I POLIEDRI REGOLARI
“La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto dinanzi
gli occhi, io dico l’universo, ma non si può intendere se prima non si impara a intendere la
lingua e conoscere i caratteri, nei quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i
caratteri sono triangoli, cerchi e altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile
a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro
labirinto”
Galileo Galilei
I POLIEDRI REGOLARI: DEFINIZIONE E PROPRIETA’
Prima di addentrarci nello studio dei poliedri ricordiamo alcune definizioni di geometria
solida.
Un poliedro convesso è una figura solida, limitata da un numero finito di poligoni
appartenenti a piani diversi e tali che il piano di ogni poligono non attraversi il solido. I
poligoni, i lati dei poligoni e i vertici dei poligoni sono detti rispettivamente, facce, spigoli e
vertici del poliedro. Si dicono facce adiacenti di un poliedro due facce che hanno uno
spigolo in comune.
Dati nello spazio due semipiani aventi la stessa retta r come origine, chiamiamo driedro, o
angolo driedro, ognuna delle due parti (compresi i semipiani) in cui essi dividono lo spazio.
La retta r si dice spigolo e i due semipiani si dicono facce.
Tagliando un driedro con un piano perpendicolare ad r, si determina su tale piano un
angolo, che è detto sezione normale del driedro; si dimostra che le sezioni
normali di uno stesso driedro sono congruenti. Chiamiamo perciò ampiezza
di un driedro l’ampiezza della sua sezione normale. Si può inoltre dimostrare
che due driedri sono congruenti se hanno sezioni normali congruenti e
viceversa.
Dato un poligono e un punto V non appartenente al suo piano, definiamo
angoloide il solido costituito da tutte le semirette di origine V e passanti per i
punti del poligono.
Dato un poliedro, ad ogni spigolo associamo il driedro individuato dalle due facce adiacenti
che contengono quello spigolo: esso è un driedro del poliedro. Inoltre ad ogni vertice del
poliedro associamo l’angoloide i cui spigoli contengono quelli del poliedro uscenti da quel
vertice. Esso è un angoloide del poliedro.
Un poligono si dice regolare se le sue facce sono poligoni regolari congruenti e se i suoi
angoloidi e i suoi driedri sono conguenti.
I poliedri regolari sono solo cinque: il tetraedro, l’esaedro (il cubo), l’ottaedro, il dodecaedro
e l’icosaedro. La spiegazione del perché siano solo cinque va ricercata nel fatto che in
ogni vertice del poliedro si deve formare un angoloide, tale che che la somma degli angoli
delle facce che concorrono nel suo vertice non deve essere uguale a 360°, altrimenti si
schiaccerebbe in un piano, e neppure maggiore. Questa condizione impone in primo luogo
che le facce di un poliedro regolare non possono essere poligoni con angoli di 120° o
superiori; infatti già se le facce fossero esagoni (che ai loro vertici presentano angoli di
120°) avremmo che l’angoloide formato con tre di essi avrebbe la somma degli angoli delle
sue facce pari a
, e ciò non è accettabile. Pertanto esistono solamente
poliedri regolari che abbiano come facce triangoli equilateri, quadrati o pentagoni regolari.
Con il quadrato e il pentagono si può ottenere una sola combinazione e quindi si ha la
possibilità di formare un solo poliedro regolare che abbia come facce quadrati o pentagoni.
Se costruiamo poliedri con facce quadrate possiamo costruire soltanto un poliedro
regolare, il cubo, detto anche esaedro (dal greco “sei facce”) mettendo insieme 3 quadrati
in ogni vertice, dal momento che la
somma degli angoli delle tre facce
che insistono su un vertice è pari a
.
Quattro quadrati che concorrono in
un vertice sono troppi perché stanno
su uno stesso piano (la somma degli
angoli delle facce che insistono su
tale vertice è pari a
),
Quadrati
mentre se ne mettiamo insieme sette
o più si ottiene necessariamente un
solido concavo.
