La Teoria dei Giochi. - Dipartimento di Matematica

La Teoria dei Giochi.
(Game Theory)
Giochi simultanei, Giochi sequenziali,
Giochi cooperativi.
Mario Sportelli
Dipartimento di Matematica
Università degli Studi di Bari
Via E. Orabona, 4
I-70125 Bari (Italy)
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Cenni storici.
La teoria dei giochi fu sviluppata nella prima metà degli anni ’40
del secolo scorso ad opera del matematico J. Von Neuman (19031957) e dell’economista O. Morgestern (1902-1977). Dalla
pubblicazione del volume “Theory of Games and Economic
Behavior” (Princeton U. P., 1944), questa teoria è stata largamente
utilizzata in economia e ogni altro contesto in cui è rilevante
l’elemento strategico nelle scelte degli individui.
Le principali applicazioni in economia sono:
• l’analisi dei mercati oligopolisti,
• i dibattiti sulla politica economica fra autorità monetaria e governo,
• contrattazione salariale tra imprese e lavoratori.
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La teoria dei giochi: un approccio elementare.
La teoria dei giochi studia il comportamento degli agenti economici in
situazioni in cui il guadagno (il benessere) del singolo dipende dalle
scelte degli altri agenti.
Dal punto di vista del singolo, l’adozione di una strategia è necessaria per
il perseguimento del proprio obiettivo.
Strumenti della teoria dei giochi che analizzeremo con un approccio
elementare:
i. Rappresentazione dei giochi in cui gli agenti effettuano
simultaneamente e in modo indipendente la loro scelta (giochi
simultanei).
ii. Determinazione degli esiti di equilibrio, nell’ipotesi di strategie pure.
iii. Rappresentazione dei giochi in cui gli agenti effettuano la loro scelta in
sequenza (giochi sequenziali).
iv. Esiti dei giochi ripetuti con possibilità di cooperazione tra gli agenti
(giochi cooperativi).
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Giochi in forma normale.
Un gioco in cui sono coinvolti due agenti è rappresentabile in forma normale con
una tabella a doppia entrata denominata matrice dei guadagni (o payoff).
Consideriamo due imprese che devono decidere l’ammontare dell’investimento
pubblicitario. La pubblicità influisce positivamente sulle vendite e, quindi, sui
profitti, ma incide negativamente sui costi. Supponiamo che ciascuna impresa
possa scegliere tra due strategie: investire in misura modesta, oppure
massicciamente, in campagne pubblicitarie. Ciascuna impresa non sa cosa farà
l’altra. In ogni caso, ad ogni scelta si assocerà un determinato livello dei profitti.
B
A
Basso
Basso 100 100
Alto
125
35
Alto
35
125
50
50
Il gioco è caratterizzato da strategie dominanti (Alto per A, Alto per B).
L’equilibrio, pertanto, è (50, 50).
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Giochi in forma normale.
 Definizione – Per strategia dominante si intende una strategia che è ottima
indipendentemente dalla scelta degli altri agenti.
Osserviamo che, nel gioco che abbiamo rappresentato, esiste un’altra
coppia di strategie (basso, basso) = (100, 100) > (50, 50). Se le imprese
potessero accordarsi, entrambe potrebbero migliorare il loro payoff. E’
altrettanto vero che entrambe sarebbero incentivate a violare l’accordo e,
di conseguenza, l’equilibrio tornerebbe ad essere quello determinato dalle
strategie dominanti.
Ogniqualvolta si riscontra una situazione di questo tipo, ossia un conflitto
tra interesse individuale e interesse di gruppo, si dice che il gioco
configura un problema noto come dilemma del prigioniero.
Le situazioni in cui il classico problema del “dilemma del prigioniero” si
manifesta sono molto diffuse nella realtà: free raiding, evasione fiscale,
ecc.
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Giochi in forma normale e dominanza iterata.
Si consideri il seguente gioco:
Osserviamo che per l’agente C, la strategia C3 è strettamente
dominata dalla strategia C2. L’agente C, pertanto, non sceglierà mai
la strategia C3. Le strategie strettamente dominate possono essere
eliminate dal gioco, perché l’agente non le sceglierà mai.
C
C2
C1
C3
R1
3
1
3
3
2
2
R2
2
4
1
2
4
1
R
6
Giochi in forma normale e dominanza iterata.
