Tutti i quesiti d`esame dal 2001 (anno di

Tutti i quesiti d’esame dal 2001 (anno di introduzione) a oggi
Legenda:
 Ber: “compitone” assegnato al Liceo Scientifico Bertoni
 Com: Liceo della Comunicazione
 Esempio: nel 2001, anno di introduzione dei quesiti, il Ministero ha proposto due testi completi di seconda
prova a titolo di esempio.
 estero: scuole italiane all’estero
 Mar: “compitone” assegnato al Liceo Scientifico Marinelli
 Ord: sessione ordinaria
 P. Diacono: “compitone” assegnato al Liceo Scientifico Paolo Diacono di Cividale
 PNI: Piano Nazionale di Informatica
 Proteo: sperimentazione Proteo
 Sp aut: sperimentazioni autonome
 straord: sessione straordinaria
 suppl: sessione suppletiva
(G) Geometria piana
G1) Illustrare il problema classico della quadratura del cerchio. (esempio 2001)
G2) Dimostrare che la somma dei quadrati delle diagonali di un rombo di lato l è indipendente da uno qualunque
degli angoli al vertice. (Mar 2001)
G3) La base maggiore, la base minore e il perimetro di un trapezio isoscele misurano nell'ordine: 10, 8, 30. Dire se
il trapezio è circoscrittibile ad una circonferenza o se è inscrittibile in una circonferenza e giustificare le
risposte. (sp aut 2001)
G4) Dire se è possibile inscrivere in una semicirconferenza un triangolo che non sia rettangolo e spiegare la
risposta. ..se del mezzo cerchio far si puote / triangol sì ch’un retto non avesse (Par. XIII, 101-102). (suppl PNI 2001)
G5) Due circonferenze k e k' sono tangenti esternamente nel punto T. Due rette distinte, a e b, condotte per T,
secano la circonferenza k rispettivamente nei punti A, B e la k' nei punti A' e B'. Stabilire se le rette AB e A'B'
sono parallele o incidenti e spiegare la risposta. (sp aut 2002)
G6) Un trapezio è circoscrittibile ad una circonferenza. Dimostrare che il triangolo avente per vertici il centro della
circonferenza e gli estremi di uno dei lati obliqui è rettangolo. (estero 2003)
G7) Data una corda c di una circonferenza, sottesa da un angolo al centro fissato, esprimere in funzione di c la
lunghezza della corda sottesa dall’angolo al centro pari alla metà del precedente. (suppl 2003)
G8) Dimostrare che condizione necessaria e sufficiente affinché un trapezio rettangolo abbia le diagonali
perpendicolari è che le misure della base minore, dell’altezza e della base maggiore, prese nell’ordine e
considerate rispetto alla stessa unità di misura, siano numeri in progressione geometrica. (straord 2003)
G9) Definire i gradi sessagesimali, centesimali e i radianti. (ord 2004)
G10) Dato un triangolo equilatero, preso un punto P al suo interno, siano x, y, e z le distanze di P dai lati. La
somma x + y + z risulta: a) sempre maggiore dell’altezza del triangolo; b) sempre minore dell’altezza; c)
sempre uguale all’altezza. d) i dati non sono sufficiente per rispondere. (suppl 2004)
G11) Un quadrilatero convesso Q” avente per vertici i punti medi dei lati di un quadrilatero convesso Q’ è un
quadrato. Dire quali sono le caratteristiche di Q’ e spiegare la risposta in modo esauriente. (suppl 2004)
G12) Tracciato un semicerchio di diametro AB, preso un punto C sul diametro e tracciati i 2 semicerchi di
diametro AC e CB, dimostrare che l’area compresa fra il semicerchio grande e i 2 piccoli (detta da Archimede
“trincetto da calzolaio”) è equivalente a quella del cerchio di diametro CD, dove D è l’intersezione tra la
perpendicolare ad AB per C e la semicirconferenza di partenza. (Mar 2005)
G13) È assegnato un trapezio rettangolo in cui le bisettrici degli angoli adiacenti al lato obliquo si intersecano in
un punto del lato perpendicolare alle basi. Dimostrare che il triangolo avente per vertici questo punto e gli
estremi del lato obliquo è rettangolo e trovare che relazione lega il lato obliquo alle basi del trapezio. (suppl PNI 2005)
G14) Sia ABC un triangolo. Sui lati, esternamente, si costruiscano i quadrati ABDE, BCFG e CAHL. Dimostrare
che AHE, BDG e CFL sono equivalenti ad ABC. (straord 2005)
G15) Si spieghi in che cosa consista il problema della quadratura del cerchio e se, e in che senso, si tratti di un
problema risolubile o meno. (PNI 2007)
G16) Si consideri la proposizione: “in ogni triangolo isoscele la somma delle distanze di un punto della base dai
due lati uguali è costante”. Si dica se è vera o falsa e si motivi esaurientemente la risposta. (suppl PNI 2007)
G17) Un cerchio ha raggio un metro. Quanto misura il lato del dodecagono regolare in esso inscritto? E quanto il
lato del dodecagono regolare circoscritto? (estero 2007)
G18) Si consideri la seguente proposizione: “Dato un triangolo rettangolo, il cerchio che ha per raggio
l’ipotenusa è la somma dei cerchi che hanno per raggi i cateti”. Si dica se è vera o falsa e si motivi
esaurientemente la risposta. (straord 2007)
G19) Quante diagonali ha un poligono di 2008 lati? (estero 2008)
G20) Si dimostri che la somma dei segmenti che si ottengono congiungendo un punto interno P di un triangolo
ABC con i suoi vertici è maggiore del semiperimetro. (Mar 2009)
G21) Dire, giustificando, le condizioni affinché un quadrilatero convesso sia inscrivibile in un cerchio. Risolvere
quindi il seguente problema: siano  e 1 due circonferenze che si intersecano in M e N. Da M e N si conducano
due rette che si incontrano all’esterno della figura. Siano A e C i punti in cui la prima retta interseca
rispettivamente  e 1 e B e D i punti in cui la seconda retta interseca  e 1. Dimostrare che AB è parallela a CD.
(Ber 2009)
G22) Dati due punti A e B distanti tra loro 4 dm, si dica qual è il luogo dei punti C dello spazio tali che il
triangolo ABC sia rettangolo in A ed abbia area uguale a 2 cm2. (estero 2009)
G23) Dato un triangolo rettangolo inscritto in un semicerchio, se sui suoi cateti presi come diametri ed
esternamente si costruiscono due semicerchi, da questi e dal dato semicerchio sono determinati due menischi,
detti lunule d’Ippocrate. Si dimostri che la loro somma ha la stessa area del triangolo. (suppl 2009)
G24) Sul diametro MN di un cerchio, si considerino due punti P e Q, e su MP, MQ, NP, NQ come diametri si
descrivano quattro semicerchi, i primi due posti in una stessa parte rispetto alla retta MN, gli altri due posti
nell’altra parte. Si dimostri che il perimetro del quadrilatero curvilineo (pelecoide) così ottenuto, ha la stessa
lunghezza della circonferenza data. (suppl PNI 2009)
G25) Dati due punti A e B distanti tra loro 5 cm, si dica qual è il luogo dei punti C dello spazio tali che il
triangolo ABC sia rettangolo in A ed abbia area uguale a 1. (suppl PNI 2009)
G26) Se P è un punto arbitrario del diametro MN di una data semicirconferenza, sui segmenti MP e NP, presi
come diametri, si descrivano due semicirconferenze dalla stessa parte di quella data. Si dimostri che la figura (è
detta arbelo) limitata dalle tre semicirconferenze è equivalente al cerchio il cui diametro è medio proporzionale
tra MP e NP. (straord 2009)
G27) Si dimostri che la differenza dei quadrati di due lati di un triangolo è uguale alla differenza dei quadrati
delle rispettive proiezioni dei lati stessi sul terzo lato del triangolo. (suppl 2010)
G28) Si dimostri che se le diagonali di un quadrilatero sono perpendicolari, la somma dei quadrati di due lati
opposti è uguale alla somma dei quadrati degli altri due. (straord 2010)
G29) Si dimostri che la somma dei cateti di un triangolo rettangolo è uguale alla somma del diametro della
circonferenza inscritta e circoscritta al triangolo. (Mar 2011)
G30) In che cosa consiste il problema della quadratura del cerchio? Perché è citato così spesso? (Ord 2011)
G31) Si provi che se i lati di un triangolo rettangolo sono in progressione aritmetica di ragione d allora il raggio
della circonferenza inscritta è uguale a d. (estero 2011)
G32) In una circonferenza di centro O e raggio r sono date due corde prive di punti comuni AB = r e CD = r 3 .
Si dimostri che il quadrilatero ABCD ha le diagonali perpendicolari. (estero 2011)
G33) Data una circonferenza di centro O, si conducano negli estremi A e B di un suo diametro AB le tangenti e
siano C e D i punti d’intersezione di esse con una terza tangente alla circonferenza. Si dimostri che l’angolo
CÔD è retto. (suppl 2011)
G34) Quante diagonali ha un poligono convesso di n lati? (suppl 2012)
G35) Dimostrare che, condotte dal punto P di una circonferenza di centro O le corde PA e PB, i segmenti
congiungenti i punti medi di tali corde col punto medio del segmento PO sono uguali. (Ber 2013)
G36) Un foglio rettangolare, di dimensioni a e b , ha area 1 m2 e forma tale che, tagliandolo a metà (parallelamente
al lato minore) si ottengono due rettangoli simili a quello di partenza. Quali sono le misure di a e b? (Ord 2013)
G37) Dato un triangolo ABC, si indichi con M il punto medio del lato BC. Si dimostri che la mediana AM è il
luogo geometrico dei punti P del triangolo, tali che i triangoli ABP e ACP hanno aree uguali. (estero 2013)
G38) È appropriato definire una retta tangente a una curva C in un punto P di C come una retta che ha un solo
punto in comune con C? Si motivi esaurientemente la risposta. (estero 2013)
G39) In un libro si legge: “La definizione classica di misura di un angolo per mezzo della lunghezza di un arco di
cerchio è essenzialmente corretta”. Si spieghi, eventualmente con qualche esempio, il significato di tale
affermazione. (estero 2013)
G40) Determinare la lunghezza massima di una scala a pioli che può essere trasportata orizzontalmente da un
corridoio a un altro tra loro perpendicolari, sapendo che le larghezze di tali corridoi sono 2,4 e 1,6 m. (Ber 2014)
G41) Dato un trapezio ABCD, sia O il punto d’intersezione delle bisettrici degli angoli adiacenti al lato obliquo
AD. Considerato il triangolo AOD, dimostrare che è rettangolo e che l’altezza relativa al lato AD è metà
dell’altezza del trapezio. (Ber 2014)
(A) Aritmetica e Algebra
A1) Considerati a, b, c, e d reali con a > b e c > d. Allora è: A) a + d > b + c; B) a – d > b – c; C) ad > bc;
D) a/d > b/c. Scegliere la rispondere corretta e spiegare la scelta effettuata. (ord 2002)
A2) Si consideri la proposizione: “La media aritmetica di due numeri reali positivi è maggiore della loro media
geometrica”. Dire se è vera o falsa e motivare la risposta. (ord 2002)
A3) Determinare, se esistono, i numeri a, b in modo che
1
a
b
sia un’identità. (ord 2002)


