CRITERI DI DIVISIBILITA` E DI - Nardelli

CRITERI DI DIVISIBILITA’ e
METODI DI FATTORIZZAZIONE
Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A.
Francesco Di Noto
Abstract
In this paper we show some divisibility and factoring
criterion
Riassunto
1
In questo lavoro mostriamo i criteri di divisibilità noti
(Wikipedia, Ing. Luigi Piazza) con alcune nostre eventuali
osservazioni (con le forme 6n + 1 (per es. 36k^2 + mn + 1 ); e
anche qualche metodo per la fattorizzazione
°°°°°°°°°°
Dopo l’avvento delle calcolatrici portatili, scientifiche e
non, ma velocissime, il problema della divisibilità ha perso ,
com’è noto, molta importanza pratica, come pure le vecchie
tabelline, ormai tutti cimeli storici della matematica. Ce ne
occupiamo solo per le future possibili nuove idee teoriche (sul
2
web ci potrebbero essere “germi matematici” che
potrebbero essere in seguito importanti per scoprire nuovi
algoritmi buoni per una più veloce fattorizzazione di grandi
numeri, per es. i numeri RSA usati nella omonima
crittografia, anche se non è questo il nostro scopo).
La matematica, com’è noto, ha fatto enormi progressi in tutte
le sue branche, specie nell’ultimo secolo, ma sulla
fattorizzazione è rimasta ancora ai tempi di Euclide, che ha
dimostrato l’infinità dei numeri primi e che il fattore più
piccolo p di N = p*q è minore della radice quadrata n di N , e
3
lì siamo praticamente rimasti.
Nessuno ha infatti ancora scoperto in quale parte della radice
quadrata n per es. nella parte iniziale, centrale o finale, e
quindi in quale possibile percentuale, anche approssimativa,
di n, potremmo trovare p. Questa enorme difficoltà, per N
molto grandi, e sulla quale si basa la nota crittografia RSA.
Per colmare questa ancora persistente grossa lacuna
matematica (mancanza di algoritmi efficaci per una
fattorizzazione molto più veloce di quelli attuali), forse
bisognerebbe cercare nelle più lontane conseguenze di
4
alcune congetture matematiche in teoria dei numeri (per es.
quella forte e debole di Goldbach) e/o nell’algoritmo di
fattorizzazione di Fermat, eventualmente perfezionato.
Cominciamo con la relativa voce di Wikipedia
Criteri di divisibilità
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
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In aritmetica, i criteri di divisibilità sono degli algoritmi che permettono di verificare la divisibilità
di un numero intero per un fattore senza eseguire la divisione esplicita.
Consistono in una serie di operazioni sulle cifre che compongono il numero. Tali operazioni
dovrebbero essere sufficientemente semplici da potersi fare a mente, o comunque essere più rapide
rispetto alla divisione.
Poiché i criteri di divisibilità manipolano direttamente le cifre del numero, dipendono dalla base in
cui il numero viene espresso. In pratica però si considerano solamente i criteri per i numeri in base
10. Nel caso il criterio parli di "ultime cifre", si intende sempre quelle più a destra.
Alcuni criteri si limitano a dare un risultato sì/no; altri permettono anche di conoscere il resto della
divisione, perché calcolano il modulo, e il numero dato è divisibile se e solo se tale resto è 0. Può
essere necessaria una lieve modifica rispetto alla formulazione tradizionale, ad esempio il criterio di
divisibilità per 2 può essere espresso nella forma: il resto della divisione di un numero n per 2 è
uguale al resto della divisione dell'ultima cifra di n per 2 (e quindi n è divisibile per 2 se e solo se
tale resto è 0).
Inoltre, vale la regola generale per cui, se un numero n è divisibile per m, allora n è divisibile anche
per ogni divisore di m. Viceversa, se n è divisibile per m e per l, con m e l interi coprimi, allora n è
divisibile anche per il prodotto ml. Ad esempio un numero è divisibile per 6 se e solo se lo è sia per
2 sia per 3. Usando questa regola, se la fattorizzazione di m in primi distinti è
5
, allora un numero è divisibile per m se è solo se è divisibile per ognuno dei fattori
. È quindi sufficiente considerare i criteri di divisibilità per i numeri primi e per
le potenze di primi. Ad esempio, poiché
, un numero è divisibile per 792 se e
solo se è divisibile per 8, per 9 e per 11.
