L obis C. K ar pin sk i : A n I ta lia n a lg e b ra o f tlie fifteen th C entury.
A n
Ita lia n
a lg e b r a
o f
th e
fifte e n th
209
C e n tu ry .
By Louis C. K a r p i n .s k i in Ann Arbor.
G h a l ig a i
devoted the tenth to the thirteenth books of his Pratica
d’arithmetica1) to algebra, being one of the earliest expositions in print.
The tenth chapter begins with the following statement:
"Dice B e n e d e t t o la Regola dell’Arcibra, quale G u g l i e l m o d e L u n i s
la traslato d’Arabo a nostra Lingua, & secondo detto G u g l i e l m o detta Regola
e eomposta da uno nome Arabo di grande intelligentia, & che alcuni dicono
egsere stato uno il qual nome era G e b e r , & L i o n a r d o P i s a n o , dice che
Algebra amucabile, e la interpretatione della Regola in quella lingua.
Segue el Testo d i G u g l i e l m o .”
Under this heading G h a l i g a i states that according to G u g l i e l m o in
this "Regola del Geber, quale noi diciamo Arcibra” are employed seven
terms: Geber, Elmechel, Elchal, Elchelif, Elfazial, Buram (Di fareburam)
and Eltermen. These are interpreted as recuperatione, essempio or assimigliamento, oppositione, dispositione , diferensa, ragione, and finitione re­
spectively.
The P l i m p t o n collection contains an Italian mathematical manuscript
of 14642) which gives an extended treatment of algebra following several
authorities of that time. The manuscript is of importance for the history
of algebra because it contains a number of references to teachers of this
discipline in the fourteenth and fifteenth century as well as an Italian
translation of a large part of the algebra of M o h a m m e d i b n M u s a which
is ascribed quite definitely to G u g l i e l m o d e L u n i s . The thirteenth, four­
teenth and fifteenth books of the work are devoted to algebra, and the
first of these contains the algebraical and geometrical solution of qua­
dratic equations as given by A l - K h o w a r i z m i together with multiplication
and division exercises and further equations whose solution depends on
1 ) The 15 21 edition of G-h a l i g a i ’ s work was entitled Summa de arithmetica, but
according to R i c c a r d i (Biblioteca matematica italiana 1 , Modena 1870, p. 500) it is the
same as the 1548 and 1552 editions. I quote from the 1552 Florence edition.
2) D. E . S m i t h , Bara arithmetica, Boston 1908, p. 459, 461—463 with plate.
B ib lio th e c a M a th e m a tic a .
I I I . F o lg e .
X I.
14
Lo uis C. K arpinski .
210
the six as in A l - K h o w a r i z m i (plus the forms a x 0— n , a x i = n , a x f = n
and a x 6 = n). The opening sentence of this thirteenth book is a quotation
from the "regola delgeber” very similar to that given by G h a l i g a i and
including the seven terms whose derivation is uncertain. Prince
B o n c o m p a g n i 1 ) states that the algebra translated by G u g l i e l m o is an ex­
tract from the algebra of A r y a b h a t a "qui avait passe en Arabe”, but
upon what authority this assertion is based B o n c o m p a g n i does not state.
C o s s a li2) re fe r s to a " R a g io n a m e n t o d i A lg e b r a ” b y R a f f a e l e C a n a c c i
(XIV C e n tu r y )
le
L u n is ,
w h ic h c o n ta in e d re fe r e n c e s to a n e a r lie r w o r k b y G h u g lie lm o
o f w h o m C a n a c c i m a k e s th e f o llo w in g s t a t e m e n t :
d e ll’ a r g ib r a , la q u a le r e g o la G h u g h e lm o
n o s tr a
lin g u a ” .
T h is
is
a ssu m e d
by
d i
L u n is la
C o s s a li
to
m ean
tr a n s la te d in to I t a lia n th e a lg e b r a o f A l- K h o w a r iz m i.
A n t i c h R o c h a 4) o f G e ro n a b o th r e fe r to G u g lie lm o
la t e th e ru le s o f a lg e b r a fr o m A r a b ic in to I t a lia n ,
p r o b a b ly o n G h a li g a i.
b y th e f a c t t h a t th e k n o w n
hand
C o s s a li
says
a lso
r e g o la
d a r a b ic o a
th a t
G u g lie lm o
M a r c o A u r e l 3) an d
as th e fir s t to t r a n s ­
b a s in g t h e ir a s s e rtio n
T h e q u e s tio n o f th e la n g u a g e u se d b y
is fu r th e r c o m p lic a te d
a re in L a t in .6)
"L a
tr a s la to
d e
L u n is 5)
m a n u s c r ip ts fro m h is
th a t C an acci
p la c e s
"geb er”
as
1) Nouvelle biographie générale 3 2 , P a ris 1860.