x  2x  3 x  3 x  1
2
A4) Dimostrare che il numero 5 non è razionale. (sp aut 2002)
A5) Si considerino i numeri: 21/2, 31/3, 51/5. Senza usare la calcolatrice (salvo che per controllare eventualmente
l'esattezza del risultato), disporli in ordine crescente ed illustrare il ragionamento fatto. (sp aut 2002)
A6) I numeri reali a, b sono tali che: 4.3 < a < 5.2 e  1.7 < b <  1.5 . Dire se è vero o falso che 5.8 < a – b < 6.9
e fornire un'esauriente spiegazione della risposta. (sp aut 2002)
A7) Se f(x) = 2x, mostrare che: a) f (x + 3) – f (x  1) =15/2  f(x) ; b) f ( x  3) / f ( x  1)  f 4 . (estero 2002)
A8) Il peso totale di 5 giocatori di calcio è 405 kg e il peso medio di 10 campionesse di nuoto è 47 kg. Trovare il
peso medio di questi quindici atleti. (estero 2002)
A9) Si stima che la popolazione mondiale aumenti dell’1,7% ogni anno. Indicata con P la popolazione mondiale
attuale e con Q la popolazione stimata tra un anno, il legame tra P e Q è espresso da: a) Q = 1,0017P; b) Q =
1,017P; c) Q = 1,17P; d) Q = 1,7P; e) Nessuna delle risposte precedenti è esatta. Una sola risposta è corretta:
individuarla e spiegare adeguatamente la scelta. (estero 2002)
A10) Ieri un titolo di borsa ha perduto l’x% del suo valore. Oggi quel titolo, guadagnando l’y%, è ritornato al
valore iniziale. Esprimere y in funzione di x. (suppl 2002)
A11) Un’azienda, in un momento di crisi, abbassa gli stipendi di tutti i dipendenti del 7%. Superata la fase
delicata, aumenta tutti gli stipendi del 7%. Com’è, dopo di ciò, la situazione dei dipendenti? (suppl aut 2002)
A12) La cifra delle unità nella potenza 22002 è: A) 2; B) 4; C) 6; D) 8. Scegliere la risposta corretta e spiegare la
scelta effettuata. (suppl estero 2002)
A13) Considerata la seguente equazione in x: 2x2 – 4x – 3 = 0 e indicate con x’ e x” le sue soluzioni, calcolare il
valore della seguente espressione: (x’2 + x”2)3 + (x’2x”2)3 – (x’ + x”) – (x’x”). (suppl estero 2002)
A14) x e y sono due naturali dispari tali che x–y=2. Allora x3–y3: a) è divisibile per 2 e per 3. b) per 2 ma non per
3; c) per 3 ma non per 2; d) né per 2 né per 3. Individuare l’unica risposta corretta e spiegare la scelta. (ord 2003)
A15) Si vuole che x3 + bx – 7 = 0 abbia 3 radici reali. Qual è un possibile valore di b? (PNI 2003)
A16) x e y sono due naturali qualunque tali che x – y = 1. Stabilire se x4 – y4 è divisibile per 2 o no. (estero 2003)
A17) Considerata un’equazione di secondo grado di coefficienti a, b e c reali, con a ≠ 0, scrivere un algoritmo
che ne determini le soluzioni reali e le comunichi, esaminando tutti i casi possibili. (suppl PNI 2003)
A18) Dire se è vero che risulta: x 2  2 x 3  3  x  3 per ogni x reale e giustificare la risposta. (straord 2003)
A19) Trovare due numeri a, b, con a diverso da b, che abbiano somma e prodotto uguali. (ord 2004)
A20) Nei saldi un negozio ha dimostrare del 30% tutti i prezzi. Un abito costa 275 €. Qual era il suo prezzo
iniziale? (estero 2004)
A21) Se tanα e tan sono radici di x2 – px + q = 0 e ctgα e ctg radici di x2 – rx + s = 0, quanto vale il prodotto rs
espresso in funzione di p e q? (estero 2004)
n
A22)
Determinare il più grande valore di n per cui l’espressione
k
non supera 10000. (suppl 2004)
k 5
A23) Il 40% della popolazione di un paese ha 60 anni o più. Può l’età media essere 30 anni? Illustrare la risposta
in modo esauriente. (PNI 2005)
n
A24)
Determinare il più grande valore dell’intero n per cui l’espressione
3
k
non supera 10000. (straord 2005)
k 0
A25) Quante radici ammette l’equazione a 2  6a  9  a 2  10a  25  2a  9 , con aN? (Mar 2006)
A26) Si narra che l’inventore del gioco degli scacchi chiedesse di essere compensato con chicchi di grano: un
chicco sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza e così via, sempre raddoppiando il numero dei
chicchi, fino alla 64a casella. Assumendo che 1000 chicchi pesino circa 38 g, calcola il peso in tonnellate della
quantità di grano pretesa dall’inventore. (ord 2006)
A27) È data l’equazione x2 – 2(k  1) x + 4 = 0. Dire per quali valori positivi del parametro k una o entrambe le
radici sono reali. (suppl estero 2006)
A28) Si sa che il prezzo p di un abito ha subito una maggiorazione del 6% e, altresì, una diminuzione del 6%;
non si ha ricordo, però, se sia avvenuta prima l’una o l’altra delle operazioni. Che cosa si può dire del prezzo
finale dell’abito? (ord 2007)
A29) A Leonardo Eulero (1707-1783) si deve il seguente problema: “ Tre gentiluomini giocano insieme: nella
prima partita il primo perde, a favore degli altri due, tanto denaro quanto ne possiede ciascuno di loro. Nella
successiva il secondo gentiluomo perde a favore degli altri due tanto denaro quanto essi già ne possiedono. Da
ultimo, nella terza partita, il primo e il secondo guadagnano ciascuno dal terzo gentiluomo tanto denaro quanto
ne avevano prima. A questo punto smettono e trovano che ciascuno ha la stessa somma, cioè 24 luigi. Si
domanda con quanto denaro ciascuno si sedette a giocare”. (PNI 2007)
A30) Dimostrare che: a) se nN, il fatto che n2 sia pari comporta che anche n debba esser pari; b) 2  Q . (Mar 2008)
A31) Dimostra che la media geometrica di due numeri positivi non è mai superiore alla loro media aritmetica,
cioè ab  (a  b) / 2 . (estero 2008)
A32) Si considerino le seguenti espressioni: 0/1, 0/0, 1/0, 00. A quali di esse è possibile attribuire un valore
numerico? Si motivi la risposta. (Ord 2009)
A33) Alla festa di compleanno di Anna l’età media dei partecipanti è di 22 anni. Se l’età media degli uomini è 26
anni e quella delle donne è 19, qual è il rapporto tra il numero degli uomini e quello delle donne? (PNI 2009)
A34) Si dimostri che un numero di quattro cifre tutte uguali è divisibile per 101. (suppl 2009)
A35) In una delle sue opere G. Galilei fa porre da Salviati, uno dei personaggi, la seguente questione riguardante
l’insieme N dei numeri naturali ( “i numeri tutti”). Dice Salviati: «....se io dirò, i numeri tutti, comprendendo i
quadrati e i non quadrati, esser più che i quadrati soli, dirò proposizione verissima: non è così?». Come si può
rispondere all’interrogativo posto e con quali argomentazioni? (PNI 2011)
A36) L’insieme dei numeri naturali e l’insieme dei numeri razionali sono insiemi equipotenti? Si giustifichi la
risposta. (PNI 2012)
A37) In un libro si legge: “Due valigie della stessa forma sembrano “quasi uguali”, quanto a capacità, quando
differiscono di poco le dimensioni lineari: non sembra che in genere le persone si rendano ben conto che ad un
aumento delle dimensioni lineari (lunghezza, larghezza, altezza) del 10% (oppure del 20% o del 25%)
corrispondono aumenti di capacità (volume) di circa 33% (oppure 75% o 100% : raddoppio)”. È così? Si
motivi esaurientemente la risposta. (Ord 2013)
A38) In un libro si legge: “se per la dilatazione corrispondente a un certo aumento della temperatura un corpo
si allunga (in tutte le direzioni) di una certa percentuale (p.es. 0,38%), esso si accresce in volume in
proporzione tripla (cioè dell’1,14%), mentre la sua superficie si accresce in proporzione doppia (cioè di
0,76%)”. È così? Si motivi esaurientemente la risposta. (PNI 2013)
A39) Tre amici discutono animatamente di numeri reali. Anna afferma che sia i numeri razionali che gli
irrazionali sono infiniti e dunque i razionali sono tanti quanti gli irrazionali. Paolo sostiene che gli irrazionali
costituiscono dei casi eccezionali, ovvero che la maggior parte dei numeri reali sono razionali. Luisa afferma,
invece, il contrario: sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti, ma esistono più numeri irrazionali
che razionali. Chi ha ragione? Si motivi esaurientemente la risposta. (PNI 2013)
A40) In un libro si legge: “Ogni misura di grandezza implica una nozione approssimativa di numero reale”. Si
chiede di spiegare, eventualmente con qualche esempio, il significato di tale frase. (estero 2013)
A41) Dei numeri 1,2,3.......6000, quanti non sono divisibili né per 2, né 3 né per 5? (Ord 2014)
A42) Le lettere N, Z, Q, R denotano, rispettivamente, gli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali e reali
mentre il simbolo ℵ0 (aleph-zero) indica la cardinalità di N. Gli insiemi Z, Q e R hanno anch’essi cardinalità
ℵ0? Si motivi la risposta. (PNI 2014)
A43) Siano x1 e x2 gli zeri di P(x) = x2 – x – 2014, con x1<x2. Siano x3 e x4 gli zeri di Q(x) = x2 – 2x – 2014 con
x3<x4. Si calcoli (x4 – x2)+(x3 – x1). (Estero 2014)
A44) Un certo numero formato da tre cifre è uguale a 56 volte la somma delle cifre che lo compongono. La cifra
delle unità è uguale a quella delle decine aumentata di 4, mentre, scambiando la cifra delle unità con quella
delle centinaia, si ottiene un valore che è uguale a quello originario diminuito di 99. Si determini il numero di
partenza. (suppl 2014)
A45) Un motociclista procede a velocità costante su di una strada statale. Poco dopo la partenza, incontra una
pietra miliare con l’indicazione chilometrica scritta con due cifre. Un’ora più tardi, ne nota un’altra con le
stesse cifre, ma invertite, e, dopo un’altra ora, ne individua una terza con le due cifre nell’ordine iniziale, ma
separate da uno zero. Quale è stata la velocità della moto? (straord 2014)
A46) La somma dei quadrati delle due cifre che compongono un certo numero è 61. Il prodotto di questo numero
per quello che si ottiene invertendo le cifre è 3640. Qual è il numero? (Straord Com 2014)
(GA) Geometria analitica
GA1) È assegnato il luogo geometrico dei punti che soddisfano la seguente equazione: 3x2 + 3y2 – 6kx + y + 2 = 0,
dove k è un parametro reale. Determinare, se esistono, i valori di k per cui il luogo è costituito da: A) un
punto; B) due punti; C) infiniti punti; D) nessun punto. (sp aut 2002)
GA2) Dato il luogo 2x2 + 2y2 + x + y + k = 0 con k reale, esso è: a) una circonferenza per ogni k; b) solo per
k <1/2; c) solo per k <1/4; d) mai. (suppl 2002)
GA3) Studiare il luogo dei punti tale che la somma delle loro distanze da due rette perpendicolari fissate non
superi 1. (suppl aut 2002)
GA4) È dato il luogo geometrico dei punti che soddisfano l’equazione: 8x2 + 8y2 – 4kx + 8y – 3k = 0, dove k è un
parametro reale. Calcolare per quali valori di k il luogo è: 1) un punto; 2) due punti; 3) infiniti punti; 4) nessun
punto. (straord 2003)
GA5) Dimostrare le formule che esprimono le coordinate del baricentro di un triangolo in funzione di quelle dei
suoi vertici. (straord PNI 2004)
GA6) In un piano sono date le rette r: 2x + my = 1 e s: mx – 2y = 2, con m parametro reale. Qual è l’equazione del
luogo descritto dall’intersezione delle rette al variare di m? (suppl 2005)
GA7) Si determini l’equazione del luogo geometrico dei centri delle circonferenze del piano tangenti alla
parabola y = x2 + 1 nel punto (1, 2). (PNI 2007)
GA8) Servendosi in maniera opportuna del principio di Cavalieri nel piano, si dimostri che l’area di un’ellisse di
semiassi a, b è S = ab. (suppl PNI 2007)
GA9) Si determini la distanza delle due rette parallele: 3x  y  3 10  0 , 6 x  2 y  5 10  0 . (suppl 2008)
GA10) Dato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico in un piano, si dica che cosa rappresenta
l’insieme dei punti P(1+t 2, 1+t 2), ottenuto al variare di t nei reali. (suppl 2008)
GA11) Si determini il luogo γ dei punti di intersezione delle due rette di equazioni: λx – y – (λ + 2) = 0,
(1 – λ) x + y + 2 = 0, descritto al variare di λ, parametro reale qualunque. Si disegni la curva γ. (suppl 2009)
GA12) Quali punti del grafico della funzione f(x) = 2/x2 hanno distanza minima dall’origine? (straord 2009)
GA13) In un piano cartesiano Oxy una retta verticale divide il triangolo con vertici nei punti (0, 0), (1, 1) e (9, 1) in
due regioni di uguale area. Si trovi l’equazione di tale retta. (straord PNI 2009)
GA14) Si trovi l’equazione cartesiana del luogo geometrico descritto dal punto P di coordinate (3cost, 2sent) al
variare di t, 0 ≤ t ≤ 2. (PNI 2010)
GA15) Sia P un punto del piano di coordinate (t + 1/t , t – 1/t). Al variare di t (t ≠ 0), P descrive un luogo
geometrico del quale si chiede l’equazione cartesiana e il grafico. (straord 2010)
GA16) I vertici di un triangolo sono: O(0,0), A(0,2), B(1,1). Si trovi l’equazione della circonferenza γ inscritta
nel triangolo OAB e quella della circonferenza γ’ ad esso circoscritta. (straord PNI 2010)
GA17) Sia t [0, 2]; qual è la curva rappresentata dalle equazioni x = acost e y = bsent? (estero 2011)
GA18) Sia P un punto del piano di coordinate (t+1/t; t1/t). Quale è l’equazione cartesiana del luogo descritto da P
al variare di t (t0)? (estero 2011)
GA19) Si considerino, nel piano cartesiano, i punti A (2; –1) e B (–6; –8). Si determini l’equazione della retta
passante per B e avente distanza massima da A. (Ord 2013)
(Gas) Geometria analitica dello spazio
GAs1) Trovare l'equazione del piano tangente alla superficie sferica avente come centro l'origine e raggio 2, nel
suo punto di coordinate (1,1,z), con z negativa. (esempio 2015)
GAs2) Determinare un’espressione analitica della retta perpendicolare nell’origine al piano di equazione x+y–z=0.
(ord 2015)
GAs3) In un riferimento cartesiano Oxyz, si verifichi che la circonferenza 𝛾, intersezione della sfera di equazione
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 e del piano 𝑧 = 1 ha centro in (0, 0, 1) e raggio √3. Si immagini che una sorgente di luce
puntiforme S sia situata sul semiasse positivo delle 𝑧. A quale distanza dal centro della sfera si deve trovare S
affinché 𝛾 sia il confine tra la zona della sfera che risulta illuminata e quella che resta in ombra? (Estero 2015)
GAs4) Nello spazio sono dati due piani α e β rispettivamente di equazione: α) 𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 5 = 0 β) 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 3
= 0 . Dopo aver determinato l'equazione parametrica della retta r da essi individuata verificare che essa
appartiene al piano γ di equazione 3𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 1 = 0. (Estero 2015)
GAs5) In un sistema di riferimento cartesiano nello spazio Oxyz sono dati i punti A (−3, 4, 0) e C (−2, 1, 2). I tre
punti O, A e C giacciono su un piano E. Determinare l’equazione che descrive il piano E. (suppl 2015)
 x  2t  1

GAs6) In un riferimento cartesiano nello spazio Oxyz, data la retta r di equazioni:  y  1  t e il piano P di
 z  kt

equazione: 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 2 = 0, determinare per quale valore di k la retta r e il piano P sono paralleli, e la
distanza tra di essi. (Straord 2015)
(Ex) Proprietà degli esponenziali e dei logaritmi
Ex1) È assegnata la seguente espressione: log 2 3  log 3 2  1 ; dire se essa è vera o falsa e spiegare la risposta.
(estero 2001, ord 2003)
Ex2)
Calcolare
log1 / 4 2  log 3 3 9
log 2 4 8  log1 / 2 8
; il suo valore è: a) 2/3; b) 1/23; c) 2/45; d) 14/27. (suppl 2003)
Ex3) Risolvere l’equazione 10 e  e10 . (suppl aut 2003 e straord PNI 2012)
Ex4) È vero che log2 27 + log2 12 = 2 + log2 81 ? (straord 2005)
Ex5) Fra quali interi successivi è compreso il numero log2 15·log1/6 2·log3 (1/6)? (Mar 2006)
Ex6) Si consideri la seguente uguaglianza: ln (2x + 1)4 = 4ln (2x + 1). È vero o falso che vale per ogni x reale?
Fornire un’esauriente spiegazione della risposta. (suppl 2006)
Ex7) Verificare che  (a, b) con a > 0, b > 0 si ha ln(a + b)  ln 2 + ½ (lna + lnb). (Mar 2007)
Ex8) Si calcolino le radici dell’equazione: 3x+3 + 9x+1 = 10. (estero 2007)
Ex9) Siano a e b due numeri interi positivi diversi da 1. Si dimostri che log ab·logba = 1. (estero 2007)
Ex10) Si calcolino le radici dell’equazione 5x·31 x = 10. (estero 2007)
Ex11) Per quali valori del parametro a le due espressioni seguenti sono equivalenti ? loga12  loga6 + 2loga2 e
log1/4 a + loga2a  logaa . (Mar 2009)
Ex12) Si risolva in R la seguente equazione: e2x + ex = 2. (estero 2009)
Ex13) Si sa che una grandezza fisica y dipende da un’altra x secondo una legge del tipo y = kxα, dove k e α sono
costanti incognite. Una misura simultanea di x e y, eseguita in due diverse situazioni, ha dato i risultati riportati
nella tabella seguente:
x
2
3
y
6,4 14,4
Si calcolino k e α. (estero 2009)
Ex14) Si risolva la seguente equazione: 5ln 8x (8x)ln 5 = 0. (Mar 2013)
Ex15) Si risolva l’equazione: log2(log3x) = 3 . (straord PNI 2013)
x
x
Ex16) Calcolare la seguente somma:
1
1
1
1
, essendo N  2014! . (Ber 2014)


