Tavolette di argilla assirobabilonesi (XIX - XVII sec. a.C.).
• Disco:
A=
(perimetro)2
12
• Tronco di piramide quadrata
V =
a2 + b 2
h
2
• Terne pitagoriche e triangoli rettangoli “razionali”.
Papiro di Mosca, ca. XIX sec a.C..
Esercizio 14: Volume di un tronco di piramide quadrata
V = (a2 + ab + b 2 )
h
3
Papiro di Amos, ca. XIX sec a.C..
Esercizio 48: Area di un cerchio di diametro d:
A=
� 8d �2
9
Sulba-sutras, VIII - III sec a.C.: “regole delle corde” per i sacerdoti vedici.
• “Terne pitagoriche” per poter tracciare angoli retti:
(3, 4, 5) (5, 12, 13), (7, 8, 15), (7, 24, 25), (12, 35, 37), (15, 36, 39).
• Raddoppiare e sommare quadrati.
• “approssimazione” della quadratura del cerchio.
CHOU PER SUAN CHING
“aritmetica classica dello gnomone e le vie circolari del cielo”
(VI - IV sec. a.C.)
Metodo chi- chü, “sovrapporre quadretti”
JIU ZHANG SUAN SHU
“Nove capitoli dell’arte matematica” (ca. II sec. a.C.)
Problema 1.32 Cerchio:
� 2�
3d
A=
4
Capitolo 4: Sfera:
V =
9 3
d
16
Capitolo 5: Tronco di piramide rettangolare:
V =
h
(2ab + ad + bc + 2cd)
6
EUCLIDE (somma di quadrati)
EUCLIDE (somme di quadrati)
Proposizione [I.35].
Parallelogrammi sulla stessa base e tra le stesse parallele sono uguali.
Proposizione [I.36].
Parallelogrammi su base uguale e tra le stesse parallele sono uguali.
Proposizione [I.39].
Triangoli su base uguale e tra le stesse parallele sono uguali.
Proposizione [I.39].
Triangoli uguali sulla stessa base e dalla stessa parte sono tra le stesse
parallele.
Proposizione [I.47].
Nei triangoli rettangoli il quadrato sul lato che sottende l’angolo retto è
uguale ai quadrati sui lati che contengono l’angolo retto.
EUCLIDE (somma di quadrati)
EUCLIDE (cerchio)
Proposizione [XII.2].
I cerchi stanno tra loro come i quadrati sui loro diametri.
Proposizione [X.I].
Date due grandezze diverse tra loro, sottraendo dalla maggiore più della
sua metà, e dal rimanente più della sua metà, e se questo processo è
ripetuto, si resterà con una grandezza minore della più piccola delle due
grandezze date. (Eudosso di Cnido, ca. 410-350 a.C.)
Proposizione (Archimede “Misura del cerchio”, Proposizione I)
L’area di ogni cerchio è uguale ad un triangolo rettangolo in cui uno dei
lati adiacenti l’angolo retto è uguale al raggio, e l’altro alla circonferenza.
EUCLIDE (piramide)
EUCLIDE (piramide)
Proposizione [XI.32].
Solidi parallelepipedi della stessa altezza sono tra loro come le loro basi.
Proposizione [XII.5].
Piramidi di uguale altezza e su base triangolare stanno tra loro come le
loro basi.
LIU HUI
Nel III sec. d.C. Liu Hui pubblica il suo “commento” ai Nove Capitoli,
per giustificarne le soluzioni. In particolare:
• Prova per dissezione del teorema “Gou-gu”
9 3
• Rileva l’errore nella formula per il volume della sfera ( 16
d ), ma non
trova la formula corretta.
• Mostra un teorema analogo a quello di Archimede per il cerchio.
• Dimostra la formula generale per il tronco di piramide.
LIU HUI
LIU HUI
“Più sono suddivisi, più le dimensioni restanti sono fini. La dimensione
più fine è detta “minuta”. Ciò che è minuto è senza forma. Se spiegato
in questo modo, perchè preoccuparsi di ciò che rimane?”
ARCHIMEDE DI SIRACUSA
www.archimedespalimpsest.org
ARCHIMEDE DI SIRACUSA
Nel suo trattato “del cilindro e della sfera” Archimede trova
correttamente il volume della sfera.
Nel “Metodo delle dimostrazioni meccaniche” spiega come è arrivato a
congetturare la relazione corretta.
Idea: sfruttare il principio della leva!
l1
l2
p1
p2
Equilibrio: p1 l1 = p2 l2
DISSEZIONI
Definizione. Due poligoni (o poliedri) P e Q sono detti
uguali per dissezione se esistono decomposizioni
P = P 1 ∪ . . . P n e Q = Q1 ∪ . . . Q n
con Pi congruente a Qi per tutti gli i.
P e Q sono uguali per completamento se è possibile renderli congruenti
(o uguali per dissezione) aggiungendo figure congruenti.
DISSEZIONI
Teorema [Bolyai - Gerwien].
Poligoni equiestesi sono uguali per dissezione e per completamento.
Terzo problema di Hilbert:Trovare due tetraedri di uguale base e uguale
altezza che non siano uguali né per dissezione ne completamento.
Teorema [Dehn 1900-1903].
MISURA
Idea: assegnare ad ogni figura F un numero µ(F ), in modo che:
µ(F ) ≥ 0 per tutte le figure F
µ(∅) = 0
µ(F1 ∪ F2 ) = µ(F1 ) + µ(F2 ) se F1 e F2 sono disgiunte.
Facendo geometria conviene richiedere anche che figure congruenti
abbiano la stessa misura.
Teorema [Banach-Tarski/Robinson, 1925].
Una sfera
tridimensionale può essere suddivisa in 5 pezzi che, traslati e ruotati
opportunamente, si ricombinano a formare due sfere ciascuna isometrica
alla prima. [!AC!]
DIMENSIONE
DIMENSIONE