2) Origine, trasporto in Italia . . . dell’ Algebra 1, p . 7 and p . 25.
T h ro u g h th e
co u rtesy o f th e L ib ra ria n o f th e “ B ib lio te c a N azio n ale” o f F lo re n ce I am ab le to give
th e b e g in n in g and end lin es o f th e Cod. P a la t. 567 of th e fifteen th cen tu ry w hich is
from th e h an d o f R a f f a e l l o d i G iovanni C an acci “ cip tad in o fio ren tin o a rism etrico
e g eom etro” . T h e in tro d u ctio n b e g in s: “ L a reg o la d ell’a r g ib r a , la qu ale reghola,
G hu glelm o de Lunis la tra sla tò d’a ra b ico a n ostra lin g h u a : e secondo el d etto
Ghugelm o
ed a lt r i,
dichono
q u esta essere ch on p osta da uno m aestro
arabo . . .”
T h e in tro d u ctio n en d s: “ e L ionaed o P isano , n e lla q u ind ecim a p a rte hovuero chapitolo,.
d ic e : la reg h o la d ell’arg ib ra am u ch ab ile è d e tta reg h o la d’opposition e e di restau ra tio n e, cio è d i ristoram en to.
E questo ch iaram en te p e ’ cb asi si ch o n p ren d erà” .
The
w ork its e lf b e g in s: “ P rim a , dou’ è fo n d a ta la p rim a re g h o la de’ p rim i ch a p ito li, eoe
de’ p rim i tre term in i. V olendo l ’au to re m ostrare le sei prim e re g h o le , d im ostra
qu elle h au ere di bisogno di tr§ p ro p rietà ch e auenghono a lla q u a n tità ” .
And e n d s;
ilA dunche d ira i: ch e’ l prim o p er sé solo fa re b b e i l lauoro in 60 (di), più R a d ic e di
3 5 0 0 ; e ’1 sechondo p er sé solo fa re b b e il lauoro in 5 di, p iù R a d ic e di 35, sichom e
di sopra d icem o ; e ch osi h o seru erai in sim ig lia n te R ag io n e, ennonne erre ra i, ad u nche
n o ta bene el modo acò ch e l ’en ten d a” .
3) Libro primero, de arithmetica algebratica, V a le n c ia 1552.
4) Arithmetica, B a rce lo n a 1565, fol. 251 verso.
5)
E n esteö m ,
B i b l i o t h . M a t h e m ., 83, 1907/8, p. 81.
Die europäischen Übersetzungen aus dem Arabischen bis
Mitte des 17. Jahrhunderts; S i t z u n g s b e r . d. p h i l . - h i s t . K l a s s e d. A k a d . d.
6) M
S t e in s c h n e id e r ,
W i s s e n s c h . i n W i e n 1 4 9 , 1905, p. 80. W i l h e l m u s d e L u n i s is given as tra n s la to r o f
“ Com m ent, super lib . in tro d u ci. P o r p h y r i i ” ; o f A r i s t o t l e , “ P ra e d ic ta m e n ta ” ;
and p o ssibly o f “ P e re y rm e n ia s” (peri H erm en eias). A ll o f th ese in Ms. A m plon,
A v e r r o is
Qu. 318, 3, 4, 5.
A n Ita lia n a lg e b ra o f th e fifteenth C entury.
211
first of the seven Arabic names of analytical operations, adding that de
Lunis interpreted this "geber” as "recuperamento”. The Latin manu­
script1) of A l - K h o w a r izm i ’s algebra in the P lim pto n collection translates
"algebra et almuchabala” by "recuperationis et oppositionis”. The seven
terms do not occur in this version nor in any other now known.
The fourteenth book of the manuscript under discussion follows
"Maestro B ia g io ” who died, it is stated, about 1340. This is too early
to refer to B iag io da Parma2) who taught in Pavia, Padua and Bologna
from 1374—1416, but an "altro maestro B ia g io ” doubtless refers to
this man.