 ... 
log 2 N log3 N log4 N
log2014 N
x 2  6 x 1
1

 1 . (Ord 2014)
Ex17) Si determinino i valori reali di per cui:  x 2  10 x  26
5

x 2 6 x 1
1

 x 2  3x  10
 1 . (Estero 2014)
Ex18) Per quali valori reali di x è:
10
Ex19) Si determini il campo di esistenza della funzione: logsinx(x2 – 5x+6) , con 0 ≤ x ≤ 2π . (Straord Com 2014)
(D) Equazioni e disequazioni
Di1) Senza usare il simbolo del valore assoluto, si descriva il dominio di x per cui |x + 1| < 4. (suppl estero 2001)
Di2) Se lnx indica il logaritmo di x in base e, risulta ln 2 x  2 ln x  1  ln x  1 per tutti e soli gli x reali tali che:
A) x0; B) x1; C) xe; D) x1/e. Individuare la risposta corretta e argomentare la scelta effettuata. (sp aut 2001)
Di3) In un piano è assegnato il luogo dei punti y 
C) Infiniti punti; D) Nessun punto. (ord 2002)
Di4) Il dominio della f x   ln
Di5)
Di6)
Di7)
Di8)

x 2  1  1  x 2 . Tale luogo è: A) Un punto; B) due punti;

x  1  x  1 è: a) 1 < x 3; b) 1  x < 3; c) 0 < x 3; d) 0  x < 3. (ord 2003)
Calcolare il dominio della funzione f x  
x  x 2  2 x . (suppl PNI 2003)
x  1x  2x  3
Determinare il campo di esistenza della funzione: y  ln
. (estero 2003)
x  1x  2x  3


Determinare il campo di esistenza della funzione f x   ln 2 x  4 x  1 . (suppl 2003)
Risolvere la disequazione (lnx)2  ln(x2). (suppl PNI 2004)


Di9) Determinare il dominio della funzione f x   ln 1  2 x  x . (straord 2004)
Di10) Si determini il campo di esistenza della funzione y =(x2 – 3x)1/|x – 4|. (straord 2007)
Di11) Si determini il campo di esistenza della funzione: y 
2 sin(2 x )  3
, con 0 ≤ x ≤ 2π . (suppl Com 2010)
log cos x
Di12) Si risolva l’equazione |x – 1| = 1 − |x| . (estero 2011)
Di13) Si determini il campo di esistenza della funzione: f (x) = (3 cos x + sen2x – 3)cosx. Che cosa succederebbe se
l’esponente fosse sen x? (suppl 2011)
8 x
 5  4 x  x 2 . (straord 2012)
3x  2
2k
Di15) Determinare per quali valori di k reale il dominio della funzione y 
è l’insieme R.
k  3sin x  4cos x
Di14) Si determini il campo di esistenza della funzione: y  log
(Ber 2013)
Di16) Si calcoli il dominio della funzione f (x) = 1  2  3  x . (Ord 2013)
Di17) Si determini il campo di esistenza della funzione: y = arccos(e2senx-1), con 0 ≤ x ≤ 2π . (straord 2013)
Di18) Si determini il dominio della funzione: f ( x )  3  log 2 ( x  5) . (Ord 2014)
e2 x  3e x  2 . (suppl 2014)
Di20) Si determini il campo di esistenza della funzione: y  logsin x x 2  5x  6 con 0≤x≤2π. (straord 2014)
Di19) Si determini il dominio della funzione f(x)=
(GT) Goniometria e Trigonometria
GT1) Date una retta a di coefficiente angolare 2 ed una b di coefficiente angolare 2, calcolare il seno dell'angolo
orientato (a,b). (sp aut 2001)
GT2) Le due rette a, b hanno coefficienti angolari rispettivamente 1 e 1/2. Calcolare il coseno dell'angolo
orientato (a, b). (estero 2001)
GT3) Qual è la lunghezza di un arco di un circonferenza di raggio 10 m se l’angolo al centro che lo sottende
misura 4π/5? E se l’angolo misura 110°? (suppl estero 2001)
GT4) Cosa si intende per funzione periodica? Qual è il periodo di f(x) = sen (x  π/4) + 1? (suppl estero 2001)
GT5) Cosa si intende per funzione periodica? Qual è il periodo della funzione f(x) = sen (πx/3)? (ord 2002)
GT6) Cosa si intende per funzione periodica? Qual è il periodo della funzione f(x) = cos (x + π/4)  1? Quale
quello di cos πx? (estero 2002)
GT7) Dal punto A, a cui è possibile accedere, è visibile B, al quale però non si può accedere in alcun modo, così
da impedire una misura diretta della distanza AB. Da A si può però accedere a P, da cui, oltre ad A, è visibile B
in modo che, pur rimanendo impossibile misurare direttamente la distanza PB, è tuttavia possibile misurare la
distanza AP. Disponendo degli strumenti di misura necessari e noto che P non è allineato con A e B, spiegare
come si può usare il teorema dei seni per calcolare la distanza AB. (ord 2003)
GT8) Le ampiezze degli angoli di un triangolo sono α,  e γ . Sapendo che cosα = 5/13 e cos = 12/13, calcolare
il valore esatto di cosγ , specificando se il triangolo è rettangolo, acutangolo o ottusangolo. (estero 2003)
GT9) Sia APB un angolo la cui misura in radianti è data dal numero e di Nepero. Quale è la misura in gradi
sessagesimali di APB e quale quella in gradi centesimali? Motivare la risposta. (estero 2003)
GT10) Cosa si intende per funzione periodica? Qual è il periodo della funzione f(x) = sinx – 2cosx? (suppl 2003)
GT11) Dare una giustificazione delle formule cos2α = 2cos2α –1 e cos2α = 1 – 2sin2α e utilizzarle per provare che
cos4α = 8 cos4α – 8 cos2 α + 1. (suppl 2003)
GT12) Cosa si intende per funzione periodica? Qual è il periodo della funzione f(x) = tg2x + cos2x? (suppl estero 2003)
GT13) Noto che sin30° = 1/2, calcolare sin15°. (suppl 2003)
GT14) Di triangoli in cui due lati hanno lunghezza rispettivamente b  2 3  2 e c = 4 e l’angolo opposto al
primo di essi di ampiezza  = 15° ne esistono: a) nessuno; b) uno; c) 2; d) più di 2. Individuare l’unica risposta
corretta e spiegare la scelta in modo esauriente. (suppl 2003)
GT15) Sono assegnate le rette a, b di equazione rispettivamente: y = x +1/7, y =1/7 x – 1. Calcolare il coseno
dell’angolo orientato (a, b). (suppl aut 2003)
GT16) Un triangolo ha lati a, b, e l’angolo compreso  ; per quale valore dell’angolo l’area è massima? (ord 2004)
GT17) Risolvere la seguente disequazione: 12 arccos2x – 13π arccosx + 3π2 > 0. (Mar 2005)
GT18) Si calcoli senza calcolatrice sen235° + sen255°. (ord 2005)
GT19) Si dimostri che il lato del dodecagono regolare inscritto in una circonferenza è sezione aurea del raggio, e si
utilizzi il risultato per calcolare sin18° e sin36°. (ord 2005)
GT20) Spiegare come si può utilizzare il teorema di Carnot per trovare la distanza tra due punti accessibili ma
separati da un ostacolo. (estero 2005)
GT21) Trovare il periodo della funzione: y = sen (2x/3) + sen (x/4. (estero 2005)
GT22) È assegnata l’equazione senxcosx=1/4; Alberto ottiene, risolvendola, π/12 + kπ e 5π/12 + kπ. Gianni invece
ottiene x = (1)k π/12 + kπ/2. Chi ha ragione? (suppl 2005)
GT23) Dimostrare che ogni funzione del tipo y = asin2x + bsinxcosx + ccos2x, dove a, b, c sono numeri reali non
contemporaneamente nulli, ha di regola per grafico una sinusoide. C’è qualche eccezione? (straord 2005)
GT24) Nel triangolo ABC isoscele sulla base BC il lato AB = 10 cm e l’angolo ACB = arcsin 3/5. Risolvere il
triangolo e calcolare il raggio del cerchio circoscritto. (Mar 2006)
GT25) Si consideri la seguente proposizione: Condizione necessaria e sufficiente affinché due triangoli siano
congruenti è che abbiano due lati congruenti e i seni degli angoli fra essi compresi uguali. Dire se è vera o
falsa e spiegare in modo esauriente la risposta data. (estero 2006)
GT26) Il numero delle soluzioni dell’equazione sen2x cosx = 2 nell’intervallo [0,2π] è: [A] 0;[B] 2;[C] 3;[D] 5.
Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della scelta operata. (suppl 2006)
GT27) Considerata l’equazione: cos(x/2)sin2x=12, spiegare in maniera esauriente se ammette soluzioni reali o se
non ne ammette. (straord 2006)
GT28) È assegnato un pentagono regolare di lato lungo L. Recidendo opportunamente, in esso, cinque triangoli
congruenti, si ottiene un decagono regolare: calcolarne la lunghezza del lato. (Si lascino indicate le funzioni
goniometriche degli angoli coinvolti). (straord 2006)
GT29) Le misure dei lati di un triangolo sono 40, 60 e 80 cm. Si calcolino, con l’aiuto di una calcolatrice, le
ampiezze degli angoli del triangolo approssimandole in gradi e primi sessagesimali. (ord 2007)
GT30) Si determini il campo di esistenza della funzione y = arcsin (tgx) con 0 ≤ x ≤ 2. (suppl 2007)
GT31) Ricordando che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è sezione aurea del raggio, si provi che
sin  / 10 