Indice
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•
•
•
1 Principali criteri di divisibilità dei numeri interi
o 1.1 Divisibilità per 2
 1.1.1 Divisibilità per una potenza di 2
o 1.2 Divisibilità per 3
o 1.3 Divisibilità per 4
o 1.4 Divisibilità per 5
 1.4.1 Divisibilità per una potenza di 5
o 1.5 Divisibilità per 6
o 1.6 Divisibilità per 7
o 1.7 Divisibilità per 8
o 1.8 Divisibilità per 9
o 1.9 Divisibilità per 10
 1.9.1 Divisibilità per una potenza di 10
o 1.10 Divisibilità per 11
o 1.11 Divisibilità per 12
o 1.12 Divisibilità per 13
o 1.13 Divisibilità per 14
o 1.14 Divisibilità per 20
o 1.15 Divisibilità per 25
o 1.16 Divisibilità per 27
o 1.17 Divisibilità per 37
o 1.18 Divisibilità per 101
o 1.19 Divisibilità per 1001
o 1.20 Divisibilità in altre basi
2 Voci correlate
3 Altri progetti
Principali criteri di divisibilità dei numeri interi[modifica |
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Divisibilità per 2[modifica | modifica wikitesto]
Un numero è divisibile per 2 se e solo se la sua ultima cifra decimale è pari, vale a dire 0, 2, 4, 6, 8.
•
dimostrazione: consideriamo un numero N, le sue cifre decimali sono i coefficienti ai che
compaiono nella somma
i termini ai10i sono tutti divisibili per 2 se i>0, quindi se N è divisibile per 2 lo è anche
6
cioè a0, che quindi è 0, 2, 4, 6 o 8.
Viceversa se a0 è 0, 2, 4, 6 o 8 una volta che lo sommiamo al numero
che è anch'esso divisibile per 2 otteniamo ancora un multiplo di 2, dunque N sarà divisibile
per 2.
Esempio: 26 è divisibile per 2 perché finisce con 6.
Divisibilità per una potenza di 2[modifica | modifica wikitesto]
Più in generale, un numero è divisibile per se lo è il numero composto dalle k cifre più a destra
del numero. Dimostrazione: rappresentiamo un qualunque numero naturale nella forma
dove indica il numero costituito dalle prime k cifre di destra ed
il
numero costituito dalle rimanenti cifre alla sinistra di . Se dividiamo entrambi i membri per
risulta che, poiché
dalla divisibilità di
è un numero intero, la divisibilità di
. Nel caso infine in cui
per
dipende solo
sia costituito da tutti zeri, si avrà
che ne indica la divisibilità per
.
Divisibilità per 3[modifica | modifica wikitesto]
Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un suo multiplo. Nel caso tale somma
sia un numero maggiore di 9, si può eseguire di nuovo l'operazione. Quindi ad esempio da 493827
si ottiene 33 e da qui 6. Il risultato è pari al resto modulo 9, e se lo si divide per 3 si può anche
ottenere il resto modulo 3; inoltre non è necessario sommare le eventuali cifre divisibili per 3 (ossia
0, 3, 6, 9) presenti nel numero. Ad esempio, per verificare se 32565 è divisible per 3 basta eseguire
la somma 2+5+5 = 12. Dato che 12 è divisibile per 3, allora anche 32565 lo è.
•
dimostrazione: consideriamo un numero N, le sue cifre decimali sono i coefficienti ai che
compaiono nella somma
supponiamo che la somma
sia divisibile per 3, questo si può tradurre in aritmetica modulare dicendo che
ovvero
sostituendo in N si ha
che risulta evidentemente essere un multiplo di 3.
Divisibilità per 4[modifica | modifica wikitesto]
Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure formano un numero multiplo di
4, o equivalentemente le ultime due cifre sono tali che la sua penultima è dispari e l'ultima è 2
oppure 6, oppure la sua penultima cifra è pari e l'ultima è 0, 4, 8.
7
•
dimostrazione: consideriamo un numero N, le sue cifre decimali sono i coefficienti ai che
compaiono nella somma
Se il numero finisce per 00 è divisibile per 100 che a sua volta è divisibile per 4.
Supponiamo che le ultime due cifre
formino un multiplo di 4; in ogni caso anche le cifre rimanenti
formeranno un multiplo di 4 (in quanto formano un multiplo di 100), quindi anche la loro
somma, cioè N, è multiplo di 4.
Esempio: 424 è divisibile per 4 perché le ultime 2 cifre sono 2 e 4, che formano 24, che è multiplo
di 4.
Divisibilità per 5[modifica | modifica wikitesto]
Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 oppure 5.
•
dimostrazione: consideriamo un numero N, le sue cifre decimali sono i coefficienti ai che
compaiono nella somma
i termini ai10i sono tutti divisibili per 5 se i>0, quindi se N è divisibile per 5 lo è anche
cioè a0, che quindi è 0 o 5.
Viceversa se a0 è 0 o 5 una volta che lo sommiamo al numero
che è anch'esso divisibile per 5 otteniamo ancora un multiplo di 5, dunque N sarà divisibile
per 5.