L e o n a r d o f P is a
ap p ears
as
th e
a u t h o r it y fo r
th e
fir s t
c h a p te r o f
th e fifte e n t h b o o k w h ile th e se co n d a n d t h ir d c h a p te r s w e r e to b e d e v o te d
to th e w r it in g s
A
nto n io ”
o f a n u n p la c e d " M a e s tr o G io u a n n i ”
" s o t t il e m a e stro
r e s p e c t iv e ly . U n f o r t u n a t e ly o n ly th e fir s t c h a p te r w a s c o m p le te d .
" M a e s tr o A
n t o n io ”
w o u ld
c o rr e s p o n d
in tim e an d p la c e , as m o s t o f th e
re fe re n c e s a re to F lo r e n c e an d v ic in it y , to A
w ho
an d
ta u g h t
in B o lo g n a
in
1383.
n to n io
B i l io t t i 8) o f F lo r e n c e
" M a e s tr o G r a t ia
de
C a s te lla n i
fr a te
d i sa n to a g o s tin o g r a n t e o lo g h o de c a s te lla n i” is m e n tio n e d as th e a u th o r
1340.
F a b r ic iu s 4) p la c e s G rattan us
a n d a sc rib e s to h im
" L e c t io n e s T h e o lo g ic a e ” an d
o f a n a lg e b r a w h ic h w a s w r it t e n a b o u t
F lo r e n tin u s a b o u t
1380
" Q u a e s tio n e s s u p e r lib r o s s e n te n tia r u m ” .
Castellan i
so
C h e v a l ie r 5) ad d s th e a p p e lla tio n
t h a t th e id e n tific a tio n w o u ld seem to b e co m p le te .
" M a e s tr o
M ic h e l e ( S c o t u s ? )” is m e n tio n e d as f a t h e r o f " M a e s tr o M a r ia n u s ” an d a
" M a e s tr o L
m a tics.
u ch a ”
is n a m e d as o n e o f th e te a c h e rs , u n d o u b te d ly o f m a th e ­
P a o lo D a g o m a r i is m e n tio n e d as a frie n d an d p u p il o f th e fir s t
B ia g io .
B o e t h i u s appears with L e o n a r d
of Pisa and J o r d a n u s in the intro­
duction to the arithmetic, but more noteworthy is the reference to A l K h o w a r iz m i.
"E secondo che dice nel primo capitolo lalgorismo elnumerare o vero rapresentare le fighure e dare loro lanumeratione nota del
numero apropriato a quelle fighure. Et a bisognia a rapresentare uno
numero 4 atti. primo la figura. secondo la differentia, tertjo el luogho.
el quarto ellimite.” Some of this and the following explanation of figure,
difference, place and limit are evidently from S a c r o b o s c o ’ s Algorismus
vulgaris.
Bara arithmetica, p. 4 5 4 — 456.
Vorlesungen über Geschichte der Mathematik 2 2, L eip zig
Histoire des sciences mathématiques en Italie 2, p. 209.
1) D. E . S m ith ,
2)
C a n to r,
— 166; L ib r i,
3)
C a n t o r , loe. cit. p. 1 6 4 ; L i b r i , lo c. cit. p. 205 N ote
4)
Bibl. latina mediae et infimae aetatis 3, F lo re n ce 1858.
Bépertoire des sciences historiques du moyen âge 1, P a ris
5)
1.
1905.
1900, p. 165
Lo u is C. K arpinski .
212
Incomincia il 13° libro di questo trattato nel qual si contiene
come e in che modo sasoluono e casi per la regola de Algebra amucabale. E prima la diuisione del detto libro.
Rendiamo gratie al altissimo. Cosi comincia el testo de laghabar
arabico nella regola delgeber la quale noi diciamo algebra, la quale
regola dalgebra secondo G h u g l i e l m o d e L u n i s traslatore importa in
queste 7 nomi cioè. Geber. Elmelchel. Elchal. Elchelif. Elfatiar.
Difarelburam. Eltermem. E quali nomi secondo el detto G u g l e l m o
sono cosi interpetrati. Geber. E quanto a dire recuperatione impero
che come per lo sequente si comprenderà nella recuperatione di 2
parte iguali sasolue il caso. Elmelchel. E quanto a dire exemplo, ouero
asomiglamento impero che labsolutione de casi sitruoua per absomigliare la quantità posta alcaso dato Elchal. E quanto a dire opositione, perche di 2 quantità trouate luna e oposta alaltra. E quando non
sono 2 quantità oposte, il caso e insolubile. Elchelif. E quanto a
dire dispositione, impero che benchelle 2 quantità oposte sieno, e non
abbino dispositione ariso delle regole, lo caso sarebbe fuori delle
regole, e pero a bisogna le quantità disposte. Elfatiar. E detto
differentia, che differentia e infra nomi della detta regola, che non
essendo differentia la regola sarebbe una e sarebbe contro allonpossibile. Diffarelburam. E detto ragione impero che con ragione
tutto si mostra e ragioneuole sono e casi per la regola absoluti.
