Blaise Pascal
Dei caratteri di divisibilità dei numeri dedotti dalla somma
delle loro cifre
In questo trattato Blaise Pascal presenta semplici algoritmi per
determinare se un dato numero naturale m è o meno divisibile per un
altro numero naturale n fissato. Il procedimento generale è basato
sulla manipolazione delle cifre della rappresentazione decimale di m.
L’autore lo descrive nel modo seguente.
Supponiamo, per semplicità, che la rappresentazione decimale del
numero m sia costituita da non più di 10 cifre: indicheremo con
β, γ, … rispettivamente le cifre dell’unità, delle decine, delle centinaia,
delle migliaia, e così via.
Si predispone anzitutto una tabella che servirà per tutti i possibili
valori di m. Nella prima riga scriveremo, da destra a sinistra, i numeri
da 1 a 10.
10
9
8
7
6
5
4
c
γ
3
b
β
2
a
1
1
z
Sotto il numero 1 scriviamo 1. Sotto il 2 inseriamo il resto della
divisione euclidea di 10 per n, indicandolo con a. Nella colonna
successiva scriviamo b, il resto della divisione di 10a per n. Il numero
c, che porremo sotto il 3, sarà il resto della divisione di 10b per n.
Proseguiamo in questo modo, riempiendo tutta la seconda riga.
Nella terza riga trascriviamo le cifre del numero m. Moltiplichiamo
quindi tra loro i due numeri di ciascuna colonna della seconda e terza
riga: z∙1, ∙ a, β ∙ b, γ ∙ c, ….. Infine, sommiamo tutti questi prodotti.
Sia M il totale. Si può dimostrare che m è divisibile per n se e solo lo è
M. Il vantaggio è che M è, in generale, un numero molto più piccolo
di m, ed è pertanto più facile verificarne la divisibilità per n. Se il
numero M fosse ancora troppo grande, lo si può comunque ridurre
riapplicando il procedimento a M stesso. Iterando l’algoritmo un
numero finito di volte, il valore di M ottenuto alla fine potrà avere
anche solo una o due cifre. In tal caso il problema di divisibilità
diviene banale.
Riprendiamo dallo scritto di Pascal un esempio concreto, relativo alla
divisibilità per n=7. Il numero m è 287 542 178. La tabella in questo
caso è la seguente.
10
6
9
2
2
8
3
8
7
1
7
6
5
5
5
4
4
4
6
2
3
2
1
2
3
7
1
1
8
La casella lasciata vuota è come se contenesse lo zero.
Si ottiene M = 8∙1 + 7∙3 + 1∙2 + 2∙6 + 4∙4 + 5∙5 + 7∙1 + 8∙3 + 2∙2 = 119.
Quindi 287 542 178 è divisibile per 7 se e solo se lo è 119. La verifica
su 119 è sicuramente più semplice che sul numero di partenza. Nel
caso in cui il numero 119 ci dicesse ancora poco, potremmo chiarirci
le idee compilando per esso la tabella:
10
6
9
2
8
3
7
1
6
5
5
4
4
6
3
2
1
2
3
1
1
1
9
Chiaramente la seconda riga è la stessa di sopra: l’abbiamo calcolata
una volta per tutte, è quella che caratterizza la divisibilità per 7. Il
totale adesso è :
M’ = 9∙1 + 1∙3 + 1∙2 = 14
Ora il problema può dirsi risolto: siccome M’ è divisibile per 7, lo è
anche M, e dunque lo è anche m.
Osserviamo che per n=9, il procedimento di Pascal fornisce la famosa
prova del nove, che tutti conoscono dalla scuola media. In questo caso
M è semplicemente uguale alla somma delle cifre di m, e si sa che il
resto della divisione di M per 9 è uguale al resto della divisione di m
per 9.
Si può utilizzare il procedimento che abbiamo descritto sopra per
creare una analoga prova del sette.
I primi criteri di divisibilità comparvero in Europa grazie a Fibonacci
, che li aveva appresi dai matematici arabi e indiani. Essi sono utili
ai fini della determinazione della scomposizione di un numero intero
in fattori primi, la cui esistenza ed unicità è sancita dal teorema
fondamentale dell’aritmetica, noto già ad Euclide: questi lo
presenta nel Libro VII dei suoi Elementi.
La prova del sette e del nove secondo M. Francesco Pagani
