1
1. Calcolate la derivata di ln x (1 punto)
Risposta
1
x
2. Integrale di ln x (1 punto)
Risposta x ln x − x + c
3. Fare il prodotto C = AB ≡ A|b > (1 punto)
3
7
5
1
2
4
Risposta
2
1
0
11
15
b x = −i~(...)(completa),
4. Ricordando la definizione dell’operatore momento angolare L
si mostri che
bx , L
b y ] = i~? (4 punti)
[L
Risposta
b x = −i~(y ∂ − z ∂ ) e
Completiamo eliminando i punti interrogativi L
∂z
∂g
bx , L
b y ] = i~L
bz
[L
bx L
by
L
by L
bx
L
∂
∂
∂
∂
−z
−i~ z
−x
−i~ y
∂z
∂y
∂x
∂z
2
2
2
∂
∂
∂
∂2
2
2 ∂
= −~ y
+ yz
− xy 2 − z
+ xz
(1)
∂x
∂z∂x
∂z
∂x∂y
∂y∂z
∂
∂
∂
∂
=
−i~ z
−x
−z
−i~ y
∂x
∂z
∂z
∂y
2
∂2
∂
∂2
∂2
2 ∂
2
−z
− xy 2 + x
+ xz
(2)
= −~ yz
∂x∂z
∂x∂y
∂z
∂y
∂z∂y
=
Sottraggo la (2) dalla (1); noto che tre dei 5 addendi si elidono e ho infine:
h
i
∂
∂
∂
∂
2
b
b
Lx , Ly
= −~ y
−x
= i~ x − y
∂x
∂y
∂
∂x
bz
= i~L
5. a) Cosa dice il principio di Antisimmetria? (1 punto)
b) Come posso costruire una funzione per un sistema a due elettroni che
rispetti questo principio? (1 punto)
c) Cosa c’entra Slater con questo principio? (1 punto)
Risposta
a) Il principio di antisimmetria afferma che una funzione d’onda deve
essere antisimmetrica (deve cambiare segno) rispetto allo scambio di una
2
qualsiasi coppia di elettroni∗ (Postulato 6 della meccanica quantistica). Il
principio di esclusione di Pauli, secondo cui non possono esserci due e−
con tutti i numeri quantici uguali, discende dal principio di antisimmetria.
b) Costruendo una funzione del tipo
Ψ(1, 2) = ϕA (1)ϕB (2) − ϕA (2)ϕB (1)
ϕA e ϕB possono differire anche per la sola parte di spin: suppongo di
avere due elettroni in un guscio 1s, e di averne uno di tipo d ed uno di
tipo β. La funzione
Ψ(1, 2)
=
1s(1)α(1)1s(2)β(2)
−1s(2)α(2)1s(1)β(1)
è antisimmetrica e la posso scrivere sotto forma di determinante di Slater:
1s α(1)
Ψ(1, 2) = 1s α(2)
Per un sistema ad N elettroni questo
U1 (1)
1 U1 (2)
Ψ(1...N ) = √ N! .
U1 (N )
1s β(1)
1s β(2)
diventa:
U2 (1) . . Un (1) U2 (2) . .
. .
. .
. U2 (N ) . . Un (N )
c) La risposta a b) contiene anche la risposta c).
6. Scrivere gli autovalori dell’oscillatore armonico e gli autovettori. (2 punti)
b = − ~2 ∂ 22 + 1 kx2
Risposta⇒ Operatore Hamiltoniano H
2µ ∂x
2
Autovalore (energia)⇒ Ev = hν(v + 12 ) = ~ω(v + 12 ) con v = 0, 1, 2... e
12
12
1
k
k
νs−1 = 2π
e
ω
=
µ
µ
1
2
Autofunzioni τv (x) = Nv Hv (α 2 x)e−αx /2 con Nv = costante di normaliz1
zazione e Hv (α 2 x) = Polinomi di Hermite, legati da regola di ricorrenza
Hn+1 (ξ) = 2ξHn (ξ) − 2nHn−1 (ξ)
7. In una molecola come l’etano, quanti modi di vibrazioni ci saranno? Cosa
vuole dire? E le rotazioni e le traslazioni? (2 punti)
Etano
H3 C − CH3 → 8 atomi → 8 · 3 = 24 modi
24 − 6 = 18 modi normali
I 6 che sono sottratti sono i 3 di rotazione e 3 di traslazione
8. Qual’è la differenza principale che esiste tra lo spettro vibrazionale e quello
rotazionale? (2 punti)
Risposta
3
Lo spettro rotazionale si compone di una serie di bande separate di 2B =
h
2
4π 2 I (con I = µr ), mentre quello vibrazionale è composto di una sola
banda che rappresenta la transizione fondamentale dal livello 0 al livello
1.
9. Nello spettro dell’infrarosso di H 79 Br, vi è una riga di intensità di
2559 cm−1 . Calcolare la costante di forza H 79 Br e il periodo di vibrazione
di H 79 Br. (4 punti)
Risposta
k
=
=
=
1
νe =
2πc
12
k
µ
(2πce
νobs )2 µ
2π(2.998 · 1010 cm · s−1 )(2559cm−1 )
(1.008 amu)(78.92 amu)
·
(1.661 · 10−27 kg · amu−1 )
79.93 amu
384 N · m−1
Periodo di vibrazione
T =
1
1
=
= 1.30 · 10−14 s
nu
ce
ν