Esempio: 565 è divisibile per 5 perché finisce con 5.
Divisibilità per una potenza di 5[modifica | modifica wikitesto]
Similmente al caso con le potenze di 2, un numero è divisibile per
destra del numero.
se lo sono le k cifre più a
Divisibilità per 6[modifica | modifica wikitesto]
Un numero è divisibile per 6 se è divisibile contemporaneamente per 2 e per 3.
Divisibilità per 7[modifica | modifica wikitesto]
Un numero è divisibile per 7 se la somma tra il numero ottenuto escludendo la cifra delle unità
(prenumero) e il quintuplo della cifra delle unità (coda numerica) è 7 o un multiplo di 7.
8
Esempio: 68089; calcoliamo 6808 + 9×5 = 6853; non sapendo se 6853 sia divisibile per 7 basta
ripetere la procedura. 685 + 3×5 = 700, che è evidentemente un multiplo di sette. Pertanto 68089 è
multiplo di 7.
•
dimostrazione: consideriamo un numero N, le sue cifre decimali sono i coefficienti ai che
compaiono nella somma
che possiamo scrivere più sintenticamente
nel linguaggio dell'aritmetica modulare sappiamo che N è divisibile per 7 se e solo se
ovvero
e se moltiplichiamo tutto per 5 (che è l'inverso aritmetico di 10 modulo 7) abbiamo
ovvero
poiché
Dato che -2 appartiene alla stessa Classe di Resto di 5 modulo 7, il criterio sopra definito può essere
modificato come segue:
Un numero è divisibile per 7 se la differenza tra il numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e
il doppio della cifra delle unità è 0, 7 o un multiplo di 7.
Utilizzando lo stesso esempio "68089"; 6808-9×2=6790; 679-0×2=679; 67-9×2=49; da cui la
divisibilità del numero iniziale per 7.
Va ricordato che questi criteri (al contrario dei successivi) non consentono il calcolo del resto della
divisione per 7, solo la verifica della divisibilità.
Un secondo criterio di divisibilità per 7, come quello per 13, sfrutta anche il fatto che 1001 è
fattorizzabile come 7 × 11 × 13, e quindi si può iniziare a ridurre il numero dato a uno con al più tre
cifre (vedi sotto il criterio di divisibilità per 1001). Tali cifre, prese da destra a sinistra, devono
essere moltiplicate rispettivamente per 1, 3 e 2 (mnemonicamente si può vedere la cosa come "legge
132") e i risultati sommati tra di loro.
Un altro criterio di divisibilità per 7 consiste nel prendere la cifra più a sinistra del numero,
moltiplicarla per 3 e sommarla a quella immediatamente più a destra, eliminando eventuali fattori 7
e continuando fino alla cifra più a destra. Nell'esempio del numero 493827, le operazioni da
compiere sono:
•
•
•
•
•
4 × 3 + 9 = 21
0 × 3 + 3 = 3;
3 × 3 + 8 = 17
3 × 3 + 2 = 11
4 × 3 + 7 = 19
0;
3;
4;
5.
9
La stessa operazione si può anche fare da destra a sinistra; in questo caso il moltiplicatore è 5.
Per numeri grandi, è possibile dividerli in gruppi di tre cifre da destra a sinistra, inserendo segni
alternati fra ogni gruppo: il risultato deve essere divisibile per 7.
Ad esempio "1491826": 826 - 491 + 1 = 336 e, utilizzando uno dei criteri precedenti, 33 + (6 × 5) =
63 quindi è divisibile.
Un ulteriore criterio di divisibilità per 7 è il seguente, assai facile da usare.
Si divide il numero in esame in gruppi di tre cifre (da destra a sinistra) e di ciascuno si calcola il
resto della divisione per 7; si sommano i resti dei gruppi di posto dispari e dei gruppi di posto pari:
se la differenza delle due somme è nulla o un multiplo di 7 il numero di partenza è divisibile per 7.
Sembra complicato ma non lo è: basta fare un esempio. Prendiamo il numero 123457789: il resto di
123:7 è 4, il resto di 457:7 è 2, il resto di 789:7 è 5; la somma dei resti dei gruppi di posto dispari è
4+5=9 e la somma dei resti dei gruppi di posto pari è 2 (c'è un solo gruppo); poiché 9-2=7 il numero
di partenza è divisibile per 7. Per calcolare facilmente il resto della divisione di un numero per 7 si
ricordi che il resto non cambia se si sottrae al numero di partenza un multiplo di 7: ad esempio
723:7 dà lo stesso resto di (723-700):7 ovvero 23:7 il cui resto è assai più facile da calcolare.
