Materiale per il recupero

Prof. Ing. Mauro Cavagnoli
MATERIALI PER IL RECUPERO
Risoluzione dei triangoli
SOLUZIONE COMPLETA
ag
no
Conoscendo cateto e ipotenusa, risolvere il triangolo ABC, rettangolo in A, esprimendo gli angoli nel
sistema centesimale; determinare il lato c anche graficamente.
a = 65,948 m b = 35,786 m
li
Esercizio 1
C
av
Per la soluzione grafica disegniamo la figura in scala 1:1.000,
disegnando prima il lato AC=b lungo 3,6 cm e tracciando dalla sua
estremità A la perpendicolare di lunghezza imprecisata. Si punta poi
col compasso nel vertice opposto C, con apertura pari alla lunghezza
c ottenuto si ha la soluzione
grafica:
5,54 cm × 1.000 / 100 = 55,4 m
ro
c
Analiticamente il lato c si determina col teorema di Pitagora:
a2
b2
55,394 m
au
c
Pr
o
f.
M
Gli angoli si possono determinare usando i dati di partenza, mediante la definizione di coseno:
b
=100 - = 36,515 gon
arccos
63,485 gon ;
a
Claudio Pigato, QUADRANTE © by Mondadori Education S.p.A., Milano
I.T.C.G. "L. Einaudi" Senorbì
Prof. Ing. Mauro Cavagnoli
MATERIALI PER IL RECUPERO
Risoluzione dei triangoli
li
Esercizio 2
no
Risolvere il triangolo DEF ottenuto congiungendo i punti medi del triangolo ABC, essendo noti i seguenti
elementi:
a = 145,228 m b
ag
SOLUZIONE COMPLETA
Anzitutto ricaviamo il lato c incognito del triangolo ABC, mediante il teorema del coseno:
b2
2ab cos
128,391 m
C
av
a2
c
Per determinare gli altri due angoli dobbiamo usare ancora il teorema del coseno, dato che quello
assegnato è acuto:
arccos
c2
a 2 b2
2 c a
80 ( + ) = 65,6553°
60,6903
a
2
2
b
2
2
2
a b
cos
2 2
64,196 m
au
DE
ro
Consideriamo ora il triangolo CDE, in cui conosciamo ancora due lati (pari alla metà rispettivamente di BC e
Analogamente, considerando i triangoli BFD e AFE:
a
2
2
c
2
2
2
f.
M
FD
FD
b
2
2
c
2
2
2
a c
cos
2 2
69,498 m
b c
cos
2 2
72,614 m
Pr
o
Abbiamo così ottenuto i tre lati richiesti. Si noti che tale determinazione poteva essere anche evitata,
considerando la circostanza che i lati del triangolo EFD sono la metà dei lati del triangolo ABC. Infatti i
triangoli ottenuti mandando le mediane AFE, BDF, DEC e FED sono tutti uguali tra loro e simili al triangolo
ABC di partenza (dato che i lati sono tutti paralleli), con rapporto di similitudine pari a 1/2. Così i lati dei
triangoli delimitati dalle mediane sono la metà dei lati corrispondenti del triangolo di partenza, e gli angoli
DEF
arccos
EF
2
2
ED FD
2 EF ED
2
60,6903
Claudio Pigato, QUADRANTE © by Mondadori Education S.p.A., Milano
I.T.C.G. "L. Einaudi" Senorbì
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MATERIALI PER IL RECUPERO
Risoluzione dei triangoli
SOLUZIONE COMPLETA
no
Del triangolo ottusangolo ABC sono noti due lati e un angolo non compreso:
a = 464,922 m c
Determinare il lato incognito sia analiticamente sia graficamente.
li
Esercizio 3
au
ro
C
av
ag
Per la soluzione grafica scegliamo la
scala 1:5.000, disegnando prima il
lato a
adiacente, di lunghezza 9,3 cm; poi
disegniamo la semiretta uscente da C
che forma col lato a
assegnato e si traccia la circonferenza
con centro in B e raggio pari alla
lunghezza del lato c, cioè 8,0 cm.
Notiamo che esistono due soluzioni
del problema, ma una di queste
è un triangolo acutangolo e
deve essere scartata.
Considerando il triangolo ottusangolo
ABC abbiamo quindi che il lato
incognito misurato graficamente è
pari a 2,3 cm, cioè:
c
2,3 cm × 5.000 / 100 = 115 m
f.
M
Analiticamente applichiamo il teorema dei seni per determinare
consideriamo la seconda, corrispondente
mentare di quello che dà la calcolatrice:
sen
sen
sen
sen
a 1
a
c
c
Pr
o
rapporto a/c che, in questo caso, è maggiore di 1. Per cui abbiamo la certezza che esistono due soluzioni
distinte.
- prima soluzione: ' arcsen sen a 60,6398 ; = 180° + ) = 70,9835°
SOL. NON VALIDA
c
- seconda soluzione:
-
;
= 180° -
) = 12,2631°
SOL. VALIDA
Abbiamo anche analiticamente la conferma che solo la seconda soluzione soddisfa la consegna
(triangolo ottusangolo). Il lato incognito vale pertanto:
c
b
sen
113,304 m
sen
Claudio Pigato, QUADRANTE © by Mondadori Education S.p.A., Milano
I.T.C.G. "L. Einaudi" Senorbì