Dal punto di vista dell’agente R, la strategia R2 è strettamente dominata
dalla strategia R1. Possiamo, quindi, eliminare dal gioco la strategia R2.
C
C2
C1
C3
R1
3
1
3
3
2
2
R2
2
4
1
2
4
1
R
Poiché R gioca R1, l’equilibrio in questo gioco è determinato in
corrispondenza della coppia di strategie (R1, C2) = (3, 3).
C
C2
C1
C3
R1
3
1
3
3
2
2
R2
2
4
1
2
4
1
R
Quando in un gioco si eliminano in successione le strategie strettamente
dominate, si dice che l’equilibrio è determinato applicando il principio di
dominanza iterata.
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L’equilibrio di Nash.
Il metodo di eliminazione delle strategie dominate non sempre è applicabile.
Se nessun giocatore ha una strategia dominante, per determinare almeno un
equilibrio occorre individuare un esito tale che nessuno dei giocatori abbia
interesse a modificare la propria scelta. Questo tipo di equilibrio è noto come
Equilibrio di Nash (J. F. Nash Jr. 1928, matematico ed economista statunitense).
Consideriamo il seguente gioco:
C
C2
C1
R
C3
R1
7
1
3
6
2
8
R2
4
1
6
5
5
3
R3
2
5
4
4
4
1
Applicando il principio sopra descritto a partire da una qualunque combinazione
di strategie, individuiamo la coppia (R2, C2) = (6, 5) che è, appunto un equilibrio
di Nash: la scelta di ciascuno è ottima data la scelta dell’altro.
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Giochi sequenziali.
Nelle situazioni in cui gli agenti non decidono simultaneamente la propria strategia, il
modo migliore per descrivere una interazione strategica è attraverso la forma estesa (o
albero del gioco) che si sviluppa a partire dal nodo decisionale dell’agente che effettua la
prima mossa. La forma normale è, comunque, sempre utilizzabile.
Consideriamo nuovamente
l’esempio relativo all’investimento
pubblicitario, assumendo che
l’impresa A effettui per prima la
sua scelta (due strategie).
In risposta ad A, l’impresa B ha
2 × 2 = 4 strategie.
Per determinare l’equilibrio di un
gioco in forma estesa, si utilizza il
metodo dell’induzione a ritroso
(backward induction).
L’equilibrio (di Nash) in questo gioco è (50, 50) = (alto, alto).
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Giochi sequenziali.
Consideriamo un gioco sequenziale in forma
normale ed estesa.
B
b1
b2
a1
2,5
3,5
2
1
a2
2
1
4
2
A
In questo gioco vi sono due equilibri di Nash:
(a1, b1) e (a2, b2). Se assumiamo che A giochi per
primo, esaminando i sotto-giochi, possiamo
verificare che: se siamo in B1, la scelta migliore per
B è b1.1; se siamo in B2, la
scelta migliore per B è b2.2.
In B1, A ha scelto a1 e potrà
realizzare 2.5. In B2, A ha
scelto a2 e potrà realizzare 4,
perché B non sceglierà mai
b2.1. A, pertanto, sceglierà a2.
L’equilibrio di Nash (a2, b2) è
denominato equilibrio perfetto
nei sottogiochi, (l’unico vero equilibrio del gioco).
A tale equilibrio si perviene, perché A ha il
vantaggio della prima mossa.
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Dilemma del prigioniero infinitamente ripetuto.
Consideriamo la seguente matrice dei payoff, supponendo che il gioco sia
simultaneo.
C
C2
C1
R
C3
R1
112
112
93,7
125
56,5
110
R2
125
93,7
100
100
50
75
112,5 56,25
75
50
30
25
R3
L’equilibrio di Nash è determinato dalla coppia (R2, C2).
Supponiamo ora che il gioco sia sequenziale e che R giochi per primo. In tal caso,
l’equilibrio perfetto nei sotto-giochi conduce all’equilibrio di Nash (R3, C1).
Osserviamo che il gioco configura anche la situazione nota come “dilemma del
prigioniero” in corrispondenza della coppia (R1, C1). Si dimostra che se il gioco
è simultaneo ed è ripetuto infinite volte, il comportamento razionale degli agenti
tende a generare proprio l’equilibrio (R1, C1) che è più vantaggioso per entrambi i
giocatori . Tale coppia di strategie è l’equilibrio di Nash nel gioco infinitamente
ripetuto.
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