Si può anche dividere il numero in esame in due gruppi di cifre, le tre cifre di destra e le rimanenti
cifre, ed applicare il medesimo criterio. Prendiamo il numero 123457789 (già considerato sopra): il
resto di 123457:7 è 5, il resto di 789:7 è 5; la differenza dei resti è nulla e pertanto il numero di
partenza è divisibile per 7.
Per i numeri non divisibili per 7, la citata differenza tra le somme dei resti dei gruppi di posto
dispari e dei gruppi di posto pari fornisce anche il resto della divisione del numero di partenza per 7
(con l'accortezza di aggiungere 7 in caso di differenza negativa e di sottrarre 7 - o multipli di 7 - in
caso di differenza maggiore di 6).
Divisibilità per 8[modifica | modifica wikitesto]
Un numero è divisibile per 8 se termina con tre zeri o se lo è il numero formato dalle sue ultime 3
cifre. Esempio: 1128 è divisibile per 8 perché anche 128 lo è
Un'altra possibilità è data dal prendere la terzultima cifra, raddoppiarla, sommarla alla penultima,
raddoppiare il risultato e sommarlo all'ultima: se il risultato finale è multiplo di 8 allora anche il
numero originale lo è.
Esempio: 15736 si fa 7×2 = 14; 14+3 = 17; 17×2 = 34; 34+6 = 40. Dato che 40 è un multiplo di 8,
anche 15736 lo è.
Divisibilità per 9[modifica | modifica wikitesto]
Un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è divisibile per nove. Nel caso tale somma
sia un numero maggiore di 9, si può reiterare l'operazione.
Si consideri ad esempio il numero 493827, sommando le sue cifre si ottiene 33. Ripetendo
ulteriormente l'operazione si ottiene 6, da cui risulta che il numero 493827 non è divisibile per 9. Il
risultato dell'operazione (6 nell'esempio) è pari al resto modulo 9 (dividendo il risultato per 3 si
10
otterrebbe il resto modulo 3). Da notare che non è necessario sommare eventuali cifre 9 presenti nel
numero.
Dal criterio appena descritto si ricava una delle tante proprietà curiose legate al numero 9. Se si
sottrae ad un qualunque numero la somma delle sue cifre prese singolarmente si ottiene sempre un
numero divisibile per 9. Riprendendo l'esempio precedente, se a 493827 si sottraggono le sue cifre
si ottiene: 493827-(4+9+3+8+2+7)=493794, la cui divisibilità per 9 può facilmente essere
dimostrata col precedente criterio. Questo è dovuto al fatto che, come descritto in precedenza, la
somma delle cifre di un numero è pari proprio al resto modulo 9.
Vedi anche Prova del nove e Radice numerica.
Divisibilità per 10[modifica | modifica wikitesto]
Un numero è divisibile per 10 quando la sua ultima cifra è zero.
Divisibilità per una potenza di 10[modifica | modifica wikitesto]
Un numero è divisibile per
(10, 100, 1000, ...) quando le sue ultime (1, 2, 3, ...,
rispettivamente) cifre a destra sono tutti zeri. Ad esempio, 40 è divisibile per 10, 300 è divisibile per
100 e 4000 è divisibile per 1000.
•
Dimostrazione: un generico numero naturale
in cui i coefficienti
scritta anche come
sono le
è, infatti, sempre esprimibile nella forma
cifre decimali di
. La precedente somma può essere
avendo posto
ed
dove
sono le ultime cifre a destra di (
).
Pertanto, sarà divisibile per
quando lo è il numero
composto dalle sue ultime
cifre a destra; d'altronde, essendo tutti i coefficienti minori di 10 (in quanto cifre
decimali),
potrà essere divisibile per
soltanto quando è nullo, il che richiede che le
cifre
siano tutte pari a zero.
Divisibilità per 11[modifica | modifica wikitesto]
Un numero è divisibile per 11 se, contando da destra verso sinistra, la differenza (in valore assoluto)
tra la somma delle sue cifre di posto dispari e la somma delle sue cifre di posto pari dà come
risultato 0, 11 o un multiplo di 11. Ad esempio, "8.291.778" è divisibile per 11 perché: (8+7+9+8)(7+1+2) = 32-10 = 22.
Divisibilità per 12[modifica | modifica wikitesto]
Un numero è divisibile per 12 se è contemporaneamente divisibile per 3 e per 4.
11
Divisibilità per 13[modifica | modifica wikitesto]
Un numero è divisibile per 13 se la somma tra il numero ottenuto escludendo la cifra delle unità
(prenumero) e il quadruplo della cifra delle unità (coda numerica) è 0, 13 o un suo multiplo.
Esempio: 12285; calcoliamo 1228 + 5×4 = 1248; non sapendo se 1248 sia divisibile per 13 basta
ripetere la procedura. 124 + 8×4 = 156. Anche qui si ripete la procedura: 15 + 6×4 = 39, cioè 13×3.