5  1 / 4 . (Ord 2008)
GT32) Secondo il codice della strada il segnale di “salita ripida” preavverte di un tratto di strada con pendenza tale
da costituire pericolo. La pendenza vi è espressa in percentuale e nell’esempio è 10%. Se si sta realizzando una
strada rettilinea che, con un percorso di 1,2 km, supera un dislivello di 85 m, qual è la sua inclinazione (in gradi
sessagesimali)? Quale la percentuale da riportare sul segnale? (Ord 2008)
GT33) I lati di un parallelepipedo rettangolo misurano 8, 9 e 12 cm. Si calcoli, in gradi e primi sessagesimali,
l’ampiezza dell’angolo che la diagonale mandata da un vertice fa con ciascuno dei tre spigoli concorrenti al
vertice. (PNI 2008)
GT34) Le misure dei lati di un triangolo sono 12, 16 e 20 cm . Si calcolino, con l’aiuto di una calcolatrice, le
ampiezze degli angoli del triangolo approssimandole in gradi e primi sessagesimali. (estero 2008)
GT35) Una strada rettilinea in salita supera un dislivello di 150m con un percorso di 3 km. Quale è la sua
inclinazione? (estero 2008)
GT36) Si determini il periodo della funzione f (x) = cos5x . (Ord 2009) [ f (x) = cos7x (estero 2009 America);
f (x) = cos(3x + 1) (estero 2009 Europa)]
GT37) Sono dati un angolo α di π 2 radianti e un angolo β di 539 gradi. Si verifichi che sono entrambi maggiori di
un angolo giro e minori di due angoli giro. Si dica quale dei due è il maggiore. Si dica inoltre se è più grande il
seno di α o il seno di β. (suppl 2009)
GT38) Il comandante di una nave decide di raggiungere il porto B partendo dal punto A e seguendo un percorso
rettilineo. A causa di un errore, però, la nave inizia la sua navigazione lungo una rotta leggermente diversa da
quella prevista. Dopo 5 ore ci si accorge dello sbaglio e il comandante ordina di virare di un angolo di 23° in
modo da dirigere ora esattamente verso il porto B, che viene raggiunto dopo 3 ore. Se l’imbarcazione ha
mantenuto sempre una velocità costante, quanto tempo si è perso a causa dell’errore? (suppl 2009)
GT39) Le lunghezze dei lati di un triangolo sono numeri interi consecutivi e l’angolo di maggior ampiezza è il
doppio di quello di ampiezza minore. Si calcolino la lunghezza del lato minore e il coseno dell’angolo minore.
(suppl PNI 2009)
GT40) Un turista, che osserva un lago scozzese dalla cima di un fiordo alto 100 metri, vede spuntare la testa di un
mostro acquatico in un punto per il quale misura un angolo di depressione di 18,45°. Il mostro, che nuota in
linea retta allontanandosi dall’osservatore, si immerge, per riemergere cinque minuti più tardi in un punto per
cui l’angolo di depressione vale 14,05°. Con che velocità, in metri all’ora, sta nuotando il mostro? (suppl PNI 2009)
GT41) Un bagnino è seduto su un’alta piattaforma, in modo che i suoi occhi si trovano 7 m sopra il livello del
mare. Improvvisamente emerge in superficie la pinna di un grande squalo bianco. Se l’angolo di depressione è
4°, si stimi la distanza orizzontale tra la piattaforma e lo squalo, arrotondando il risultato all’unità. (straord 2009)
GT42) Una statua alta 70 m viene sistemata su una collina di altezza h. Da un certo punto A, situato al livello del
suolo, gli angoli di elevazione per la base B e la cima C della statua misurano rispettivamente 20,75° e 28,30°.
Si determini l’altezza h. (straord PNI 2009)
GT43) Si determini il dominio della funzione f(x) = cos x . (Ord 2010)
GT44) Si provi che non esiste un triangolo ABC con AB = 3, AC = 2 e ABC = 45°. Si provi altresì che se AB = 3,
AC = 2 e ABC=30°, allora esistono due triangoli che soddisfano queste condizioni. (Ord 2010)
GT45) In cima ad una roccia a picco sulla riva di un fiume è stata costruita una torretta d’osservazione alta 11
metri. Le ampiezze degli angoli di depressione per un punto situato sulla riva opposta del fiume, misurate
rispettivamente dalla base e dalla sommità della torretta, sono pari a 18° e 24°. Si determini la larghezza del
fiume in quel punto. (suppl 2010)
GT46) Due osservatori si trovano ai lati opposti di un grattacielo, a livello del suolo. La cima dell’edificio dista
1600 metri dal primo osservatore, che la vede con un angolo di elevazione di 15°. Se il secondo individuo si
trova a 650 metri dalla cima del grattacielo, quale è la distanza tra i due osservatori (non tenendo conto
dell’ostacolo grattacielo)? (straord 2010)
GT47) Angelo siede in un punto A della piazza del suo paese. E vi osserva un albero in B, una fontana in F e un
lampione in L. Stima l’ampiezza dell’angolo sotto cui vede la congiungente B e F pari a 30° e l’ampiezza
dell’angolo sotto cui vede FL pari a 45°. Sapendo che BF = 12 m e FL = 20 m e che BFˆL = 155°, si spieghi ad
Angelo come procedere per calcolare AB, AF e AL. Sono attendibili i risultati AB = AF  23,18 m e AL 
27,85 m? (estero 2011)
GT48) Si dimostri che, in un triangolo, il rapporto fra ciascun lato e il seno dell’angolo ad esso opposto è uguale al
diametro del cerchio circoscritto al triangolo. (estero 2011)
GT49) Si sa che certi uccelli, durante la migrazione, volano ad un’altezza media di 260 metri. Un’ornitologa
osserva uno stormo di questi volatili, mentre si allontana da lei in linea retta, con un angolo di elevazione di
30°. Se un minuto più tardi tale angolo si è ridotto a 20°, con che velocità si stanno spostando gli uccelli?
(suppl 2011)
GT50) È noto che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è sezione aurea del raggio. Si utilizzi il
risultato per calcolare sen(/10). (Com 2012)
GT51) Mentre corre con una velocità costante attraverso il deserto, montando il suo fido cammello, un capo tuareg
vede la cima di una grande palma e dirige direttamente verso di essa. Al primo avvistamento la cima della
palma si presentava con un angolo di elevazione di 4°; venti minuti più tardi l’angolo di elevazione misura 9°.
Quanti minuti sono ancora necessari al tuareg per raggiungere l’albero? (suppl 2012)
GT52) Alcuni ingegneri si propongono di costruire una galleria rettilinea che colleghi il paese A, situato su un
versante di una collina, col paese B, che si trova sul versante opposto. Da una terza località C i progettisti
misurano le distanze CA= 837 m, CB=1164 m e l’angolo ACB la cui ampiezza è 44,5°. Si calcoli quale sarà la
lunghezza della galleria. (straord 2012)
GT53) Si dimostri che il teorema di Pitagora è un caso particolare del teorema di Carnot. (straord 2012)
GT54) Un triangolo ABC ha l'angolo di vertice B doppio dell'angolo di vertice C e il lato AC di misura b. Si
determinino AB e BC in funzione dell'ampiezza x dell'angolo in C. Si risolva infine, nel contesto della
situazione proposta, la disequazione CB <AB. (Mar 2013)
GT55) Un triangolo ha area 3 e due lati che misurano 2 e 3. Qual è la misura del terzo lato? Si giustifichi la
risposta. (Ord 2013)
GT56) Si verifichi l’identità: 2cotg(2α)+tg α= cotg α . (estero 2013)
GT57) Si verifichi l’identità: tan45    
1  sin 2
. (estero 2013)
cos 2
GT58) Un aereo viaggia in volo orizzontale con velocità costante lungo una rotta che lo porta a sorvolare Venezia.
Da uno squarcio nelle nuvole il comandante vede le luci della città con un angolo di depressione di 7°. Tre
minuti più tardi ricompaiono nuovamente le luci, questa volta però l’angolo di depressione misurato è 13°.
Quanti minuti saranno ancora necessari perché l’aereo venga a trovarsi esattamente sopra la città? (suppl 2013)
GT59) Un ufficiale della guardia di finanza, in servizio lungo un tratto rettilineo di costa, avvista una motobarca di
contrabbandieri che dirige in linea retta, perpendicolarmente alla costa, verso un vecchio faro abbandonato.
L’angolo tra la direzione della costa e il raggio visivo dell’ufficiale che guarda la motobarca è di 34,6°; il
natante si trova a 6 miglia marine dal faro e si muove con una velocità di 18 nodi (miglia marine all’ora).
L’ufficiale ordina di salire immediatamente in macchina, in modo da raggiungere il faro, percorrendo una
strada parallela alla spiaggia, 10 minuti prima che vi approdino i contrabbandieri, per coglierli con le mani nel
sacco. A che velocità media, in km/h, deve muoversi l’automezzo della guardia di finanza per arrivare nei
tempi previsti? (Un miglio marino = 1853,182 m). (straord 2013)
2 

cos
  0 . (Ber 2014)
x 
2
GT60) Risolvere in Z la seguente equazione: cos 
GT61) Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α? (Ord 2014)
GT62) Si provi l’identità: arctan x  arctan y  arctan
GT63) Sapendo che cos x 
x y
. (Estero 2014)
1  xy
eix  e ix
eix  e ix
e sin x 
(ove è i2=−1) si dimostri che: cos2x+sin2x=1. (Estero 2014)
2
2i
GT64) Si calcolino, con l’aiuto di una calcolatrice, le ampiezze, in gradi e primi sessagesimali, degli angoli di un
triangolo i cui lati misurano 10, 24 e 26 decimetri. (Estero 2014)
GT65) Un osservatore posto sulla riva di un lago a 236 m sopra il livello dell’acqua, vede un aereo sotto un angolo
di elevazione α di 42,4° e la sua immagine riflessa sull’acqua sotto un angolo di depressione β di 46,5°. Si trovi
l’altezza dell’aereo rispetto all’osservatore. (suppl 2014)
GT66) Un gruppo di attivisti antinucleari ha organizzato una marcia di protesta verso un sito scelto per la
costruzione di una centrale termonucleare. Essi camminano, in pianura, con velocità costante, dirigendosi in
linea retta verso le torri di raffreddamento dell’impianto, che sono già state costruite. Alle 7 uno degli
organizzatori della marcia antinucleare vede la cima della torre di raffreddamento con un angolo di elevazione
di 2°; 30 minuti più tardi l’ampiezza dell’angolo è pari a 5°. Si calcoli a che ora il gruppo raggiungerà il
cantiere, arrotondando il risultato al minuto. (straord 2014)
GT67) Due osservatori A e B, posti in un campo orizzontale, alla distanza di 500 m, seguono con il cannocchiale
di un teodolite, alto 1,50 m, un aeroplano. Quando questo passa per il piano verticale comune di A e B, gli
angoli di elevazione sono, rispettivamente, in A di 80,33° e in B di 70°. A quale altezza dal suolo vola
l’aeroplano? (Straord Com 2014)
(PD) Problemi con discussione
PD1) L’equazione risolvente un dato problema è: k cos2x − 5k + 2 = 0 dove k è un parametro reale e x ha le
seguenti limitazioni: 15° < x < 45° . Si discuta per quali valori di k le radici dell’equazione siano soluzione del
problema. (ord 2006)
PD2) L’equazione risolvente un dato problema è: ksenx – 3k + 1 = 0 dove k è un parametro reale e x, per
soddisfare le condizioni del problema, deve essere 30° < x < 60° . Si discuta per quali valori di k le radici
dell’equazione siano soluzione del problema. (estero 2006)
(C) Calcolo combinatorio e principio di induzione
C1) Cos’è n! ? Qual è il significato nel calcolo combinatorio? Qual è il suo legame con i coefficienti binomiali?
(esempio 2001, ord 2005)
17  19 
  4  . (Mar 2001)
n  n 
C2) Verificare quanti valori di n soddisfano la disequazione 19
 n   n  1  n  1
  
 . (ord 2001) Essa spiega una delle regole sulle quali è basata la
C3) Dimostrare che    
 k   k  1  k 
costruzione del triangolo di Tartaglia (da Niccolò Fontana, detto Tartaglia, 1505 ca.–1557): enunciarla. (straord 2005)
C4) Si ricavi la formula che dà il numero delle combinazioni semplici di n elementi a k a k. (estero 2001)
C5) Calcolare se esiste un numero n per cui
n
n
k 0
 
  k   1048576 . (suppl 2001)
 n  k   n  k 
        nk . (P. Diacono 2002)
 2   2  2
C6) Dimostrare che 
C7) Dati i 90 numeri del Lotto, calcolare quante cinquine realizzano un determinato terno. (straord 2002)
C8) Dimostrare la formula che esprime il numero delle combinazioni semplici di n oggetti presi a k a k in funzione
del numero delle disposizioni semplici degli stessi oggetti presi a k a k e delle permutazioni semplici di k
oggetti. (straord PNI 2002)
C9) Quante sono le cinquine del lotto comprendenti 1 e 90? (ord 2003)
C10) Quante partite di calcio di serie A vengono disputate complessivamente (andata e ritorno in un campionato
a 18 squadre)? (PNI 2003)
C11) Sono assegnati gli insiemi A 1,2,3,4 e B a, b, c. Quante sono le funzioni di A in B? (ord 2004)
C12) Una classe è formata da 30 alunni, fra cui Aldo e Giacomo. Quante sono le possibili quaterne della classe
comprendenti Aldo e Giacomo? (estero 2004)
C13) Un professore interroga gli alunni due per volta in una classe di 20. Quante sono le possibili coppie? (estero 2004)
C14) In una classe di 25 alunni si estrae a sorte un gruppo di 3. Quante sono le possibili terne? (straord 2004)
2
n 
3
i


 i  . (straord 2005)
i 1
 i 1 
n
C15)
Dimostrare per induzione il teorema di Nicomaco:
C16) Calcolare quante sono le possibili cinquine che si possono estrarre da un’urna contenente i numeri naturali
da 1 a 90, ognuna delle quali comprenda però i tre numeri 1, 2 e 3. (straord 2005)
C17) Sviluppare la potenza a  b  e spiegare come si ottengono i coefficienti. (estero 2005)
C18) In una fabbrica lavorano 35 (20) operaie e 25 (60) operai. In quanti modi si può formare una delegazione
composta da 3 (4) operai e 2 (2) operaie? (estero 2005 e Mar 2006)
7
C19) Dimostrare che la somma dei coefficienti dello sviluppo di a  b  è uguale a 2n  nN. (ord/suppl estero 2006)
C20) Cinque ragazzi sono contrassegnati con i numeri da 1 a 5. Altrettante sedie, disposte attorno ad un tavolo,
sono contrassegnate con gli stessi numeri. La sedia 1, posta a capotavola, è riservata al ragazzo 1, che è il
caposquadra, mentre gli altri ragazzi si dispongono sulle sedie rimanenti in maniera del tutto casuale. Calcolare
in quanti modi i ragazzi si possono mettere seduti attorno al tavolo. (suppl 2006)
C21) Quanti sono i numeri di tre cifre (distinte fra loro) che è possibile scrivere utilizzando le cifre pari, diverse
da zero? (suppl estero 2006)
C22) Una classe è formata da 28 alunni, di cui 16 femmine e 12 maschi. Fra le femmine c’è una sola “Maria” e
fra i maschi un solo “Antonio”. Si deve formare una delegazione formata da due femmine e due maschi.
Quante sono le possibili delegazioni comprendenti “Maria” e “Antonio”? (straord 2006)
n
n n  2
 n  2  n  2
C23)
  2
  
 . (Mar 2007)
Si dimostri che    
 k   k  2   k 1   k 
C24)
Si risolva l’equazione: 4   15
C25)
  . (suppl 2007)
Si risolva la disequazione   
3  2  2
C26)
Si risolva la disequazione 5   
C27)
Dopo aver scritto la formula di Newton per lo sviluppo delle potenze di un binomio, si calcoli il valore di
n
4
 x
 n  2
 . (ord 2007)
 3 
15  x 
 x   x  2
 . (suppl PNI 2007)
3   3 
n n
n
      ....    . (Mar 2008)
 1  2
n
n n n
C28) Se   ,   ,   con n>3 sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n? (Ord 2008)
1   2   3 
10   10 
n
 ? (estero 2008 Europa)
C29) Quale significato attribuisci al simbolo   ? Esiste un k tale che    
 k   k  2
k 
n
12   12 
 ? (estero 2008 America)
Quale significato attribuisci al simbolo   ? Esiste un k tale che    
 k   k  3
k 
C31) Un’associazione è composta da 30 soci maschi e 20 femmine. Se il suo Consiglio Direttivo (CD) è formato
da 5 membri, di cui 3 maschi e 2 femmine, quanti sono i possibili CD eleggibili? (Mar 2009)
C30)
10   10 

 . (Ber 2009)
 k   k  2
C32)
Dire quali sono le soluzioni della seguente disequazione 
C33)
Si dimostri l’identità 
 n  n n  k
   
con n e k naturali e n > k. (Ord 2009)
k

1

  k  k 1
C34) Quanti sono i numeri di quattro cifre (distinte tra loro) che è possibile scrivere utilizzando le cifre pari,
diverse da zero? (estero 2009)
 x   x 
Si risolva l’equazione: 6      x( x  11) . (straord 2009)
 2   3 
C36) Sapendo che il secondo, il terzo e il quarto termine dello sviluppo di (a+b)n sono ordinatamente 192, 240 e
160, trovare a, b, n. (Mar 2010)
C35)
C37)
 n 
 ,
 n 1
Se n > 3 e 
 n   n 

 e 
 sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n? (Ord 2010)
 n  2   n  3
C38) In quanti modi 10 persone possono disporsi su dieci sedili allineati? E attorno ad un tavolo circolare?
(straord 2010)
C39) Il numero delle combinazioni di n oggetti a 4 a 4 è uguale al numero delle combinazioni degli stessi
oggetti a 3 a 3. Si trovi n. (Ord 2011)
C40) Siano dati nello spazio n punti P1, P2, P3, …. Pn . Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a due?
Quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti (supposto che nessuna terna sia allineata)? Quanti i
tetraedri (supposto che nessuna quaterna sia complanare)? (Ord 2012)
C41)
Si mostri che, nello sviluppo di (a + b)n , il coefficiente del termine akbn-k è uguale a
n!
. (Com 2012)
k!( n  k )!
C42) Quanti sono i numeri di 6 cifre che contengono: 2 volte esatte la cifra 1, 2 volte esatte la cifra 2 e non
contengono la cifra 0? (estero 2012)
C43) Un docente deve scegliere 4 studenti cui affidare un compito tra i 10 che ne hanno fatto richiesta. Quante
scelte può fare? (estero 2012)
C44) Dato l’insieme A = {1, 2, 5, 8}: determinare quanti numeri a due cifre si possono scrivere con gli elementi
di A, considerando che sono ammesse le ripetizioni. (estero 2012)
 n   n  1