Eltermem. E detto finizione impero chelfine ragioneuole della regola
e trouato quando propositione delle parti abiamo trouato.
E L i o n a r d o P i s a n o nella terca parte del 15 capitolo dice la
regola della algebra amuchabale e detta regola doppositione e di ristorautione cioè di ristoramento come chiaro si uedra pe casi. E acciò
che questa regola sia bene compresa diuidero el detto libro in 3
capitoli. Nel primo sia la dimostratione chiara per figure delle dette
regole. Nel secondo sia come e nomi ouero proprietà della detta
regola a bisogneuoli si multiplichano. Nel terco e ultimo certe regole
sopra le 6 passate e le 6 ancora dando 2 casi esemplari a ciaschuna
regola.
El primo capitolo del 13° libro nel quale si chiarifica per figure
geometre le 3 regole composte del algebra.
Al computamento della regola del algebra e amucabale 3 pro­
prietà1) chessono in ciascuno numero si considera. E la prima e
quando si considera per radice e chiamiallo cosa. El secondo e quando
1)
L éonard
o f P is a uses “tre s p ro p rietates, que su nt in q u o lib et nu m ero” (Scritti
1, R om a 1857, p. 4 0 6 ). T h e d esig n atio n o f th è cases as sim ple (th ree) and com posite
(th ree) is also used b y L é o n a r d as w ell as in th e L i b r i version o f A l - K h o w a r i z m i .
A n Ita lia n a lg e b ra o f the fifteen th C entury.
213
si considera per quadrato e chiamasi censo. Ella terija considerandola
per suo esse semplice, e allora lo diciamo dramme. E in luogo delle
quantità la dramma e uilissima quasi come il punto nella linea.1)
La cosa adunque e radice del censo, onde lo censo e quadrato
della cosa e perche ogni quadrato e fatto della sua radice in se multiplichata, lo censo nasce della cosa in se multiplichata. Impero che e
sua radice.
Le dramme sono dette numero semplice impero chelle si com­
pongono solamente dunitadi, malia cosa e il censo sono conposte in
loro essere. E pero le dramme non anno rispetto alle cose, ne alli
censi, cioè a dire del numero sono sapute lunitadi ma della cosa ne
del censo non sono sapute lunitadi. E pero diciamo dramma essere
numero semplice ella cosa e radice cioè quello che in se multiplichato
fa quel numero. El censo e quello che nasce della cosa cioè della
radice in se multiplichata. Lo numero semplice cioè dramme e quan­
tità che con parole si dice in tal modo che non a saputa proportione
alla radice nello censo.
Qvando della radice cioè cosa, o del censo si uogliono sapere
lunitadi e di bisognio che infralloro saguaglino, lo quale aguagliamento
in 6 modi si può fare, de quali modi e 3 si chiamano semplici, e gli
altri 3 composti. Onde prima diremo degli agugliamenti semplici.
El primo de semplici aguagliamenti e quando lo censo saguaglia
alle cose, lo secondo quando lo censo saguaglia allo numero, lo ter^o
quando le cose saguagliano al numero.
Lo censo quando saguaglia alle cose. E come dicendo lo censo
saguaglia a 5 sue radici. A dimandasi quanto e la cosa. Onde quando
lo censo e iguagli a 5 cose si dimostra la cosa essere 5, e lo censo 25,
cioè la multiplichatione del 5 in se medesimo impero che sei censo
e quanto 5 sue radici seguita il censo essere quanto la sua radice
multiplichata in 5. e tanto fa a multiplichare la radice in se medesima
quanto a multiplichare la radice per 5 cioè tanto e a multiplichare
la radice per la radice quanto la radice per 5 e pero seguita la radice
essere 5 e il quadrato sia 25. E pero e regola che quando il censo
e iguiali alle radici chella cosa uarra il numero della radice. E il
censo uarra il quadrato del detto numero. E quando fusse parte di
censo o multiplice di censo iguali a radici sempre lo arecha a uno
solo censo come dicendo -j di censo e iguali a 4 cose. Doue tutto
1 ) P a c iu o lo
sa y s : “ Unde num ero ene in la p ra tic a a lg e b ra tic a de A rith m e tica :
quello ch e e ponto in lin e a in G eo m etria:
rebus.
verso).