Pertanto 12285 è multiplo di 13.
•
dimostrazione: consideriamo un numero N, le sue cifre decimali sono i coefficienti ai che
compaiono nella somma
che possiamo scrivere più sintenticamente
nel linguaggio dell'aritmetica modulare sappiamo che N è divisibile per 13 se e solo se
ovvero
e se moltiplichiamo tutto per 4 (che è l'inverso aritmetico di 10 modulo 13) abbiamo
ovvero
poiché
Va ricordato che questo criterio, analogamente al criterio di divisibilità per 7, non consente il
calcolo del resto della divisione per 13 ma solo la verifica della divisibilità.
Un ulteriore criterio di divisibilità per 13 è il seguente, assai facile da usare.
Si divide il numero in esame in gruppi di tre cifre (da destra a sinistra) e di ciascuno si calcola il
resto della divisione per 13; si sommano i resti dei gruppi di posto dispari e dei gruppi di posto pari:
se la differenza delle due somme è nulla o un multiplo di 13 il numero di partenza è divisibile per
13. Sembra complicato ma non lo è: basta fare un esempio. Prendiamo il numero 123457789: il
resto di 123:13 è 6, il resto di 457:13 è 2, il resto di 789:13 è 9; la somma dei resti dei gruppi di
posto dispari è 6+9=15 e la somma dei resti dei gruppi di posto pari è 2 (c'è un solo gruppo); poiché
15-2=13 il numero di partenza è divisibile per 13. Per calcolare facilmente il resto della divisione di
un numero per 13 si ricordi che il resto non cambia se si sottrae al numero di partenza un multiplo
di 13: ad esempio 543:13 dà lo stesso resto di (543-520):13 ovvero 23:13 il cui resto è assai più
facile da calcolare.
Si può anche dividere il numero in esame in due gruppi di cifre, le tre cifre di destra e le rimanenti
cifre, ed applicare il medesimo criterio. Prendiamo il numero 123457789 (già considerato sopra): il
resto di 123457:13 è 9, il resto di 789:13 è 9; la differenza dei resti è nulla e pertanto il numero di
partenza è divisibile per 13.
Per i numeri non divisibili per 13, la citata differenza tra le somme dei resti dei gruppi di posto
dispari e dei gruppi di posto pari fornisce anche il resto della divisione del numero di partenza per
12
13 (con l'accortezza di aggiungere 13 in caso di differenza negativa e di sottrarre 13 - o multipli di
13 - in caso di differenza maggiore di 12).
Divisibilità per 14[modifica | modifica wikitesto]
Un numero è divisibile per 14 se è divisibile contemporaneamente per 2 e per 7
Divisibilità per 20[modifica | modifica wikitesto]
Un numero è divisibile per 20 se è composto da almeno due cifre e le sue ultime due cifre a destra
sono 00, 20, 40, 60, 80.
Divisibilità per 25[modifica | modifica wikitesto]
Un numero è divisibile per 25 se è composto da almeno due cifre e le sue ultime 2 cifre a destra
sono 00, 25, 50 o 75.
Divisibilità per 27[modifica | modifica wikitesto]
Per verificare se un numero è divisibile per 27, lo si divide in terzetti di cifre (a partire da destra). Se
la somma di tutti i terzetti dà come risultato un multiplo di 27 allora il numero di partenza è
divisibile per 27. In alternativa, se risulta più agevole, si possono calcolare i resti delle divisioni per
27 dei vari terzetti e sommare infine tutti i resti ottenuti: se tale somma dà come risultato un
multiplo di 27 allora il numero di partenza è divisibile per 27. Ad esempio "514.291.761" è
divisibile perché: 761+291+514 = 1566 che è un multiplo di 27; ovvero, in alternativa,
761=28x27+5 291=10x27+21 514=19x27+1 e 5+21+1=27.
Divisibilità per 37[modifica | modifica wikitesto]
Analogamente per verificare se un numero è divisibile per 37, lo si divide in terzetti di cifre (a
partire da destra). Se la somma di tutti i terzetti dà come risultato un multiplo di 37 allora il numero
di partenza è divisibile per 37. In alternativa, se risulta più agevole, si possono calcolare i resti delle
divisioni per 37 dei vari terzetti e sommare infine tutti i resti ottenuti: se tale somma dà come
risultato un multiplo di 37 allora il numero di partenza è divisibile per 37. Ad esempio
"514.291.749" è divisibile perché: 749+291+514 = 1554 che è un multiplo di 37; ovvero, in
alternativa, 749=20x37+9 291=7x37+32 514=13x37+33 e 9+32+33=74 che è evidentemente un
multiplo di 37. Per comprendere la similarità dei criteri di divisibilità per 27 e per 37 e capire
perché per tali criteri si dividono i numeri in gruppetti di tre cifre si fa riferimento alla
scomposizione di 999 che è pari a 27x37.