 . (Ber 2013)
 n  3  5 
C45) Risolvere la seguente disequazione 3  
C46) Si dimostri per induzione la seguente identità: 12 + 22 + 32 + … + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 valida per
qualunque numero naturale n≠0. (Mar 2013)
C47) Con le cifre da 1 a 7 è possibile formare 7! = 5040 numeri corrispondenti alle permutazioni delle 7 cifre. Ad
esempio i numeri 1234567 e 3546712 corrispondono a due di queste permutazioni. Se i 5040 numeri ottenuti
dalle permutazioni si dispongono in ordine crescente qual è il numero che occupa la settima posizione e quale
quello che occupa la 721-esima posizione? (Ord 2013)
C48) Con le cifre da 1 a 7 è possibile formare 7! = 5040 numeri corrispondenti alle permutazioni delle 7 cifre. Ad
esempio i numeri 1234567 e 3546712 corrispondono a due di queste permutazioni. Se i 5040 numeri ottenuti
dalle permutazioni si dispongono in ordine crescente qual è il numero che occupa la 5036-esima posizione e
quale quello che occupa la 1441-esima posizione? (PNI 2013)
C49) Tommaso ha costruito un modello di tetraedro regolare e vuole colorare le 4 facce, ognuna con un colore
diverso. In quanti modi può farlo se ha a disposizione 9/10 colori? E se invece si fosse trattato di un cubo?
(estero 2013, suppl 2013)
 n  1
,
 n  1
C50) Determinare per quali valori di n  N i seguenti numeri: 
 n 1 

,
 n  2
8 n 

 , in
3  n  3
quest’ordine, sono tre termini di una progressione geometrica. Calcolare la ragione di tale progressione. (Ber 2014)
C51) Nello sviluppo di (2a2 – 3b3)n compare il termine – 1080a4b9. Qual è il valore di n? (Ord 2014)
C52) Quanti sono i numeri di 5 cifre con almeno una cifra dispari? Quanti quelli con almeno una cifra pari? (Com 2014)
C53) È possibile che nello sviluppo della potenza (2a2−3b3)7 compaia il monomio ka10b6 ? E il monomio ka8b8 ? (k
numero reale). Nel caso affermativo si trovi il valore di k motivando esaurientemente la risposta. (Estero 2014)
C54) Quanti colori si possono formare mediante le combinazioni dei sette colori fondamentali dello spettro?
(contando, cioè, i colori presi separatamente e a 2 a 2, a 3 a 3,..., a 7 a 7). (Estero 2014)
C55) Lo sviluppo della potenza (x3+yk)20 contiene il termine la cui parte letterale è: x21y26. Si trovi il valore di k.
(Estero 2014)
n
 n  1
Si dica se è possibile che sia:    
 . (straord PNI 2014)
 k   k  1
C57) Qual è il numero delle cinquine che si possono ottenere completando l’ambo {3, 25}? (straord PNI 2014)
C58) Per progettare un sito web è necessario generare dei codici unici di accesso. Si vogliono utilizzare, a tale
scopo, due lettere maiuscole dell'alfabeto inglese seguite da una serie di numeri compresi tra 0 e 9. Tutti i
codici di accesso dovranno avere lo stesso numero di cifre ed è ammessa la ripetizione di lettere e numeri. Qual
è il numero minimo di cifre da impostare in modo da riuscire a generare almeno 5 milioni di codici di accesso
diversi? Giustificare la risposta. (esempio 2015)
C56)
C59)
 n  1
 = 21
 5 
Risolvere l’equazione: 5 
 n  1