E cosa com m o lin ea.
e comm o in stan s in te m p o re : e cau sa in
E censo com m o q u ad rato ” (Summa, 1523 ed., fol. 144
214
Lo u is C. K arpinski
il censo sara Iguali a 12 cose. E quando il censo sia iguali a 12
cose la cosa sia 12 e il censo sia 144. E dicendo 5 censi sono iguali
a 10 sue radici sia uno censo iguali a 2 sue radici. E quando uno
censo e iguali a 2 sue radici il censo sia 4 ella cosa 2. E pero
quando sia lo censo acrescuito ouero diminuito sempre a recarlo a
uno censo. Cioè a dire quando ti uenisse più che uno censo, ouero
meno a uno censo lo ritorna. E questo e quando lo censo e iguali
alle cose.
This treatment of the first form as here given follows closely the
treatment of the same case by A l - K h o w a r i z m i . The same is true of the
following five cases which are in the same order and accompanied by the
same numerical problems as in the work of the great Arab writer. The
geometrical explanation of the three composite types . . . a x 2 + b x = n,
a x 2-\-n = bx and a x 2 = b x Jt-n differs from A l - K h o w a r i z m i mainly in that
for the fifth type a geometrical explanation is given to correspond to the
second solution in which the half of the roots is added to the square
root of the difference between the square of half the roots and the given
number. I will add this explanation.
E perche abbiamo detto che sella radice del rimanente sagiugne
alla meta delle cose che tanto uerra la cosa, che per figura lo uoglio
mostrare. Sia la superficie a b superficie del censo, e sia quadrata,
alla quale superficie agiugnero uno superficie diretti angoli e dequedistanti lati, la quale sia 2 1 per numero, la limgecca della quale sara
Iguali al uno de lati del censo. E sia la superficie f c . Adunque
tutta la superficie a c sara uno censo e
ì
s 2 i ¿ramma cioe 10 cose. Adunque gli
lati ag, l e sono ciaschuno 10 per nud
°
mero, impero chello lato al , g c sono una
cosa, di poi diuidero la linea a g in
_______ [fol. 281 verso] 2 parti iguali sopra il
7i
* punto e constituiro uno quadrato fatto
________________ della detta linea eg e sia quadrato e h i g
ella sua possessione sia 25 per numero,
del quale quadrato trarrò la superficie f c adunque rimarra la super­
fìcie h e meno la superficie h e e di poi trarrò la superficie h e della
superficie h e in questo modo che piegliero della linea h e , h f lo iguali
della linea bc. e sia h d, h o. di poi menerò la linea d o equedistante
e iguali alla linea hh. Dico chella superficie d h e iguali alla super­
ficie h c che chiaro si manifesta impero che d o, h h e iguali al li b che
cosi si mostra a f , f b sono iguali cioè ciascuno e lato del censo, elio
lato ae , f h sono iguali, impero che ciascuno e meta del ag. Onde
A n I ta lia n a lg e b ra o f th e fifteen th C entury
2 15
traendo a e del a f rimane quel medesimo che a trarre f h del f b cioè
eg iguali al h b elli lati d o , hic sono equedistanti e iguali allo lato
adunque la superfìcie d h e iguali alla superficie he. Onde e
mostro che atrarre la superficie f c del quadrato e i rimane la super­
ficie eo, la quale mostrerro essere quadrata in questo modo, led e
iguali del f g per che lo ponemo iguali al bc, e pero tanto rimane a
trarre f g del g e quanto h d del Ice, e pero de e iguali al e f. adunque
la superficie eoe quadrata, la cui potentia e 4, impero chelquadrato
ci e 25 ella superficie f c e 21 per numero che tratto di 25 riman­
gono 4 per lo quadrato eo , ella sua radice e 2. e tanto e ciascun
suo lato, onde agunto 2 cioè e f con a e che e 5, fanno 7, per lo
lato del quadrato a b , cioè lato del censo. E pero e regola chessi
debba dimeccare le cose, e multiplichare quella meta in se e trarne
el numero, ella rimanente agugnere alle cose, e tanto uarra la cosa.
ef .