Con i pentagoni regolari possiamo costruire solo un poliedro regolare, il dodecaedro (dal
greco “dodici facce”). Infatti se considero tre pentagoni in ogni vertice del poliedro, la
somma degli angoli delle facce che insistono su un vertice è pari a
ma con quattro la somma sarebbe superiore a 360°.
Pentagoni regolari
Con il triangolo equilatero, sfruttando il fatto che gli angoli ai loro vertici sono di 60°, si
possono invece formare ben 3 combinazioni diverse e quindi 3 poliedri regolari diversi.
Infatti, se si poniamo 3 triangoli in uno stesso vertice, allora la somma degli angoli delle
facce che insistono su tale vertice è pari a
. Si può dunque costruire
un primo poliedro regolare: il tetraedro (dal greco “quattro facce”).
Se si pongono 4 triangoli in uno stesso vertice, allora la somma degli angoli delle facce
che insistono su tale vertice è pari a
Si può dunque costruire un
altro poliedro regolare: l’ottaedro (dal greco “otto facce”).
Se infine si pongono 5 triangoli in uno stesso vertice, allora la somma degli angoli delle
facce che insistono su tale vertice è pari a
Si può dunque costruire
un ulteriore poliedro regolare: l’icosaedro (dal greco “venti facce”).
Triangoli equilateri
Non possiamo invece costruire poliedri regolari aventi 6 triangoli equilateri in uno stesso
vertice, perchè la somma degli angoli che insistono su tale vertice sarebbe di 360° e ciò
non sarebbe accettabile.
Pertanto i poliedri regolari sono solo cinque: il tetraedro, il cubo, l’ottaedro, il dodecaedro e
l’icosaedro.
Riportiamo la dimostrazione che Agustin Louis Cauchy (1789-1857), matematico francese
all’età di soli 20 anni, diede della famosa Relazione di Eulero, che lega tra loro il numero
delle facce, dei vertici e degli spigoli di un qualunque solido e quindi anche per i poliedri
regolari.
Relazione di Eulero: dato un poliedro P, dati i suoi vertici V, le sue facce F, i suoi spigoli S
sussiste la relazione
.
Fig. 1
Consideiamo come poliedro P con cui fare la dimostrazione un cubo,
che può essere pensato come un corpo cavo. Asportiamo una faccia e
stendiamo tutto il rimanente su un piano, deformando gli spigoli relativi
alla parte asportata, come da figura 1. Dopo questo passaggio, avendo
tolto una faccia, la formula da dimostrare è
.
Si ottiene così un grafo, ovvero un insieme di elementi, detti nodi,
collegati tra loro da dei lati; i nodi sono i vertici V del poligono P e i lati
sono gli spigoli S deformati del poligono P.
Ora per ogni faccia del grafo che abbia più di tre lati tracciamo la
diagonale fino ad ottenere tutti triangoli, come da figura 2. Eseguendo
quest’operazione su un quadrilatero non alteriamo l’espressione da
dimostrare: infatti in ognuno dei passaggi, si aggiunge una faccia e si
aggiunge uno spigolo, mentre i vertici restano gli stessi.
Fig. 2
Quindi considerando l’espressione
(
) (
)
e quindi l’espressione rimane la stessa:
si ha che :
Fatto questo togliamo i triangoli a partire dall’esterno.
Le possibilità sono due:
Togliendo un triangolo come da figura 3, si toglie uno spigolo e una
) (
)
faccia. Quindi (
Fig. 3
l’espressione rimane costante
Togliendo un triangolo come da figura 4, si tolgono due spigoli una
faccia e un vertice, quindi
(
) (
) (
)
Fig. 4
l’espressione rimane costante.
Si rimane ad un certo punto con un solo triangolo che ha 1 faccia, 3 vertici, 3 spigoli e che
quindi soddisfa l’equazione
.
Poiché nei passaggi non c’è stata alterazione di tale espressione, il grafo iniziale soddisfa
quest’equazione e pertanto il poliedro iniziale soddisfa l’equazione