 . (Estero 2015)
 4 
(P) Probabilità
P1) Determinare la probabilità che lanciando 6 volte una moneta non truccata esca almeno 2 volte testa. (Mar 2001)
P2) Una classe ha 12 ragazzi e 4 ragazze; se ne scelgono tre a caso. Qual è la probabilità che siano tutti maschi?
(PNI 2001)
P3) Da un sacchetto contenente i 90 numeri della Tombola si estraggono 4 numeri a caso. Data la proposizione:
“La probabilità che fra essi ci siano l’1 e il 90 è 2/90 ”, dire se è vera o falsa e spiegare la risposta. (Proteo 2001)
P4) Nell’insieme delle cifre 1, 2 .. 9 se ne scelgono 2 a caso. La loro somma è pari. Determinare la probabilità che
siamo ambedue dispari. (suppl PNI 2001)
P5) Tra 15 videogiochi di cui 5 difettosi se ne scelgono 3 a caso. Determinare la probabilità che: a) nessuno dei tre
sia difettoso; b) almeno uno dei tre non sia difettoso. (suppl aut 2001)
P6) È più probabile ottenere almeno una volta 1 con 4 lanci di un solo dado oppure almeno un doppio 1 con 24
lanci di 2 dadi? (PNI 2002)
P7) Assumendo che i risultati 1, 2 e X siano equiprobabili, calcolare la probabilità che tutte le partite, eccetto una,
finiscano in parità. (PNI 2002)
P8) Da un mazzo di carte da gioco napoletane, formato da 40 carte distribuite in 4 semi: coppe, spade, bastoni,
denari, se ne estraggono due a caso. Calcolare la probabilità che fra esse vi sia almeno un re. (sp aut 2002)
P9) Da un’urna contenente 90 palline numerate se ne estraggono 4 senza reimbussolamento. Supponendo che
l’ordine sia irrilevante, qual è la probabilità della quaterna (7, 47, 67, 87)? (suppl PNI 2002)
P10) Da un’urna con 90 palline numerate se ne estraggono sei senza reimbussolamento. Supponendo che
l’ordine di estrazione sia irrilevante, calcolare la probabilità che esca la sestina (17, 27, 37, 47, 67, 87). (suppl aut 2002)
P11) Nel lancio di una moneta non truccata, calcolare la probabilità di avere almeno 5 teste in 6 lanci. (suppl aut 2002)
P12) Calcolare la probabilità che in 10 lanci di una moneta non truccata dal quinto lancio in poi esca sempre
testa. (suppl PNI 2002)
P13) Un’urna contiene 100 palline numerate da 1 a 100. Determinare la probabilità che estraendone una a caso,
essa sia contrassegnata da un numero: a) divisibile per 10 o per 8; b) divisibile per 10 e per 8; c) non divisibile
per 10 né per 8. (straord PNI 2002)
P14) Tre scatole A, B e C contengono lampade, di cui alcune difettose. A contiene 2000 lampade di cui 5%
difettose; B 500 di cui 20% difettose; C 1000 di cui 10% difettose. Se si sceglie a caso una scatola e si estrae
una lampada, qual è la probabilità che sia difettosa? (PNI 2003)
P15) Qual è la probabilità di vincere al lotto se si gioca 1 e 90? (PNI 2003)
P16) Calcolare la probabilità di avere almeno 6 teste in 9 lanci di una moneta. (sp aut 2003)
P17) Un’urna contiene 30 palline, 18 bianche e 12 nere; estraggo a caso 2 palline. Qual è la probabilità che la
seconda sia bianca se: a) la prima è bianca e viene rimessa nell’urna. b) la prima è bianca e non viene rimessa
nell’urna. c) La prima è messa da parte senza guardarla? (suppl PNI 2003)
P18) Una classe è formata da 30 alunni, fra cui Aldo e Giacomo. Scelti 4 studenti che probabilità c’è che la
quaterna comprenda Aldo e Giacomo? (estero 2004)
P19) Nel lancio di 2 dadi si ottiene un successo se esce almeno un 5. Determinare il numero minimo di volte in
cui bisogna tirare i 2 dadi per garantirsi una probabilità di almeno il 99% di ottenere almeno un successo.
(straord PNI 2004)
P20) Alla finale dei 200 piani partecipano 8 atleti, fra cui Antonio e Pietro. Se ognuno ha la stessa probabilità di
vincere, calcolare la probabilità che: a) sul podio finiscano sia Antonio che Pietro; b) almeno uno dei due
finisca sul podio; c) nessuno dei 2 finisca sul podio. (straord PNI 2004)
P21) In un cassetto ci sono 16 calzini blu e 12 bianchi. Estraendone 3 al buio, qual è la probabilità che siano tutti
blu? Quanti ne devo estrarre per essere sicuro di averne due blu? (Mar PNI 2005)
P22) Qual è la probabilità di ottenere 10 lanciando 2 dadi? Qual è la probabilità di avere due volte 10 in 6 lanci?
E di avere almeno due 10 in 6 lanci? (PNI 2005)
P23) In un’urna ci sono 2 palline bianche, in una 2 nere, nella terza una e una. Scelta a caso un’urna e estratta
una pallina a caso, risulta che essa è bianca. Sei disposto a scommettere alla pari che la pallina rimasta
nell’urna che hai scelto è anch’essa bianca? (suppl PNI 2005)
P24) Un’urna contiene delle palline che possono essere bianche o nere, di vetro o di plastica. Precisamente: 135
sono bianche, 115 di vetro; inoltre 45 palline di vetro sono bianche e 80 palline di plastica sono nere. Si estrae a
caso una pallina: qual è la probabilità che sia nera e di vetro? (straord PNI 2005)
P25) Nelle ultime 10 estrazioni non è uscito il 47 sulla Ruota di Napoli. Qual è la probabilità che non esca
neppure nelle prossime 10 estrazioni ed esca invece nell’11-esima estrazione? (straord PNI 2005)
P26) Bruno De Finetti era solito affermare: “la probabilità non esiste!”. Qual è il significato di tale
affermazione? (PNI 2006)
P27) Un tiratore spara ripetutamente a un bersaglio; la probabilità di colpirlo è 0,3 per ciascun tiro. Quanti tiri
deve fare per avere una probabilità ≥ 0,99 di colpirlo almeno una volta? (PNI 2006)
P28) Un’urna contiene 150 palline, che possono essere di vetro o di plastica, bianche o nere: 62 palline sono
bianche, 38 sono di vetro nero e 40 sono di plastica bianca. Calcolare la probabilità che, estratta a caso una
pallina, NON sia di plastica nera. (suppl PNI 2006)
P29) In ciascuna di tre buste uguali vi sono due cartoncini: in una busta essi sono bianchi, in un’altra sono neri,
nella terza uno bianco e l’altro nero. Si estrae a caso una busta e, da essa, un cartoncino. Qual è la probabilità
che il cartoncino rimasto in questa busta sia dello stesso colore di quello estratto? (suppl PNI 2006)
P30) Una classe è formata da 28 alunni, di cui 16 femmine e 12 maschi. Fra le femmine ci sono due Maria e fra i
maschi un solo Antonio. Si deve formare una delegazione formata da due femmine e due maschi. Quanto vale
la probabilità che la delegazione comprenda Antonio e almeno una Maria? (straord PNI 2006)
P31) Si scelga a caso un punto P all’interno di un triangolo equilatero il cui lato ha lunghezza 3. Si determini la
probabilità che la distanza di P da ogni vertice sia maggiore di 1. (PNI 2007)
P32) Si scelga a caso un punto P all’interno del cerchio. Si determini la probabilità che esso sia più vicino al
centro che alla circonferenza del cerchio. (suppl PNI 2007)
P33) È più probabile ottenere almeno un 6 lanciando quattro volte un dado o ottenere almeno un 12 lanciando
ventiquattro volte due dadi? (straord PNI 2007)
P34) Qual è la probabilità di ottenere come somma 6, lanciando due dadi? Se i due dadi si lanciano 4 volte di
seguito, qual è la probabilità di ottenere almeno una volta per somma 6? (Mar PNI 2008)
P35) Siano dati un cono equilatero e la sfera in esso inscritta. Si scelga a caso un punto all’interno del cono. Si
determini la probabilità che tale punto risulti esterno alla sfera. (PNI 2008)
P36) In una classe composta da 12 maschi e 8 femmine, viene scelto a caso un gruppo di 8 studenti. Qual è la
probabilità che, in tale gruppo, vi siano esattamente 4 studentesse? (PNI 2008)
P37) Un meteorite cade sulla Terra; qual è la probabilità che il punto d’incontro si trovi fra l’equatore e il tropico
del Cancro (latitudine λ = 23° 27’ nord)? (suppl PNI 2008)
P38) Si determini la probabilità che, lanciando 8 volte una moneta non truccata, si ottenga 4 volte testa. (suppl PNI 2008)
P39) Batman, Robin e Batgirl si sfidano a una gara di tiro di bat-arang. Sapendo che in ogni tiro la probabilità di
colpire il bersaglio sono, rispettivamente, per Batman dell’80%, per Robin del 75% e per Batgirl del 70%, qual
è la probabilità che in una sessione di tiro nessuno colpisca il bersaglio? (Mar PNI 2009)
P40) Una moneta da 2 euro (il suo diametro è 25,75 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con
mattonelle quadrate di lato 10 cm. Qual è la probabilità che la moneta vada a finire internamente ad una
mattonella? (cioè non tagli i lati dei quadrati) (PNI 2009)
P41) Nel gioco del lotto, qual è la probabilità dell’estrazione di un numero assegnato? Quante estrazioni occorre
effettuare perché si possa aspettare, con una probabilità p = 1/2 assegnata, di vederlo uscire almeno una volta?
(suppl PNI 2009)
P42) Siano dati una sfera di raggio r, il cubo in essa inscritto e il cono circolare retto inscritto nel cubo. Si scelga
a caso un punto all’interno della sfera: si determini la probabilità che il punto risulti interno al cono. (suppl PNI 2009)
P43) Lanciando due dadi, qual è il numero che ha maggiore probabilità di uscita? Qual è la probabilità che esca
un numero primo? (straord PNI 2009)
P44) Sia dato un triangolo avente i lati lunghi rispettivamente 13 cm, 14 cm e 15 cm e il cerchio in esso inscritto.
Si scelga a caso un punto all’interno del triangolo: si determini la probabilità che tale punto risulti esterno al
cerchio. (straord PNI 2009)
P45) Inizio a giocare a battaglia navale. Nella situazione rappresentata in figura, quale probabilità ho di
affondare
la nave più piccola con i primi due colpi? (Strategia: se apprendo dall’avversario
che un colpo è andato a segno, cerco con il successivo di colpire di nuovo la nave individuata). (Mar 2010)
P46) Il programma di un esame prevede 64 argomenti diversi; fra tutti, il giorno dell’esame, ne vengono
sorteggiati 5, e fra questi 5 ogni candidato ne deve svolgere uno soltanto. Se sono riuscito a preparare soltanto
40 argomenti, che probabilità ho di poter svolgere uno di quelli da me preparati? (Mar 2010)
P47) Per la ricorrenza della festa della mamma, la sig.ra Luisa organizza una cena a casa sua, con le sue amiche
che hanno almeno una figlia femmina. La sig.ra Anna è una delle invitate e perciò ha almeno una figlia
femmina. Durante la cena, la sig.ra Anna dichiara di avere esattamente due figli. Si chiede: qual è la probabilità
che anche l’altro figlio della sig.ra Anna sia femmina? Si argomenti la risposta. (PNI 2010)
P48) Siano dati un ottaedro regolare di spigolo l e la sfera in esso inscritta; si scelga a caso un punto all’interno
dell’ottaedro. Si determini la probabilità che tale punto risulti interno alla sfera. (suppl PNI 2010)
P49) Un’urna contiene 20 palline, che possono essere rosse o azzurre. Quante sono quelle azzurre, se, estraendo
2 palline senza riporre la prima estratta, la probabilità di estrarre almeno una pallina azzurra è 27/38 ? (suppl PNI 2010)
P50) Una rappresentanza di cinque persone deve essere scelta a caso tra dieci uomini e tre donne. Qual è la
probabilità che il comitato sia costituito da tre uomini e due donne? (straord PNI 2010)
P51) Sia data l’ellisse di equazione: x2/a2 + y2/b2 = 1 e il rombo in essa inscritto, con i vertici coincidenti con
quelli dell’ellisse. Si scelga a caso un punto all’interno dell’ellisse: si determini la probabilità che tale punto
risulti esterno al rombo. (straord PNI 2010)
P52) Supponiamo che i guidatori di auto Rosse abbiano una probabilità del 30% di commettere un incidente
mentre tale probabilità è del 10% per i guidatori di auto Blu. In caso di incidente qual è la probabilità che esso
sia stato commesso da una macchina Blu sapendo che il 60% delle auto in circolazione è Blu e il rimanente
40% è Rosso? (Mar 2011)
P53) Un test d’esame consta di dieci domande, per ciascuna delle quali si deve scegliere l’unica risposta corretta
fra quattro alternative. Quale è la probabilità che, rispondendo a caso alle dieci domande, almeno due risposte
risultino corrette? (PNI 2011)
P54) Un bersaglio è costituito da tre cerchi concentrici, i cui raggi misurano rispettivamente 5, 3 e 1. Un arciere
ha probabilità ½ di colpire il bersaglio. Qual è la probabilità che lo colpisca in un punto appartenente al cerchio
di raggio 3 ma non a quello di raggio 1? (suppl PNI 2011)
P55) Sia P un punto fissato su una circonferenza; quale è la probabilità che prendendo su questa due punti a caso
A e B, l’angolo APB sia acuto? Si illustri il ragionamento seguito. (suppl PNI 2011)
P56) Una moneta da 1 euro (il suo diametro è 23,25 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con
mattonelle esagonali (regolari) di lato 10 cm. Quale è la probabilità che la moneta vada a finire internamente ad
una mattonella (cioè non tagli i lati degli esagoni)? (PNI 2012)
P57) Un’azienda industriale possiede tre stabilimenti (A, B e C). Nello stabilimento A si produce la metà dei
pezzi, e di questi il 10% sono difettosi. Nello stabilimento B si produce un terzo dei pezzi, e il 7% sono
difettosi. Nello stabilimento C si producono i pezzi rimanenti, e il 5% sono difettosi. Sapendo che un pezzo è
difettoso, con quale probabilità esso proviene dallo stabilimento A? (PNI 2012)
P58) Si lancino due dadi. Qual è la probabilità che uno e soltanto uno dei due numeri sia 5? (Com 2012)
P59) Si determini la probabilità che nel lancio di due dadi si presenti come somma un numero dispari. Lanciando
5 volte i dadi, qual è la probabilità di ottenere come somma un numero dispari almeno due volte? (suppl PNI 2012)
P60) Si scelga a caso un punto all’interno di un parallelogramma, avente i lati lunghi rispettivamente 8m e 6m e
gli angoli acuti di 30°. Si determini la probabilità che la sua distanza da ogni vertice sia maggiore di 2m. (suppl
PNI 2012)
P61) Si determini la probabilità che in otto lanci di una moneta si presenti croce un numero dispari di volte.
(straord PNI 2012)
P62) In una figliata di quattro gattini, è più probabile che due siano maschi e due siano femmine, oppure che
tre siano di un sesso e uno dell’altro? (straord PNI 2012)
P63) Si consideri un gioco a premi in cui al giocatore vengono mostrate tre porte chiuse: dietro ad una sola di
esse si trova un’automobile, mentre ciascuna delle altre due nasconde una capra. Il giocatore può scegliere una
delle tre porte, vincendo il premio corrispondente. Dopo che il giocatore ha selezionato una porta, ma non l’ha
ancora aperta, il conduttore del gioco, che conosce ciò che si trova dietro ogni porta, apre una delle altre due,
rivelando una capra e offre al giocatore la facoltà di cambiare la propria scelta iniziale. Si dica, con esaurienti
motivazioni, se cambiare la porta aumenta, diminuisce o lascia inalterata la probabilità di vincere l’automobile.
(Mar PNI 2013)
P64) In un gruppo di 10 persone il 60% ha occhi azzurri. Dal gruppo si selezionano a caso due persone. Quale è
la probabilità che nessuna di esse abbia occhi azzurri? (PNI 2013)
P65) Lanciando due dadi, qual è la probabilità che esca per somma un numero primo? Quante volte occorre
lanciarli perché si possa aspettare, con una probabilità p = 80% assegnata, di veder apparire almeno una volta
un numero primo? (suppl PNI 2013)
P66) Data la circonferenza di equazione x2 + y2 = 16 , si calcoli la lunghezza dell’arco compreso tra i punti
A(2√3; 2) e B(2; 2√3). Si scelga poi a caso un punto sulla circonferenza: si determini la probabilità che tale
punto giaccia sull’arco AB. (suppl PNI 2013)
P67) Un cono equilatero di piombo (densità ρ=11,34 g/cm3 ), avente il raggio r=5 cm, presenta all’interno una
cavità di forma irregolare ed ha la massa m=2 kg. Si scelga a caso un punto all’interno del cono. Si determini la
probabilità che tale punto risulti esterno alla cavità. (straord PNI 2013)
P68) Un missile ha la probabilità 3/10 di colpire un bersaglio. Quanti missili si debbono lanciare perché la
probabilità di colpire il bersaglio almeno una volta sia maggiore dell’80%? (straord PNI 2013)
P69) Venti palline sono poste in un’urna. Cinque sono rosse, cinque verdi, cinque gialle e cinque bianche.
Dall’urna si estraggono a caso, senza reimbussolamento, tre palline. Si valutino le seguenti probabilità: esattamente una pallina è rossa; - le tre palline sono di colori differenti. (PNI 2014)
P70) La “zara” è un gioco d’azzardo di origine araba che conobbe particolare fortuna in Italia in epoca
medievale – ne parla anche Dante nella Divina Commedia – e si giocava con tre dadi. Si confronti la
probabilità di ottenere in un lancio la somma 9 con quella di ottenere la somma 10. (PNI 2014)
P71) Un mazzo di “tarocchi” è costituito da 78 carte: 22 carte figurate, dette “Arcani maggiori”, 14 carte di
bastoni, 14 di coppe, 14 di spade e 14 di denari. Estraendo a caso da tale mazzo, l’una dopo l’altra con
reinserimento, 4 carte, qual è la probabilità che almeno una di esse sia un “Arcano maggiore”? (suppl PNI 2014)
P72) Nel poscritto al suo racconto “Il Mistero di Marie Rogêt”, Edgar Allan Poe sostiene che, “avendo un
giocatore di dadi fatto doppio sei per due volte consecutive, vi è una ragione sufficiente per scommettere che
gli stessi sei non usciranno a un terzo tentativo”. Ha ragione? Si motivi esaurientemente la risposta. (suppl PNI 2014)
P73) Un solido Ω è formato da un cilindro equilatero di raggio r e da due coni equilateri, aventi le basi
coincidenti con quelle del cilindro ed esterni al cilindro. Se si sceglie a caso un punto all’interno di Ω, qual è la
probabilità che tale punto risulti interno al cilindro? (straord PNI 2014)
P74) In una stazione ferroviaria, fra le 8 e le 10 del mattino arrivano in media ogni 20 minuti due treni.
Determinare la probabilità che in 20 minuti: a) non arrivi alcun treno; b) ne arrivi uno solo; c) ne arrivino al
massimo quattro. (esempio 2015)
P75) Lanciando una moneta sei volte qual è la probabilità che si ottenga testa “al più” due volte? Qual è la
probabilità che si ottenga testa “almeno” due volte? (ord 2015)
P76) I lati di un triangolo misurano, rispettivamente, 6 cm, 6 cm e 5 cm. Preso a caso un punto P all’interno del
triangolo, qual è la probabilità che P disti più di 2 cm da tutti e tre i vertici del triangolo? (ord 2015)
P77) Da un’analisi di mercato è risultato che il 32% della popolazione usa il prodotto A. Scelto a caso un gruppo
di 12 persone, determinare il valore medio, la varianza e la deviazione standard della variabile casuale X =
«numero di persone che usa il prodotto A». Calcolare inoltre la probabilità che, all’interno del gruppo scelto, il
numero di persone che usano detto prodotto sia compreso tra 2 e 5, estremi inclusi. (Estero 2015)
P78) Vengono lanciati due dadi. Dei due punteggi, viene considerato il maggiore; se sono uguali, viene
considerato il punteggio comune dei due dadi. Detto X il punteggio registrato, riportare in una tabella la
distribuzione di probabilità di X e mostrare che 𝑝(𝑋 = 3) = 5/36 . Calcolare inoltre la media e la varianza di X.
(suppl 2015)
P79) Una fabbrica produce mediamente il 3% di prodotti difettosi. Determinare la probabilità che in un
campione di 100 prodotti ve ne siano 2 difettosi, usando: a) la distribuzione binomiale; b) la distribuzione di
Poisson. (suppl 2015)
P80) Durante il picco massimo di un’epidemia di influenza il 15% della popolazione è a casa ammalato: a) qual
è la probabilità che in una classe di 20 alunni ce ne siano più di due assenti per l’influenza? b) descrivere le
operazioni da compiere per verificare che, se l’intera scuola ha 500 alunni, la probabilità che ce ne siano più di
50 influenzati è maggiore del 99%. (Straord 2015)
P81) Determinare la funzione densità di probabilità di una variabile casuale continua che assume valori
nell’intervallo [2, 5] con una distribuzione uniforme. Determinare inoltre il valore medio, la varianza, la
deviazione standard di tale variabile e la probabilità che sia 7/3 ≤ 𝑥 ≤ 17/4 . (Straord 2015)
(ST) Statistica

 x   2
ST1) Si consideri la funzione: f ( x)  1/( 2 )e 2 . Se ne spieghi l’importanza nelle applicazioni della
matematica illustrando il significato di , ,  2 e come tali parametri influenzino il grafico di f(x). (PNI 2007)
(T) Trasformazioni del piano e coniche
T1) L’insieme dei punti di un piano cartesiano che verifica l’equazione xy – 3x + 5y – 15 = 0 è dato da: a) i punti
(5,0) e (0,3); b) i punti (5,0) e (0,3); c) l’intersezione fra le rette x = 5 e y = 3; d) l’unione fra le rette x = 5
e y = 3; e) nessuna delle precedenti. Individuare la risposta corretta e spiegare la scelta effettuata. (esempio 2001)
T2) In un piano è assegnato il luogo geometrico dei punti rappresentati dalla seguente equazione: x2 + y2  4 xy = 0.
Esso è costituito da: A) un punto; B) due punti; C) una retta; D) due rette; E) una figura diversa dalle
precedenti. Una sola alternativa è corretta: individuarla e argomentare la scelta effettuata. (Proteo 2001)
T3) Di un’affinità si sa soltanto che due rette corrispondenti, comunque scelte, sono parallele. Considerate le due
seguenti proposizioni: A) è escluso che l’affinità sia una rotazione; B) l’affinità può essere una similitudine.
Dire di ciascuna se è vera o falsa e spiegare la risposta. (Proteo 2001)
T4) È assegnato il luogo geometrico dei punti che soddisfano l’equazione: 2xy – (k – 1)x + 4y – 2k + 1 = 0 , dove k
è un parametro reale. Determinare per quali valori di k il luogo è: a) un'iperbole; b) una coppia di rette. (estero 2001)
T5) Data l’affinità di equazioni X = 2x + 3y , Y = – 3x + 2y , determinare, se esistono, le sue rette unite. (Proteo 2001)
2
T6) Spiegare, con esempi appropriati, la differenza fra omotetia e similitudine nel piano. (PNI 2002)
T7) Determinare le coordinate del baricentro del triangolo in cui l’omotetia di centro (1, 2) e caratteristica 1/4
trasforma il triangolo di vertici (4, 0), (4, 4), (0, 8). (straord PNI 2002)


 