The geometrical explanation of the sixth type (3a?+ 4 = x r) follows
also the demonstration given by Al-Khowabizmi; indeed the lettering of
the figure corresponds exactly to the lettering in the corresponding figure
in the Libri version. However this writer adds another demonstration
with a different drawing. "Ma ancora per altra figura uoglio questa
medesima dimostratione chiarire.” The first chapter of this book closes
with the following:
E cosi abiamo diterminato tutti e modi del algebra e dichiarato
con aperte dimostrationi a questa modi tutte le questioni chessi re­
ducono alla detta regola a non appartenersi, quale al primo quale al
secondo, etc. E benche L. P isano con chiare dimostrationi que me­
desimo mostri nientedimeno operese (?) queste come più antiche e
scritte nel detto libro del agabar.
The second chapter of the thirteenth book deals with the operations
of addition, subtraction, multiplication and division of algebraic quantities.
El secondo capitolo del 13° libro nel qual si dimostra come e
nomi di detta Regola ouero e termini si trauagliano infralloro, ouero
con altre quantità. Debbi sapere che termini del algebra sono nella
proportionalita cioè che detto termini ascendono nella detta proportionalita. Come diciammo cosa che e il primo. Censo che e il secondo.
Cubo che e il ter§o. Censo di censo che e il quarto. Cioè tal parte
e la cosa del censo quanto il censo del cubo. E quanto il cubo del
censo di censo. E cosi digradando in infiniti termini diuerani. Come
sono cubi relati. Ouero cubi di censo. E cubo di cubo . . .
An illustration of the multiplication is the following: «cose per cubi
fanno censi di censi», to which is added a numerical example. The sub-
L o u is C.
216
Kakpinski
traction is illustrated by this quotation: «E simulmente dicendo trai 2 censi
del 8 cubi, rim angono 8 cubi meno 2 censi».
The third chapter o f the thirteenth book brings thirty-six types of
equations solvable by quadratic methods or simple extraction o f roots
up to the sixth root, together with num erical problems illustrating the
same, as in the table here given.
1
2.
a x 2 = bx.
1 9 . a x 4 = b x 3 ■+ c x 2,
a x 2=>n.
20. a x 6 = b x i .
3.
ax = n
21. a x h = b x 3.
4.
a x 2 + b x = n.
22. a x rj = b x 2.
5.
a x 2 + n = bx.
23. a x 5 = b x.
6.
a x 2= b x
7.
a x s = n.
8.
9.
10 .
11.
12 .
+
n
2 4 . a x '° = n.
2 5 . a x 5 + b x i = c x 3.
a x s = b x 2.
26. a x h + c x z = b x l .
a x 3 = bx.
27.
a x 3 + b x 2 = cx.
28. a x r, = b x s.
a x 3 + c x = b x 2.
29. a x 9= b x i.
a x 5= bxi
a x 3 = b x 2 + cx .
30.
13.
a x i = b x 3.
3 1 . a x f’ = b x 2.
14.
a x i = b x 2.
32. a x * = b x.
15.
a x i = bx.
4-
a x 6 = b x 3.
c x 3.
,
16.
a x { + b x i = c x 2.
17.
ax^ — n
33. aic6 = w.
34. aa;6 + b x 6 =
3 5 . aa;6 + c x i =
18.
a x i + b x 2 = c x B.
3 6 . a £ 6 = òa;5 -l-ca;4.
cxi.
b x ;>.
E l terreo e ultim o capitolo del 13° libro doue si dimostra e casi
sopra le 6 regole dette. Avendo brieuemente mostro la cagione del
dimeccamento delle cose, e di necessita uolendo auere praticha che io
dimostri le 6 chiarite regole con altre regole di quelle nate, ponendo
a ciaschuna 2 exem pli sempre con breuita parlando. E pero starai
attento. E prima.
The first six types are the same as in the first chapter.
The illus­
trative problem given first is that two numbers are to be in the ratio o f
2 to 3 and such that their product is to equal 9 times their sum. This
leads to the equation, 2 x -3 x = 9(òx), or 6 x? = 4 5 x.
is «Quando e cubi sono iguali al numero«.
The seventh type
The problem is stated thus.
Truoua 3 numeri che m ultipliehato il primo nel secondo, e qual
che fa m ultipliehato per lo ter§o faccian 192, e tal parte sia il primo
del secondo come 2 di 3, el secondo del ter§o come 3 di 4.
The resulting equation is 24ìe3= 1 9 2 , from w hich a;3 = 8 and x = 2.
