − B = 484 + B − 44B ;
2100 − B = 22 − B
400 − 4B − 484 − B + 44B = 0 ;
5B − 44B + 84 = 0 ;
B,
14
22 ∓ √484 − 420 22 ∓ √64
64 22 ∓ 8 B =
=
=
=
=
5
[
5
5
B = 6
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17
Considera un segmento lungo 9 . Tra gli estremi e prendi un punto $ e costruisci, dalla stessa
parte, i due triangoli equilateri $ e $. Calcola quale distanza deve avere $ da affinché risulti:
,c- = ,c- .
Problema 218.207
Soluzione
= B
Poniamo $
= 9 − B
$
=
"
√3
B
2
con i limiti geometrici: 0 < B < 9 .
=
$"
=
1
B
2
√3
9 − B
2
=
$1
9−B
2
Sostituendo nella relazione: ,c- = ,c- si ottiene:
1
,-?. − ,c. − ,c-? = ,c2
1
1
1
1 1
∙ "1
− + "
− = ∙ ;
1
$" ∙ "
$1 ∙ 1
$ ∙ 1
2
2
2
2 2
1
∙ "1
− $1
− $"
∙ "
∙ 1
= ;
+ "
1
$ ∙ 1
2
B 9−B
B √3
9 − B √3
1
√3
√3
√3
9 − B = 9 − B ∙
9 − B ;
x 9 − B +
By ∙ / +
0− ∙
B−
∙
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
9√3 9 √3 √3
√3
9 − B =
9 − B ;
∙ −
B −
2 2
4
4
4
81√3 √3 √3
9 − B = 0 ;
−
B −
4
4
2
81√3 √3 √3
81 + B − 18B = 0 ;
−
B −
4
4
2
81√3 √3 81√3 √3 −
B −
−
B + 9√3B = 0 ;
4
4
2
2
81√3 − √3B − 162√3 − 2√3B + 36√3B = 0 ;
−3√3B + 36√3B − 81√3 = 0 ;
B − 12B + 27 = 0 ;
B, =
\
\ − 2 ∓ 3428 − [
[
=
6 ∓ √36 − 27
B =3
=6∓3= B = 9
1
Soltanto la soluzione positiva: B = 3 è accettabile.
= 3 .
Pertanto $
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18
Un quadrato ha l’area di 75[ . Inscrivi in esso un altro quadrato uE" la cui area sia 39[ . Calcola le
lunghezze di e di .
Problema 215.208
Soluzione
,- = 75[
,Vz{. = 39[
Poniamo = B
⇒
⇒
⇒
= 5√3[
u = √39[
= 5√3[ − B
con i limiti geometrici: 0 < B < 5√3[ .
= u
+ u
Applicando il T. di Pitagora al triangolo rettangolo EBF si ha:
5√3[ − B
+ B = √39[
2B − 10√3[B + 36[ = 0 ;
B, =
;
75[ + B − 10√3[B + B = 39[ ;
B − 5√3[B + 18[ = 0 ;
−\ ∓ √\ − 4[ 5√3[ ∓ √75[ − 72[ 5√3[ ∓ √3[ B = 2√3[
=
=
=
2[
2
2
B = 3√3[
Soluzioni entrambe accettabili.
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19
Un trapezio isoscele che ha la base maggiore di 28 , la minore di 10 e l’altezza di 12 , si deve
suddividere, mediante una parallela alle basi, in due trapezi aventi l’area uguale. Trova a quale distanza dalla
base minore si deve tracciare la parallela.
Problema 215.209
Soluzione
,- =
:|<
∙ 16 = 228 ⇒ ,-Vz = 114 = B
Poniamo 1
con i limiti geometrici: 0 < B < 12 .
− = 9 2
= 1
∶ "
∶ Dalla similitudine dei triangoli ADH e DEK si ha: 1
" ;
=
"
= 5 B .
Da cui si ricava: 1
;
Sostituendo nella relazione: ,-Vz = 114 si ottiene:
+ u
= 114 ;
∙ 1
2
3
20B + B = 228 ;
2
B, =
\
\ − 428 ± 3428 − [
[
∙ 1
+ = 228 ;
u
3B + 40B − 456 = 0 ;
=
∶ 9 = B ∶ 12
1
3
/10 + B + 100 ∙ B = 228 ;
2
−20 ± √400 + 1368 −20 ± √1768 −20 ± 2√442
=
=
.
3
3
3
Scartando la soluzione negativa, si ha:
1 =
−20 + 2√442
3
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20
= 10 , trova un punto $ in modo tale che, detta " la sua
Su una semicirconferenza di diametro + $
= 12 .
proiezione su , sia "
Problema 215.210
Soluzione
= B
Poniamo "
e
= n
$
con i limiti geometrici: 0 < B < 10
e
0 < n < 10
Per il I° T. di Euclide applicato al triangolo rettangolo $ si ha:
r
r
B + n = 12
n = 10 ∙ 10 − B
n = 12 − B
p
B − 14B + 44 = 0
r
n = 12 − B
p
12 − B = 100 − 10B
n = 12 − B
p
r
144 + B − 24B − 100 + 10B = 0
Da cui si ricava:
B,
\
\ − 428 ± 34 8 − [ 7 ± √49 − 44
2
=
=
= 7 ± √5
[
1
Le soluzioni sono entrambe accettabili perché entrambe positive e minori di 10.
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21