aritmetica-insiemi numerici 2014-15

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RICHIAMI DI ARITMETICA
CONCETTO DI DIVISIBILITA’ e CRITERI DI DIVISIBILITA’
Un numero a si dice divisibile per un numero b (diverso da zero ) quando la divisione tra a e b da resto
zero. Esistono alcuni criteri per stabilire se un numero è divisibile per un altro senza eseguire la divisione.
I più usati sono: la divisibilità per 2 , per 3, per 9 e per 5.
DIVISORI DI UN NUMERO
Sono tutti i numeri che dividono il numero dato. Es: i divisori di 12 : 1, 2, 3, 4, 6,12.
MULTIPLI DI UN NUMERO
Sono tutti i numeri divisibili per il numero dato. Esempio: i multipli di 3: 0, 3, 6, 9, 12, . . . .
NUMERI PRIMI : Sono numeri divisibili solo per se stessi e per 1.
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI
Consiste nell’esprimere un numero come prodotto di fattori primi. Esempio: 12 = 22 · 3 ; 60 = 22 ·3 · 5
M. C. D. di due o più numeri naturali ≠ 0 è il massimo tra i divisori comuni.
In pratica per calcolare l’M.C.D. si scompongono i numeri dati in fattori primi e poi si moltiplicano fra
loro i fattori comuni, presi una sola volta, col minimo esponente.
m. c. m. di due o più numeri naturali ≠ 0 è il più piccolo tra i multipli comuni, che sia diverso da zero.
In pratica per calcolare l’m.c.m. si scompongono i numeri dati in fattori primi e poi si moltiplicano fra
loro i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta con il massimo esponente.
NUMERI DECIMALI
Sono numeri costituiti da unità intere separate, mediante una virgola, da unità decimali.
I vari tipi di numeri decimali si possono visualizzare mediante il seguente schema:
finiti
numeri decimali
semplici
periodici
illimitati
misti
non periodici
I numeri decimali finiti e decimali illimitati periodici si possono trasformare in frazione, detta frazione
generatrice.
Regole per trasformare un numero decimale finito e periodico in frazione.
• Numeri decimali finiti
frazione
• Numeri decimali illimitati periodici
frazione
POTENZA DI UN NUMERO
E’ il prodotto di n fattori uguali: a n = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ⋅ ⋅ a in cui a è la base e n è l’esponente.
La potenza ad esponente pari da un risultato sempre positivo: (-2)2 = +4 (+2)2 = +4
La potenza ad esponente dispari da un risultato il cui segno coincide con il segno della base di partenza:
(-2)3 = -8
(+2)3 = +8
Osservazioni
1) le scritture ( - 2 )4 e - 24 hanno significato diverso, infatti: ( - 2 )4 = + 16 e - 24 = - 16
2) 00 non ha significato
3) a0 = 1 , a ≠ 0
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INSIEMI
NUMERICI
INSIEME DEI NUMERI NATURALI
N = { 0, 1, 2, 3, 4, . . . . . }
E’ un insieme : illimitato (formato da infiniti elementi); discreto (tra due numeri naturali successivi non
ci sono altri numeri); totalmente ordinato (di due numeri è sempre possibile stabilirne il maggiore).
Si rappresenta geometricamente con una successione di punti ugualmente distanziati; tra due punti
successivi c'è il vuoto:
. . . . . .
0 1 2 3
L’addizione e la moltiplicazione sono operazioni interne (cioè l’operazione tra due numeri naturali dà
come risultato un numero naturale ), che soddisfano alle proprietà seguenti:
a) Commutativa
b) Associativa
c) esiste l’elemento neutro
Legge di annullamento del prodotto
addizione
moltiplicazione
a+b = b+a
a∙b=b∙a
(a+b)+c=a+(b+c)
(a∙b)∙c=a∙(b∙c)
a+0=a
a∙b=0
è equivalente a
Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma
a∙1=a
a=0 oppure b=0
a∙(b+c) = a∙b + a∙c
La sottrazione e la divisione non sono operazioni interne, infatti non sempre si possono eseguire in N.
INSIEME DEI NUMERI INTERI RELATIVI
Z = { . . . . -2, -1, 0, +1, +2, . . . }
E’ un insieme : illimitato, discreto, totalmente ordinato.
Si rappresenta geometricamente con una successione di punti ugualmente distanziati; tra due punti
successivi c'è il vuoto:
. . . . . . .
-2 -1 0 +1 +2
Questo insieme lo si introduce per poter sempre eseguire la sottrazione, pertanto anche la sottrazione è
una operazione interna.
L’addizione, oltre alle proprietà precedenti a) b) c) , soddisfa anche alla proprietà:
d) esiste l’opposto di ogni
elemento
x + x’ = 0 , cioè dato l’elemento x esiste un elemento x’ che
sommato a x da come risultato l’elemento neutro dell’addizione
La moltiplicazione soddisfa sempre alle proprietà precedenti.
La divisione non si può sempre eseguire, quindi non è un’operazione interna.
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INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI
Q = { tutte le frazioni (anche quelle con denominatore 1) }
E’ un insieme: illimitato, discreto, totalmente ordinato e denso (cioè tra due numeri razionali esiste
almeno un altro numero razionale (la media aritmetica)).
Si rappresenta geometricamente sempre con una successione di punti; tra due punti successivi ci sono
infiniti spazi vuoti e infiniti punti:
............................
-2/3 0 +2/3
Pertanto l’insieme Q , nonostante siano aumentati i punti, continua ad essere discreto o discontinuo,
come gli altri due insiemi.
Questo insieme lo si introduce per poter sempre eseguire la divisione (tranne quella per zero).
La moltiplicazione, oltre alle proprietà a) b) c), soddisfa anche alla proprietà:
d) esiste l’elemento inverso o reciproco di ogni
elemento, tranne dello 0
x ∙ x’ = 1 , cioè dato l’elemento x esiste un
elemento x’ che moltiplicato per x da come
risultato l’elemento neutro del prodotto
L’addizione soddisfa alle proprietà precedenti relative all’insieme Z.
Pertanto in Q le quattro operazioni, tranne la divisione per zero, sono operazioni interne.