The thirty-sixth form is a x = bx5 - f cxK
A n Ita lia n a lg e b ra o f th e fifteen th C entury.
217
Questo basti quanto al presente capitolo, e benche alcuna altra
regola sia scritta da m olto quanto sia necessario di quella dirimo,
queste scritte sono quelle chessi tragono delle 6 prime regole. Adunque
e questo 13 ° libro farem fine. E direm deo gratias.
L o quattordecimo libro di questo trattato, nel qual si dimostrano
casi -esem plari alle regola del algibra secondo che scriue maestro
B ia g io ,
el qual libro nonna diuisione.
In questo libro mi par daporre certi casi che scriue maestro
nel suo trattato di pratica non perche g li altri che anno scripto
B ia g io
non dichino assai copiosamente. Ma perche lui fu secondo che scriue
maestro G k a t i a De C a s t e l l a n i , el primo che a una buona pratica
ridusse el detto trattato impero che nel 1340 o circha mori, che innanzi
al lui non cerastato chi auesse se non per un lungo modo trattato di
questa praticha.
E nel suo tem po L i o n a k d o P i s a n o fiori. Effu el
detto maestro B i a g i o maestro e conpagno del gran maestro P a o l o , el
quale e riposto in santa trinità che al tempo che fu de nostri m agni­
fici signori, cioè nel [blank space] dimostro quanto era la sua scientia.
Adunque tornando a casi di maestro B i a g i o detto intendo scriuergli
secondo el suo ordine. E pero starai attento al dire. Cosi dicendo.
1 a. Truoua 1 0 numero che il terco e il quarto di quel numero
sia radice del detto numero.
A questo non credo maestro B i a g i o
considerasse.
E pero diciamo truoua l a quantità doue e dice truoua
1° numero sarai positione che quella quantità sia 1 ° censo, doue il
terco e il quarto di quel censo sono
di censo, e quanto diciamo
che e la radice duno censo, cioè l a cosa.
Adunque e diremo che —
di censo sieno iguali a 1* cosa, che e la prima regola, che arecherai
a l 0 censo, e arai 1° censo iguali a
cosa. E dirai adunque la cosa
uale l y , e il censo uale 2||- E dirai perche noi ponemo chella quan­
tità fusse 1° censo. Adunque fu quella quantità 2||2 a. Truoua 1® quantità che trattone il tergo e il quarto. E il
rimanente sia radice di quel numero. Farai positione che quel numero
sia 1 ° censo, del quale il ~ e il -ì trattone dun censo, rim angono ^
di censo, e questo e quanto la radice di 1° censo cioè l a cosa, onde
arecherai a 1° censo obseruando la prima regola. E arai 1° censo
iguali a 2 “ cose. E dirai la cosa ualere 2-|- E il censo uale 5 ||E dirai che quel numero sia 5 | | , perche noi ponemo che quel numero
fusse 1° censo.
This book includes in all 1 1 4 problems which reduce to the types
discussed in the preceding section.
The m ajority reduce to the first
six types.
L o u is C.
2 18
Kakpinski.
Some o f the problems ascribed to the Practical Treatise of Maestro B i a g i o .
.
, X*
Xz
17.
i . - , + T = *.
18. a;(a: + 2) = 30.
19. x 2 + (x + 2 )2= 30.
20. (x + 2 )2— x 2= 30.
2. x 2
3. x2- ( -
2 1 . ' ( 3 « ) (2fx) = 3 2 .
5.
(-|a :
+
23. {3x) (4x) (bx) = 3% + 4a; + bx.
6. V x — \
'f * -
7.
^a
(a;
2 2 . (3 a ;)2 + ( 2 | a ;) 2 = 3 0 + 3 a ; + 2 |a :.
{ ^ x + 4) = x.
3)
+ ~x +
;)2 =
24. (2x) {ox) ( 7-i-a?) = 10.
20«.
38. x 2+ (10 — a:)2 = 90.
8. (x
-f
jx
4- j »
+
9.
+
\x
+
+ 4) ( ì« )
(x
\x
4 )2 =
3 0 a ;.
58. (2 a:)240.
10. ( } * ) ( i * ) -
11.
12 .
( A x ) ( b x ) = 100.
(4 a
;)24 -
(5 a
1 3 . ( 4 a :) ( 5 a ;)
15.
16.
:)2 +•
per se medesimo e spese 16 d.
e in fine de detti u iaggi e si-
) 2 = 100.