Divisibilità per 101[modifica | modifica wikitesto]
Per verificare se un numero è divisibile per 101, lo si divide in coppie di cifre a partire da destra. Se
contando da destra verso sinistra la differenza (in valore assoluto) tra la somma delle coppie che
occupano posto pari e la somma delle coppie che occupano posto dispari dà come risultato 0, 101,
un multiplo di 101, allora il numero di partenza è divisibile per 101. Ad esempio "514.300.787" è
divisibile perché: (87+30+5)-(7+14) = 122-21 = 101.
Divisibilità per 1001[modifica | modifica wikitesto]
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Per verificare se un numero è divisibile per 1001, lo si divide in terzetti di cifre a partire da destra.
Se contando da destra verso sinistra la differenza (in valore assoluto) tra la somma dei terzetti che
occupano posto pari e la somma dei terzetti che occupano posto dispari dà come risultato 0, 1001,
un multiplo di 1001, allora il numero di partenza è divisibile per 1001. Ad esempio "514.291.778" è
divisibile perché: (778+514)-(291) = 1292-291 = 1001.
Divisibilità in altre basi[modifica | modifica wikitesto]
Sia un numero espresso in base , e sia un divisore di . Si possono generalizzare il criterio di
divisibilità per le potenze di 2, 5, 10 e il criterio di divisibilità per 9 (o per 3) nel modo seguente. Il
resto della divisione di per
è lo stesso della divisione delle ultime cifre di per
. Il resto
della divisione di per
(o un divisore di
) è lo stesso della divisione della somma delle
cifre di per
.
…”
Qui si mostrano criteri di divisibilità per numeri primi e
anche per alcuni numeri composti.
Nelle pagine seguenti (da 17 a 24) si mostrano invece criteri di
divisibilità solo per numeri primi , da 7 fino a 59:
dal libro“Crivello dell’Ingegnere”, Ing. Luigi Piazza,
Edizioni Momenti, insieme ad un criterio generale di
divisibilità.
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Osservazioni
Noi abbiamo tentato nuove vie, con le forme 6n + 1 dei numeri
primi (tranne il 2 e il 3) : dati due numeri p e q , con
p = 6*n + 1 e q = 6*m +1 il loro prodotto N = p*q sarà della
forma: (6*n + 1) (6*m +1) = 36* n*m + n*m + 1
Per esempio :
127* 23 = 2921 poiché 127=6*21 + 1, 23 =6*4 - 1
n = 23, m = 4
quindi (6*21 + 1) ( 6*4 -1) = 36*21*4 – 6*21 + 6*4 -1 =
31
3024 -126 + 24 -1 = 2921
Ora vogliamo sapere se 2921 è divisibile per 23
Sappiamo che 2921 = 6*487 - 1 ; poiché 23 = 6*4 – 1
2921/23= 127 perché 2920/4 = 730 intero
(Rimandiamo al Rif.3, “Matematica con i numeri primi e le
forme 6k + 1” )
Caso particolare i numeri primi gemelli, per i quali m = m e
quindi i valori m*n si elidono, e rimane 36n^2 - 1
Per esempio 59*61 = 3599 = 36*10^2 - 1 = 3600 – 1, poiché
n = 10; come tutti i numeri di forma s^2 - 1, è un prodotto tra
32
due numeri con differenza 2, e il caso dei gemelli è un caso
speciale, dove entrambi i numeri sono primi.
Per cui, se abbiamo un numero di forma s^2 - 1, sappiamo già
che p e q sono di forma p = √N - 1 e q = √N +1, e possono
essere (ma non sempre) primi gemelli se N = 36n^2 -1.
Ma riportiamo il capitolo sulla moltiplicazione, dal Rif. 3:
4) M O L T I P L I C A Z I O N E B I N A R I A
N = p * q = (6*m+-1)* (6*n+-1) = 36*m*n +-6*m+-6+n+-1
Come caso interessante, ancora quello dei numeri gemelli: poiché per essi
m = n, si avrà, in ogni prodotto N = p*q con p e q gemelli, che N = 36*m^2 – 1,
per cui diventa facilissimo fattorizzare un prodotto tra gemelli, cercando
m^2 = (N + 1)/ 36, da cui m = √ (N+1)/36, e quindi p = 6*m -1 e
q = 6*m +1 (oltre che √(N+1)+-1, per esempio N = 17 * 19 = 323;
m = √(323 +1)/36; oppure p = √ 323 +1 -1 = 18 – 1 = 17, e q = 18 + 1 = 19,
con 17 e 19 entrambi primi e gemelli.