 X  ax  by
, determinare quella che trasforma i punti 3, 2 e 3 2 / 2 , 0 nei
Y  cx  dy
T8) Tra le affinità di equazioni: 
 

punti 1/ 3 , 7 2 / 3 e  2 / 2 , 2 . (straord PNI 2002)
T9) Data la curva y = cosx – 2senx, determinare una traslazione degli assi che trasformi l’equazione nella forma Y =
k senX. (estero 2003)
T10) In un piano sono date le affinità di equazioni x’= (a+1) x – by + a, y’= (a – 1)x + 2by – 1, con a, b reali.
Dimostrare che fra di esse vi è una similitudine diretta e di questa trovare il punto unito. (suppl PNI 2003)
T11) Sono date due circonferenze non congruenti, l'una esterna all'altra. Di omotetie che trasformano la minore
nella maggiore ve ne sono: A) nessuna; B) una sola; C) due soltanto; D) infinite. Una sola alternativa è corretta:
individuarla e spiegare la scelta in modo esauriente. (straord PNI 2003)
T12) È assegnata l'affinità (A) di equazioni: x = – 2X + 3Y , y = X – 2Y. Calcolare l'area della figura trasformata
di un cerchio di raggio 1 secondo l'affinità (A). (straord PNI 2003)
T13) Un solido è trasformato mediante una similitudine di rapporto 3. Come varia il suo volume? E l’area della
sua superficie? (suppl aut 2001, PNI 2004)
T14) Nel piano è data la trasformazione x  x 3  y e y  x  y 3 . Di che tipo di trasformazione si tratta?
(PNI 2004)
T15) Si consideri l’equazione xy + px + qy + r = 0. Determinare sotto quali condizioni per p, q e r non tutti nulli
essa rappresenta l’insieme di due rette. (suppl PNI 2004)
T16) Descrivere tutte le isometrie che mutano un tetraedro regolare in sé. (suppl PNI 2004)
T17)
 X  ax  by
; determinare fra esse quella che porta il punto (1,0) nel punto
Y  (1 / 2)bx  2
Sono assegnate le affinità 
(1,1) e stabilire se essa ammette rette unite. (suppl PNI 2004)
T18)
 X  mx  2 y  m
con m reale. Trovare il luogo dei punti uniti dell’affinità al
Y   x  y  m
Sono date le affinità 
variare di m. (straord PNI 2004)
T19) Determinare le equazioni di due simmetrie assiali  e  la cui composizione dia luogo alla traslazione
 x'  x  5
. Determinare poi le equazioni della trasformazione che si ottiene componendo le 2 simmetrie in

 y '  y  5
ordine inverso. (PNI 2005)
T20) Le rette y=1+2x e y=2x–4 si corrispondono in un’omotetia di centro (0,0). Determinare l’omotetia. (PNI 2005)
T21)
 x'  2 x  my  1
con m reale, trovare l’equazione del luogo geometrico dei suoi
 y '  mx  2 y  2
Data la trasformazione 
punti uniti. (suppl PNI 2005)
T22) Dimostrare che ogni similitudine trasforma una parabola in una parabola. (suppl PNI 2006)
T23) Si considerino le seguenti equazioni: x’ = ax – (a – 1)y + 1 , y’ = 2ax + (a – 1)y + 2, dove a è un parametro
reale. Determinare i valori di a per cui le equazioni rappresentano: 1) un’affinità, 2) un’affinità equivalente (si
ricorda che un’affinità si dice equivalente se conserva le aree). (straord PNI 2006)
T24) Si dimostri che l’insieme delle omotetie con centro O fissato è un gruppo. (PNI 2007)
T25) Dopo aver determinato l’equazione della curva C che risulta dalla trasformazione della circonferenza
 x'  2 x  1
, si determini l’area delimitata da C. (Mar 2008)
 y'  y  1
goniometrica secondo l’affinità 
T26) Si dia la definizione di parabola come luogo geometrico di punti e, successivamente, si determini
l’equazione della parabola riferita in un sistema di assi ortogonali xOy che ha il fuoco nel punto F(1,1) e che
abbia per direttrice la retta di equazione x + y + 1 = 0. (Mar 2008)
T27) Qual è l’equazione della curva simmetrica rispetto all’origine di y = e−2x ? Quale quella della curva
simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante? (PNI 2008)
T28) Nell’ omotetia di centro O(0,0) e rapporto k = 4, si determini l’equazione della circonferenza
corrispondente alla x2 + y2  2x + 4y = 0. Si confrontino fra di loro i centri e i raggi delle due circonferenze.
(suppl PNI 2009)
T29) Determina, disegnandone il grafico, l’equazione cartesiana del luogo geometrico definito da:
 x  1  4 sin t
t  [0, 2π]. (Mar 2010)

 y  3  2 cos t
T30) Se si uniscono i punti medi dei lati di un quadrato si ottiene un nuovo quadrato. Attraverso quale
trasformazione (descrivi le sue caratteristiche) il quadrato ottenuto può essere trasformato nel quadrato iniziale?
(Mar 2010)
T31)
Sia f una funzione continua nell’intervallo a, b ed I il suo integrale in tale intervallo I 

b
a
f ( x)dx . Se
applichiamo al piano la trasformazione : (x, y) (kx, ky), con k reale positivo, qual è il valore del
corrispondente integrale? (Mar 2010)
T32) Si determini il centro e l'angolo di rotazione della seguente rotazione dei punti del piano:
 x'  (4 / 5) x  (3 / 5) y  (1/ 5)
(Mar 2011)

 y '  (3 / 5) x  (4 / 5) y  (2 / 5)
T33) Sia C la curva d’equazione y = x2 – 2x + 4, e sia G la curva simmetrica di C rispetto all’asse y. Qual è
l’equazione di G? (suppl PNI 2012)
(SL) Sistemi lineari
SL1)
kx  y  z  0

Dato il seguente sistema di equazioni:  x  ky  z  0 , con k reale. Dire se l’affermazione: “il sistema
 x  y  kz  0

ammette la sola soluzione 0,0,0 per ogni valore di k diverso da 1” è vera o falsa e spiegare la risposta. (suppl PNI 2003)
SL2)
ax  y  z  a

È dato il sistema lineare  x  ay  z  a con a reale. Esso è: a) determinato per ogni a. b) indeterminato
 x  y  az  a

per un unico valore di a e impossibile per un unico valore di a. c) Indeterminato per nessun a, ma impossibile
per un solo a. d) Impossibile per nessun a, indeterminato per un solo a. Scegliere l’unica risposta corretta e
argomentare in modo esauriente la scelta. (suppl PNI 2005)
SL3) Si discuta il seguente sistema lineare omogeneo in relazione al parametro reale λ e si determinino in ogni
 x  2 y  3z  0

caso le eventuali soluzioni:   1x  y  4 z  0 . (suppl PNI 2009)
x  5 y  2  1z  0

(Gs) Geometria solida senza massimo e minimo
Gs1) Dimostrare che il volume di un segmento sferico ad una base, di raggio di base r e altezza h, è dato da:
V = (1/6) πh(h2 + 3r2). (esempio 2001)
Gs2) Illustrare il significato della derivata rispetto a x delle formule V = (4/3)x3 e S= πx2 che danno il volume
della sfera di raggio x e l’area di un cerchio di raggio x. (esempio 2001)
Gs3) Determinare gli angoli diedri di un ottaedro regolare di lato L. (Mar 2001, straord 2004, suppl PNI 2006)
Gs4) Dato un cubo di spigoli AA’, BB’, CC, e DD’ le cui facce opposte sono ABCD e A’B’C’D’, sia E il punto
medio dello spigolo AB. I piani ACC’A’ e D’DE dividono il cubo in 4 parti. Dimostrare che la più estesa è il
quintuplo di quella meno estesa. (ord 2001)
Gs5) Un tronco di piramide ha basi di area B e b, e altezza h. Dimostrare che il suo volume è


V= (1/ 3)h B  b  Bb . (ord 2001)
Gs6) Provare che una sfera è equivalente a 2/3 del cilindro a essa circoscritto (PNI 2001)
Gs7) Si consideri un cubo di spigoli AA’, BB’, CC, e DD’ le cui facce opposte sono ABCD e A’B’C’D’. Sia E il
punto medio dello spigolo AB e CF la retta perpendicolare a DE per C. I piani D’DE e C’CF dividono il cubo
in 4 parti. Calcolare a quale frazione del cubo equivale ciascuna di esse. (suppl 2001)
Gs8) Calcolare il rapporto fra la superficie totale di un cilindro equilatero e quella della sfera a esso circoscritta.
(suppl PNI 2001)
Gs9) Il rapporto fra base maggiore e base minore di un trapezio isoscele è 4. Stabilire, fornendo ampia
spiegazione, se si può determinare il valore del rapporto fra i volumi dei solidi ottenuti facendo ruotare il
trapezio di un giro completo dapprima intorno alla base maggiore e poi intorno alla minore, o se i dati sono
insufficienti. (ord 2002)
Gs10) Due tetraedri regolari hanno aree totali A’ e A” e volumi V’ e V”; si sa inoltre che A’/A” = 2. Calcolare il
valore del rapporto V’/V”. (ord 2002)
Gs11) Una piramide è divisa da un piano parallelo alla base in due parti: una piramide e un tronco di piramide. Il
piano sezione divide l'altezza della piramide in due segmenti, di cui quello che contiene il vertice della
piramide è doppio dell'altro. Stabilire se i dati sono o no sufficienti per calcolare il rapporto fra il volume della
piramide recisa e quello del tronco di piramide. (sp aut 2002)
Gs12) Un cilindro avente il raggio di base di 8,5 cm e altezza 20 cm viene riempito con biglie d’acciaio di 2,1 cm
di diametro. Dimostrare che nel cilindro ci sono meno di 940 biglie. (estero 2002)
Gs13) Due rette a, b nello spazio sono perpendicolari a una retta p. a) possono essere parallele? B) possono essere
ortogonali? C) sono sempre parallele? D) sono sempre ortogonali? (suppl 2002)
Gs14) Dato un tetraedro regolare, si consideri il quadrilatero avente per vertici i punti medi degli spigoli di due
facce. Dimostrare che è un quadrato. (suppl 2002)
Gs15) Esprimere in funzione dello spigolo s l’altezza di un tetraedro regolare. (suppl aut 2002)
Gs16) Una piramide si dice retta: A) se gli spigoli che concorrono nel suo vertice sono a due a due perpendicolari;
B) se almeno un angolo del poligono di base è retto; C) se l’altezza è perpendicolare alla base; D) per una
ragione diversa dalle precedenti. Una sola risposta è corretta: individuarla e argomentare la scelta in modo
articolato. (suppl estero 2002)
Gs17) Calcolare il volume di un ottaedro regolare, conoscendo la lunghezza s di un suo spigolo. (suppl estero 2002)
Gs18) Dare una definizione di “rette sghembe”. Si consideri la seguente proposizione: comunque prese 3 rette x, y
e z distinte, se x e y sono sghembe e y e z pure, allora anche x e z sono sghembe. Vero o falso? Illustrare la
risposta in modo esauriente. (ord 2003)
Gs19) Un piano interseca tutti gli spigoli laterali di una piramide quadrangolare regolare. Descrivere i possibili
quadrilateri sezione a seconda della posizione del piano rispetto alla piramide. (ord 2003)
Gs20) Dare un esempio di solido la cui superficie laterale è 7π. (estero 2003)
Gs21) Dare un esempio di un solido la cui superficie laterale è 24π. (suppl 2003)
Gs22) Nello spazio si considerino 2 piani α e  e una retta r parallela a entrambi i piani. Cosa si può dire della
posizione reciproca dei piani? (suppl PNI 2003)
Gs23) Dimostrare che se 3 rette distinte passano per un punto O e una quarta retta incontra le 3 rette in un punto
distinto da O, le 3 rette sono complanari. (suppl estero 2003)
Gs24) Nell’insieme delle rette dello spazio si consideri la relazione: “Due rette sono parallele se sono complanari
e non hanno punti comuni”. Dire se è vero o falso che gode della proprietà transitiva e spiegare la risposta.
(straord 2003)
Gs25) La parte di sfera compresa fra due piani paralleli che la secano si chiama segmento sferico a due basi.
Indicati con r1 e r2 ed i raggi delle basi del segmento e con h la sua altezza (distanza tra le basi), dimostrare che
il volume V del segmento sferico considerato è dato dalla formula: V = 1/6 πh(h2 + 3r12+3r22). (straord PNI 2003)
Gs26) Provare che la superficie totale di un cilindro equilatero sta alla superficie totale della sfera a esso
circoscritta come 3 sta a 4. (ord 2004)
Gs27) Calcolare l’ampiezza del diedro formato da 2 facce di un tetraedro regolare, approssimata al secondo.
(estero 2004 e 2006)
Gs28) La retta r è perpendicolare nel vertice A al piano del quadrato ABCD. Detto E un punto qualunque di r,
diverso da A, dimostrare che le facce laterali della piramide ABCDE sono triangoli rettangoli a due a due
congruenti. (estero Europa 2004)
Gs29) Dimostrare che, se due piani sono perpendicolari, ogni retta perpendicolare a uno di essi è parallela all’altro
o è contenuta in esso. Si può concludere che ogni retta parallela a un piano è perpendicolare all’altro? Spiegare
la risposta. (straord 2004)
Gs30) I centri delle facce di un cubo sono vertici di un ottaedro. Tale ottaedro è regolare? Qual è il rapporto fra i
volumi del cubo e dell’ottaedro? (ord 2005)
Gs31) AB, AC, AD sono spigoli di un cubo, lunghi S. Calcolare la distanza di A dal piano dei punti B, C, D.
(suppl PNI 2005)
Gs32) Il piano γ interseca i piani paralleli α, β secondo le rette a e b. Cosa si può dire della posizione di a e b?
(estero 2005)
Gs33) Una piramide ha base quadrata e altezza 10 cm. Quanti piani paralleli alla base dividono la piramide in due
parti i cui volumi sono in rapporto 7:3? Quali sono le distanze di tali piani dal vertice della piramide? (estero 2005)
Gs34) Si considerino un tronco di piramide quadrangolare regolare, la cui base maggiore abbia area quadrupla
della minore, e un piano α equidistante dalle basi del tronco. Dire se i dati sono sufficienti per calcolare il
rapporto fra i volumi dei due tronchi in cui il tronco dato è diviso dal piano α. (straord 2005)
Gs35) La base di una piramide è un triangolo equilatero di lato a. Uno degli spigoli laterali è perpendicolare alla
base, gli altri sono inclinati di un angolo α. Trovare l’area della faccia più grande della piramide. Per quali


valori di α essa è minore di 3 / 2 a 2 ? (Mar 2006)
Gs36) I poliedri regolari sono solo 5: tetraedro, cubo, ottaedro, dodecaedro e icosaedro. Sai dimostrarlo? (ord 2006)
Gs37) La capacità di un serbatoio è quella del cubo iscritto in una sfera di 1 metro di diametro. Quanti sono,
approssimativamente, i litri contenuto nel serbatoio? (ord 2006)
Gs38) Si indichi con α l’angolo che una diagonale di un cubo forma con una faccia. La misura di α, espressa in