=
4x
+
bx.
trouo 1000d.
;)2= 4 a ; + b x .
( 2 a ;) ( 3 a ;) = 6 ( 2 a ; + 3 a ;) .
( 2 a ;)2+ ( 3 a ;)2= 7 ( 2 a ; + 3 a ;) 4- 4 .
1 4 . (4 a
The
4-
fifth
problem
gives
the
A dimandasi con
quanti si mosse». The writer
assumes that the traveller starts
w ith (x 4- 3d.) in money.
(5 a
equation
{^x +
{^x + 4 ) = % or
= x , «la quale aguagliam ento non può essere. E pero
dirai la questione non essere posta ragioneuole». The writer rejects, o f
course, an im aginary as indeed he does negative solutions.
H owever,
complicated radicals appear as in the eighth example in w hich the answer
~ x 2
2 j^ x +
16 = 1000 («Uno fa 2
u iaggi al primo uiaggio radoppia
e suoi d. e spende 6 d. al secondo
si trouo m ultiplichati e suoi d.
12
is given «Chel detto numero fusse 1 a cosa fu 3 1 6 5 più radice di 5
361 r —
“ 13 032 1"
Questions in regard to dividing 10 into two parts satisfying given con­
ditions are common as in problem 38, «Fa di 10 2 parte per se medesima e quelle 2 m ultiplichationi agiunte insieme faccino numero 90». The
resulting equation is x 2 + b = 10 x. A nother rather interesting problem
(No. 66) states that a trader gains on each journey 25 per 100 and when
his trips are completed he has made a total gain o f 40 per 100. The
question is, how m any voyages has he m ade? E viden tly the number of
voyages is between 1 and 2, so the solution procedes. The number is
placed at « I o uiaggio e I a cosa di uiaggio».
The conclusion is that
1 voyage and | | of a voyage were made.
Incom incia il quindécimo libro di questo trattato.
contengono chasi dalquanti maestri antichi.
detto libro.
N el qual si
E prima la diuisione del
A n I ta lia n a lg e b ra o f th e fifteenth C entury.
2 19
Le dispute sono state grande e diuerse proponendo quali sieno
stati di più excellentia di sapere
0 maestro P a o l o , 0 maestro A n t o n i o ,
ouero maestro G io u a n n i. E certamente dichi a insegnato, questi 3, di
gran lunga g li anno auancati, e ciascheduno copiosamente suoi trattati
a mostro.
E
per quel chessi troui dal 1300 in questa sono statti
chiascritto, benché L i o n a r d o P is a n o fosse intorno allo detto tempo,
dal quale tempo sono stati questi maestri Cioè come già dissi maestro
B i a g i o che circha al 1340 anni mori. A l qual tempo el grande maestro
P a o l o fiori che circa al 1360
duro.
E dopo questo fu maestro
benche morisse giouane, dopo il quale fu maestro G io u a n n i
che circha al 14-10 mori. Furoni molto altri m aestri, ne tempi di
A n to n io
questi come maestro M i c h e l e padre di maestro M a r ia n o , maestro L u c h a
un altro maestro B i a g i o e al presente di più assai copia lattera nostra
ne douitiosa mano a comperatione de passati, e pero tacio e nomi
loro, che a comperatione de passati non meritano esse chiam ati sco­
lari . . . [blank space] ragioni. E perche quella di costroro e in pie
e tutto il di si può chiarire e douto.
Concio sia cosa che fuori di
chi a insegnato sia ancora stati di quelli chessono excellenti in queste
scientie, fra quali fu maestro G r a t i a di santo agostino gran teologho
de castellani fu al tempo di maestro G io u a n n i.
Adunque il presente
libro in 3 capitoli diuidero. N el primo ponendo e casi che L i o n a r d o
nell ultim a parte della praticha darism etricha scriue. N el se­
condo che scriue maestro G io u a n n i pigliandi e casi sopra e passati.
N el tergo scriuerro parte di casi sottili scritti dal sottile maestro
A n to n io .
E per rispondere alla disputa qual di que 3 auangasse
P is a n o
luno laltro.
Fifty-seven problem s from L é o n a r d o f P isa’s w ork are presented, but
unfortunately, as noted above, the m anuscript was here left unfìnished.
So that not only are the works o f A n t o n i o and G io u a n n i lost to us but
also the name o f the writer of this m anuscript w hich would doubtless
have been inscribed on the last page.