Questa proprietà dei prodotti tra numeri gemelli diventa così
molto importante per altre congetture sui numeri primi, alle quali dedicheremo
eventuali futuri lavori.
Un teorema collegato al prodotto tra due primi qualsiasi (tranne il 2 e il 3) è il
nostro cosiddetto teorema del sesto:
s = (N +1 )/6 = p*n + m = q*m + n
33
Esempio unico per tutti :
N = 11 * 53 = 583, m = 2, n = 9, s = (583 - 1)/6 = 97
s = 97 = 11*9 -2 = 53*2 - 9 = 97.
Ogni prodotto tra due primi ha quindi la sua coppia m ed n, oltre che alla
coppia banale m = 0 ed n = s, tali che 6*0 + 1 = -1 e + 1 (considerabili
anche questi gemelli di tipo particolare, poiché 1 – ( - 1) = 1 + 1 = 2 è la loro
differenza, mentre la loro somma è 1 + (-1) = 1 – 1 = 0 = 12*0 = 0,
come da regola generale (vedi punti precedenti su addizione e differenza tra
due numeri primi) .
I numeri primi, invece, hanno la sola coppia banale m = 0 ed n = s = (N + 1)/6,
poiché, valori danno i soli fattori banali 1 = 0 + 1 =1 e 0 -1 = -1, N = 6*s + 1,
e cioè i fattori banali 1 e se stesso.
I composti puri, viceversa, hanno fattori propri diversi da 1 e se stessi, poiché
per essi esistono coppie di m ed n non nulle, una coppia soltanto per soli due
numeri primi tali che:
p*q = N, più coppie di m ed n diversi per coppie di fattori diversi per
N = p*q = p’ * q’.
Per esempio N = (7*11)*(29*17) = (7*29)* (11*17) = 37961
N = 77 * 493 = 203 * 187 = N = (6*13 -1) * (6*82+1) = 77*483
= 37961 con m = 13 ed n = 82;
N = (6* 34-1) *( 6*31+1) = 203*187 = 37961 con m = 34 ed n = 31,
Anche 1 e -1 obbediscono alla forma generale dei primi, ma per m = 0,
poiché N = 1 = 6*0 + 1 = 0 + 1 = 0 - 1 e quindi, in via generale, 1 e -1
possono essere considerati anch’essi numeri primi puri (diverso cioè da 2 e
da 3), e qualsiasi potenza o prodotto di 2 e di 3 può essere considerato il
prodotto di 2, di 3 e di 1 come fattore “puro”, per es. 6 = 1*2*3 oltre che solo
2*3.
La moltiplicazione di numeri primi molto grandi ma paragonabili come
grandezza è, com’è noto, alla base della crittografia RSA”
Circa la fattorizzazione, abbiamo un teorema ( il quarto) di
un certo interesse dopo i due teoremi di Euclide sui numeri
primi (la loro infinità e il teorema su p minore della radice
34
quadrata di N = p*q), e dopo l’algoritmo di fattorizzazione
alla Fermat). Tale nostro teorema è esposto in Rif. 6
Conclusioni
Con questo lavoro abbiamo esposto brevemente tutto ciò che
sappiamo sui vecchi criteri di divisibilità ( ora da noi rivisitati
parzialmente con le forme 6k + 1, e sui antichi e moderni
metodi di fattorizzazione, considerando un problema NP,
anche se non si sa ancora bene se lo sia in realtà, ma connesso
com’è noto alla crittografia RSA)
35
Altri metodi di fattorizzazione coinvolgono le due congetture
di Goldbach , vedere su Google (Goldbach e fattorizzazione
Fattorizzazione RSA), in Rif. 9
Per i futuri computer quantistici, ma già in fase di
sperimentazione con i primi prototipi, è già pronto l’algoritmo
di Shor (vedi su Wikipedia)
Riferimenti
(tutti sul nostro sito http://nardelli.xoom.it//stringtheory/
salvo diversa indicazione)
1 – Wikipedia
2 – Ing. Luigi Piazza, “Crivello dell’Ingegnere”, Edizioni
Momenti
36
3) “Matematica con i numeri primi e le forme 6k + 1”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero
Abstract
In this paper we show arithmetic with general forms 6n + 1 of
prime numbers
Riassunto
In questo lavoro tratteremo l’aritmetica e più in generale la
matematica, con le forme generali 6n + 1 dei numeri primi,
tranne il 2 e il 3 iniziali, anche in merito alle congetture
interessate: Goldbach, numeri primi gemelli, Polignac, ecc. e
indicando nei riferimenti i nostri lavori precedenti in merito.