radianti, è: [A] arcsin 3 / 3 ; [B] arccos 3 / 6 ; [C] arctan 3 / 6 ; [D] un valore diverso dai precedenti.
Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della scelta operata. (estero 2006)
Gs39) Una piramide quadrangolare regolare è tale che la sua altezza è il doppio dello spigolo di base. Calcolare il
rapporto fra il volume del cubo inscritto nella piramide e il volume della piramide. (straord 2006)
Gs40) Dimostrare, col metodo che si ritiene più adatto alla propria preparazione, che il volume di una sfera di
raggio r è 4/3r3. (Mar 2007)
Gs41) Per orientarsi sulla Terra si fa riferimento a meridiani e a paralleli, a latitudini e a longitudini. Supponendo
che la Terra sia una sfera S e che l’asse di rotazione terrestre sia una retta passante per il centro di S, come si
può procedere per definire in termini geometrici meridiani e paralleli e introdurre un sistema di coordinate
geografiche terrestri? (ord 2007)
Gs42) Si consideri la seguente proposizione: “Il luogo dei punti dello spazio equidistanti da due punti distinti è
una retta”. Si dica se è vera o falsa e si motivi esaurientemente la risposta. (suppl 2007)
Gs43) Quando due rette si dicono sghembe? Come si definisce la distanza fra due rette sghembe? (estero 2007)
Gs44) Si consideri la seguente proposizione: “Una piramide è retta se la verticale calata dal vertice cade entro il
poligono di base”. Si dica se è vera o falsa e si motivi esaurientemente la risposta. (straord PNI 2007)
Gs45) Si determini il volume di un tetraedro regolare di spigolo l e, successivamente, la misura dell’angolo diedro
formato dalle facce. (Mar 2008)
Gs46) Si consideri la seguente proposizione: “ Se due solidi hanno uguale volume, allora, tagliati da un fascio di
piani paralleli, intercettano su di essi sezioni di uguale area”. Si dica se essa è vera o falsa e si motivi
esaurientemente la risposta. (Ord 2008)
Gs47) Si sechi il solido di una sfera con un piano, in modo che il circolo massimo sia medio proporzionale fra le
superficie appianate delle calotte nelle quali rimane divisa la sfera. (suppl 2008)
Gs48) Si stabilisca per quali valori del parametro reale k esiste una piramide triangolare regolare tale che k sia il
rapporto fra il suo apotema e lo spigolo di base. (suppl 2008)
Gs49) Si dimostri che il volume del cilindro equilatero inscritto in una sfera di raggio r è medio proporzionale fra
il volume del cono equilatero inscritto e il volume della sfera. (suppl PNI 2008)
Gs50) Si consideri un ottaedro regolare di spigolo l determinare: a) la sua altezza; b) l’angolo formato da due suoi
spigoli laterali non consecutivi uscenti dallo stesso vertice; c) l’angolo diedro formato da due sue facce. (Ber 2009)
Gs51) Due dodecaedri regolari hanno i volumi uguali a V’ e V” ed aree totali rispettivamente A’ e A”. sapendo che
A’/A” = 8 e che V " 10 , quanto vale V ’? (Ber 2009)
Gs52) Una piramide di vertice V ha come base il triangolo ABC e i tre spigoli AV, BV e CV hanno la stessa
lunghezza. Sia H la proiezione ortogonale di V sul piano che contiene il triangolo ABC. Con quale punto
notevole del triangolo ABC coincide il punto H? (Ber 2009)
Gs53) “Esiste solo un poliedro regolare le cui facce sono esagoni”. Si dica se questa affermazione è vera o falsa
e si fornisca una esauriente spiegazione della risposta. (Ord 2009)
(variante) Si dia una definizione di poliedro regolare. Si dimostri che i poliedri regolari sono, a meno di
similitudini, solo 5 e si dica quali sono. (estero 2009)
Gs54) Nei “Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze”, Galileo descrive la costruzione
di un solido che chiama scodella considerando una semisfera di raggio r e il cilindro ad essa circoscritto. La
scodella si ottiene togliendo la semisfera dal cilindro. Si dimostri, utilizzando il principio di Cavalieri, che la
scodella ha volume pari al cono di vertice V in figura. (V è il centro della semisfera n.d.r.) (Ord 2009)
Gs55) Un tetraedro regolare e un cubo hanno superfici equivalenti. Si determini il rapporto dei rispettivi spigoli.
(estero 2009)
Gs56) Si dimostri che il volume di una sfera, il volume del cilindro circoscritto e il volume del cono equilatero
circoscritto sono proporzionali a i numeri 4, 6, 9. (straord 2009)
Gs57) Un tronco di cono è circoscritto a una sfera di raggio r. Si stabilisca la relazione che esiste tra i raggi delle
basi del tronco e il raggio della sfera. (straord PNI 2009)
Gs58) E’ data una piramide retta a base quadrata ABCD di lato l e facce laterali triangoli equilateri. Se si seziona
il solido con un piano passante per lo spigolo AB, inclinato di α rispetto al piano di base, si ottiene un
quadrilatero ABEF con lato EF = l/2. Classificare il quadrilatero e determinare α. (Mar 2010)
Gs59) Siano ABC un triangolo rettangolo in A, r la retta perpendicolare in B al piano del triangolo e P un punto di
r distinto da B. Si dimostri che i tre triangoli PAB, PBC, PCA sono triangoli rettangoli. (Ord 2010)
Gs60) Un tetraedro ed un ottaedro regolari hanno gli spigoli della stessa lunghezza l. Si dimostri che il volume
dell’ottaedro è il quadruplo di quello del tetraedro. (suppl 2010)
Gs61) Si calcoli il volume del solido generato da una rotazione completa attorno all’asse x del triangolo di vertici
A(2, 2) , B(6, 4) , C(6, 6). (straord 2010)
Gs62) Si provi che, nello spazio ordinario a tre dimensioni, il luogo geometrico dei punti equidistanti dai tre
vertici di un triangolo rettangolo è la retta perpendicolare al piano del triangolo passante per il punto medio
dell’ipotenusa. (Ord 2011)
Gs63) Una sfera è inscritta in un cubo. Qual è il rapporto fra il volume della sfera e quello del cubo? (estero 2011)
Gs64) Si domanda quale rapporto bisogna stabilire tra lo spigolo dell’ottaedro regolare e lo spigolo del cubo
affinché i due solidi abbiano volumi uguali. (suppl 2011)
Gs65) È dato un tetraedro regolare di spigolo l e altezza h. Si determini l’ampiezza dell’angolo α formato da l e da
h. (Ord 2012)
Gs66) Sia AB un segmento di lunghezza 20dm. Si determini il luogo dei punti C dello spazio tali che ABC sia
retto BAC misuri 60°. (estero 2012)
Gs67) Di un tronco di piramide retta a base quadrata si conoscono l’altezza h e i lati a e b delle due basi. Come si
può procedere per esprimere il volume del tronco in funzione di a, b e h? (estero 2012)
Gs68) Un ottaedro regolare di alluminio (densità ρ = 2,7 g/cm3), avente lo spigolo l = 5 cm, presenta all’interno
una cavità di forma cubica. Sapendo che la massa dell’ottaedro è m = 155 g, si calcoli la lunghezza dello
spigolo della cavità. (suppl 2012)
Gs69) Un tetraedro regolare di rame (densità ρ = 8,9 g/cm3), avente lo spigolo l = 6cm, presenta all’interno una
cavità di forma sferica. Sapendo che la massa del tetraedro è m = 200 g, si calcoli la lunghezza del raggio della
cavità. (straord 2012)
Gs70) Sia dato un tetraedro T regolare VABC, trovare il rapporto tra il volume di T e il volume del solido che si
ottiene congiungendo il piede dell’altezza VH, relativa alla base, con i punti medi degli spigoli laterali di T.
(Ber 2013)
Gs71) Di un tronco di piramide retta a base quadrata si conoscono l’altezza h e i lati a e b delle due basi. Si esprima
il volume V del tronco in funzione di a, b e h, illustrando il ragionamento seguito. (Ord 2013) [v. Gs5]
Gs72) Un cono rotondo ha altezza ℎ = 5 dm e raggio r = 3 dm. Si vuole diminuire la prima di quanto si aumenta il
secondo in modo che il volume del cono aumenti del 30 %. Si dica se la questione ammette soluzioni e, in caso
affermativo, si dica quali sono. (estero 2013)
Gs73) Il volume di una sfera è pari ai 2 /3 del cilindro ad essa circoscritto. È questo uno dei risultati più noti che si
attribuisce ad Archimede tant’è che una sfera e un cilindro furono scolpiti sulla sua tomba. Si ritrovi tale
risultato mediante l’applicazione del calcolo integrale. (estero 2013)
Gs74) Un cono rotondo ha altezza ℎ = 7 dm e raggio r = 4 dm. Si vuole diminuire la prima di quanto si aumenta il
secondo in modo che il volume del cono aumenti del 25 %. Si dica se la questione ammette soluzioni e, in caso
affermativo, si dica quali sono. (estero 2013)
Gs75) Quali sono i poliedri regolari? Perché sono detti anche solidi platonici? (suppl 2013)
Gs76) Un cubo di legno di pioppo (densità ρ1 = 0,385 g/cm3) ed un tetraedro regolare di cristallo (ρ2 = 3,33 g/cm3)
hanno entrambi lo spigolo l = 5 cm. Quale dei due ha la massa maggiore? (suppl 2013)
Gs77) Un cono di nichel (densità ρ1 = 8,91 g/cm3) ha il raggio di base di 15 cm e l’altezza di 20 cm. Da questo
cono se ne taglia via un altro, avente l’altezza di 5 cm, che viene sostituito da un cilindro di alluminio (densità
ρ2 = 2,70 g/cm3), che ha la stessa altezza del cono piccolo e la base uguale alla base minore del tronco di cono
residuo. Si dica se la massa m2 del solido così ottenuto è maggiore o minore di quella m1 del cono di partenza.
(suppl PNI 2013)
Gs78) Un cubo di alluminio (densità ρ=2,7 g/cm3 ), avente lo spigolo l=10 cm, presenta all’interno una cavità a
forma di cilindro equilatero, avente il raggio di lunghezza r c=2,5 cm. Si calcoli la massa m del cubo. (straord 2013)
Gs79) Un delfino si trova nel punto A del bordo ovest di una piscina circolare. Nuota in linea retta per 12 m, e
tocca con il naso il bordo della piscina nel punto B. Si gira e nuota in una direzione diversa in linea retta per 5
m, e arriva nel punto C situato sul bordo della piscina e diametralmente opposto al punto A dal quale era
partito. Se la profondità dell’acqua è ovunque di 2,50 m, quanti litri d’acqua sono contenuti nella piscina?
(straord 2013)
Gs80) Calcolare il raggio della sfera inscritta e circoscritta a un ottaedro regolare di spigolo l. (Ber 2014)
Si spieghi perché non esistono poliedri regolari le cui facce siano esagoni. (Ord 2014) (variante) Si spieghi
perché le facce di un poliedro regolare sono tutti triangoli, tutti quadrati o tutti pentagoni. (Estero 2014)
Gs81) Si trovi la capacità in litri della sfera inscritta in un cono di raggio di base 6 dm e altezza 9 dm. (Estero 2014)
Gs82) Si determini, se esiste, un cono circolare retto tale che il suo volume e la sua superficie totale abbiano lo
stesso valore numerico. (Estero 2014)
Gs83) Una scatola di forma cilindrica ha raggio r e altezza h. Se si aumenta del 5% ciascuna sua dimensione, di
quanto aumenterà, in termini percentuali, il suo volume? (suppl 2014)
Gs84) Il kilogrammo campione è un cilindro di platino-iridio, che ha un diametro di 39 mm ed è alto 39 mm. Qual
è la densità in g/cm3 della lega che è stata usata per costruirlo? (straord 2014)
Gs85) Il kilogrammo campione è un cilindro di platino-iridio, che ha un diametro di 39 mm ed è alto 39 mm. Qual
è la densità in g/cm3 della lega che è stata usata per costruirlo? (Straord Com 2014)
Gs86) Dimostrare che il volume del tronco di cono è espresso dalla formula: 𝑉 =(1/3)𝜋∙ℎ∙(𝑅2+𝑟2+𝑅∙𝑟), dove R ed
r sono i raggi e h l’altezza. (ord 2015)
(Ax) Assiomi della geometria; geometria non euclidea
Ax1) Spiegare il significato di sistema assiomatico con particolare riferimento alla sistemazione logica della
geometria. (PNI 2001)
Ax2) Chiarire, con esempi appropriati, la differenza in matematica fra concetto primitivo e assioma. (suppl PNI 2002)
Ax3) Perché "geometria non euclidea"? Che cosa viene negato della geometria euclidea? (sp aut 2003)
Ax4) Si consideri il teorema: “la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto” e si spieghi
perché esso non è valido in un contesto di geometria non euclidea. Quali le formulazioni nella geometria
iperbolica e in quella ellittica? Si accompagni la spiegazione con il disegno. (PNI 2007)
Ax5) Si enunci il quinto postulato di Euclide e si descriva qualche modello di planimetria non euclidea. (straord PNI 2007)
Ax6) Perché è geometria “non” euclidea? Che cosa e come viene negato della geometria euclidea? Si illustri la
questione con gli esempi che si ritengono più adeguati. (PNI 2008)
Ax7) “Se due punti P e Q del piano giacciono dalla stessa parte rispetto ad una retta AB e gli angoli PAB e QBA
hanno somma minore di 180°, allora le semirette AP e BQ, prolungate adeguatamente al di là dei punti P e Q,
si devono intersecare”. Questa proposizione è stata per secoli oggetto di studio da parte di schiere di
matematici. Si dica perché e con quali risultati. (PNI 2009)
Ax8) Silvia, che ha frequentato un indirizzo sperimentale di liceo scientifico, sta dicendo ad una sua amica che la
geometria euclidea non è più vera perché per descrivere la realtà del mondo che ci circonda occorrono modelli
di geometria non euclidea. Silvia ha ragione? Si motivi la risposta. (PNI 2011)
Ax9) In un contesto di geometria non euclidea si illustri un esempio di triangolo i cui angoli non hanno somma
180°. (PNI 2014)