Allegheremo una nostra nota storica su Pietro Bongo, il
matematico del ‘500 che per primo ha scoperto le forme
numeriche 6n + 1
Su tali forme sono stati elaborati di recente anche test di
primalità e metodi di fattorizzazione, reperibili sul Web.
37
4) CRITTOGRAFIA R.S.A. INVIOLABILE
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero
5) Reduction and translation of
Fundamental Speed Factoring Theorem (FSFT)
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
Group “B.RIEMANN”
Abstract
In this paper we show our Fundamental Theorem about
factorization
In this paper we show our Fundamental Theorem of speed
factoring , based on geometric progressions, since p, n and q
belong to a geometric progression with ratio √r = √q/p, with n
=√N and with N = p*q, being p and q symmetrical with respect
to n.
But also, in equivalent form as geometrical progression
p*√r = n
n*√r = q
and therefore, as consequence
p*r = q
Obviously , we don’t know p and q ( is this the search
h of p and q , knowing only N, the object of factoring)
To search √r in other ways is therefore
a mathematical problem equivalent to speed factoring.
Now we don’t any valid alternative way”
(traduzione in inglese del successivo Rif. 7)
6) IL TEOREMA FONDAMENTALE
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DELLA FATTORIZZAZIONE
Gruppo “B.Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro congetture e sulle
loro connessioni con le teorie di stringa.
Abstract
In this paper we show our Fundamental Theorem about
factorization
Riassunto
In questo lavoro esponiamo il nostro Teorema Fondamentale
della fattorizzazione, basato sulle progressioni geometriche,
poiché p, n e q fanno parte di una progressione geometrica con
numero fisso √r = √q/p, con n =√N e con N = p*q, essendo p e
q simmetrici rispetto ad n.
Ma anche, equivalentemente, come progressione geometrica ,
p*√r = n
n*√r = q
e quindi, di conseguenza,
p*r = q
Ovviamente non conosciamo a priori p e q (è proprio la
ricerca di p e q, conoscendo solo N, lo scopo della
fattorizzazione). Cercare √r per altre vie è quindi un
problema matematico equivalente alla fattorizzazione veloce.
Per il momento non si conosce nessuna valida via alternativa,
…
7) Alcuni metodi noti di fattorizzazione veloce (crivello
quadratico, radici quadrate di 1 mod N, algoritmo di
fattorizzazione di Fermat, di Pollard, congettura debole e
forte” …
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
39
8) FATTORIZZAZIONE VELOCE COME PROBLEMA NP
(NON POLINOMIALE)
Gruppo “B.Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri
primi, sulle loro congetture e sulle loro connessioni con le
teorie di stringa
Abstract
In this paper we show some connections between speed
factorization and NP = P Problem
Riassunto
In questo lavoro tratteremo la fattorizzazione veloce come
problema NP (non polinomiale)
9) Algoritmi di Fattorizzazione degli interi di Cristiano Armellini
Tra i quali:
La fattorizzazione dei numeri con la congettura debole di
Goldbach.pdf
Sul sito
armellini.pbworks.com/.../Algoritmi%20per%20la
%20fattorizzazione%2
10) BREVE NOTA STORICA SULLE FORME 6k+1
Sul sito web del Prof. Gianfranco BO :
http://digilander.libero.it/basecinque/numeri/primibungus.htm
abbiamo recentemente trovato l’articolo “Numeri primi e tabellina
del 6” con annessa riproduzione della pagina riguardante la
citazione del Bungus, unitamente al frontespizio del “Numerorum
Mysteria” (del 1599), nella quale si scrive, forse per la prima
volta nella storia della matematica, delle forme 6+1 dei numeri
primi. Rimandiamo al suddetto sito per gli appassionati di storia.
Qui riporteremo solo il brano in latino, con relativa
traduzione (dal suddetto sito del Prof. G. Bo):
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“ …semper…numeri primi post binarium et ternarium, in
senariorum multiplicium vicina collocati comperiuntur, aut uno
minores, aut uno majores”
Traduzione:
“tutti i numeri primi maggiori di 3 e di 2 sono vicini alla
tavola moltiplicativa del 6 e sono del tipo 6n+1 o 6n -1”
Questo perché ogni tanto qualcuno scopre indipendentemente le
forme 6n +1 e 6n -1, e non conoscendo la suddetta “precedenza ”
del Bungus (Pietro Bongo) per questo teorema matematico, crede
e scrive, in buona fede, di essere stato il primo ad averla scoperto.
Anche noi ci eravamo cascati qualche anno fa, poi abbiamo
letto che queste forme sono state attribuite, forse erroneamente, ad
Eulero; ma ora diamo a Cesare quel che è di Cesare, cioè di Pietro
Bongo.
CALTANISSETTA, 1.5.2016
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