Poliedri regolari
- Le condizioni (a), (b) e (c) della definizione data non
sono sovrabbondanti:
Riferimenti bibliografici:
- Forme – Maria Dedò – Ed. Zanichelli
(a) e (c) – non (b)
Definizione: Un poliedro è detto regolare se soddisfa le
seguenti condizioni:
(a) le facce sono tutti poligoni regolari
(b) le facce sono tutte congruenti tra loro
(c) in ogni vertice arriva lo stesso numero di facce
I poliedri regolari sono detti anche solidi platonici.
Osservazioni:
- i prismi regolari e le piramidi regolari definiti nel
capitolo precedente NON sono regolari secondo
questa definizione.
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(b) e (c) – non (a)
(a) e (b) – non (c)
Definizione (equivalente): un poliedro è regolare se ha
per facce poligoni regolari e ha tutti gli angoloidi
uguali.
Come conseguenza ha uguali tutti gli spigoli, gli angoli
e i diedri.
Confronto con i poligoni regolari
Ricordiamo che un poligono è regolare se ha tutti i lati e
tutti gli angoli congruenti.
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I poligoni regolari sono caratterizzati dalla seguente
proprietà:
Torniamo
ai
poliedri
regolari.
Vale
caratterizzazione analoga a quella dei poligoni:
una
TEOREMA:
TEOREMA:
Un poligono è regolare se e solo se ha una
circonferenza inscritta (tangente a tutti i lati del
poligono) e una circonferenza circoscritta ( passante per
tutti i vertici del poligono) concentriche.
Un poliedro è regolare se e solo se esistono tre sfere
concentriche tali che:
una passa per tutti i vertici (circosfera)
una è tangente a tutti gli spigoli (intersfera)
una è tangente a tutte le facce (insfera).
Il centro delle tre sfere si chiama centro del poliedro.
Diversamente dal caso piano, i poliedri regolari sono
pochi, cinque.
Ad ogni poliedro regolare è associata una coppia di
numeri interi {p,q} dove p rappresenta il numero dei
lati del poligono regolare utilizzato per costruire il
poliedro e q rappresenta il numero di poligoni che si
incontrano in ogni vertice
Ad esempio il cubo ha
{p,q} = {4,3}
Osservazione: per ogni n ≥ 3 esiste un poligono
regolare avente n lati (n-gono regolare). Basta infatti
suddividere una circonferenza in n archi congruenti per
ottenere i vertici di tale poligono.
Quindi i poligoni regolari sono infiniti.
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q((p-2)/p) π;
La coppia {p,q} si chiama anche simbolo di Schäfli del
poliedro.
per la prima delle due relazioni abbiamo quindi
q((p-2)/p) π < 2 π
TEOREMA:
I possibili simbolo di Schäfli {p,q} dei polideri regolari
sono cinque.
Dimostrazione: ogni poliedro regolare soddisfa le
seguenti condizioni geometriche:
1) gli angoli piani delle facce che concorrono in un
vertice devono avere somma inferiore a 2π
(Teorema sulla somma delle facce di un angoloide).
2) In ogni vertice del poliedro si devono incontrare
almeno tre facce.
Ricordiamo che in un poligono regolare di p lati, gli
angoli misurano
da cui segue
pq -2q-2p < 0
ovvero
(p-2)(q-2) < 4 con q ≥ 3.
Allora i possibili valori per p e q sono:
p = 3 (le facce sono triangoli) e q = 3,4,5,
p = 4 (le facce sono quadrati) e
q = 3,
p = 5 (le facce sono quadrati) e
q = 3.
((p-2)/p) π.
Quindi la somma degli angoli delle facce che si
incontrano in un vertice è
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I possibili simbolo di Schäfli {p,q} dei poliedri regolari
sono quindi:
{p,q} = {4,3} : cubo ( o esaedro regolare).
Ha 6 facce che sono quadrati, 6 vertici, 12 spigoli, 6
angoli triedri.
{3,3} {3,4} {3,5} {4,3} {5,3}.
Osservazione: per ognuno dei simboli di Schäfli {p,q}
trovati, esiste effettivamente un poliedro regolare:
{p,q} = {3,3} : tetraedro regolare.
E’ una piramide retta, regolare a base triangolare con le
facce che sono tutti triangoli equilateri.
Ha 4 facce, 4 vertici, 6 spigoli, 4 angoli triedri.
{p,q} = {3,4} : ottaedro regolare.
Si costruisce unendo due piramidi rette, regolari a base
quadrata, aventi per facce laterali triangoli equilateri.
Ha 6 facce, 6 vertici, 12 spigoli, 6 angoli triedri.
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{p,q} = {3,5} : icosaedro regolare.
{p,q} = {5,3} : dodecaedro regolare.
Si costruisce unendo un antiprisma regolare con le basi
pentagonali e le facce che sono triangoli equilateri, con
due piramidi regolari a base pentagonale, aventi per
facce laterali triangoli equilateri uguali a quelli
dell’antiprisma.
Ha 20 facce, 12 vertici, 30 spigoli, 12 angoli triedri.
Si costruisce prendendo due “cestini” ciascuno formato
da un pentagono circondato da cinque altri pentagoni e
saldandoli lungo la poligonale sghemba di dieci lati
formata dai loro spigoli liberi
Ha 12 facce, 20 vertici, 30 spigoli, 20 angoli triedri.
Fino a questo punto si è mostrato che le coppie {p,q}
sono solo 5 e che per ciascuna di esse esiste un poliedro
regolare (la dimostrazione rigorosa dell’esistenza si fa
fornendo le coordinate dei vertici e le equazioni dei piani
delle facce in R3).
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Per concludere che i poliedri regolari sono solo 5
Cenno alla dualità dei poliedri regolari
bisognerebbe dimostrare che per ogni coppia {p,q}
esiste “un solo” poliedro regolare……
- i centri delle facce di un cubo sono vertici di un
ottaedro (e viceversa i centri delle facce di un
ottaedro sono vertici di un cubo)
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- i centri delle facce di un icosaedro sono vertici di un
dodecaedro (e viceversa i centri delle facce di un
dodecaedro sono vertici di un icosaedro)
- i centri delle facce di un tetraedro sono vertici di un
tetraedro (autoduale)
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Riassumendo:
Formula di Eulero
TEOREMA:
Ogni poliedro
relazione:
(convesso)
soddisfa
la
seguente
V–S+F=2
Dove V,S e F indicano rispettivamente il numero di
vertici, di spigoli e di facce del poliedro.
Qualche suggerimento didattico:
- raccogliere dati su vari poliedri, per esempio partendo
dai regolari:
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Diminuire la regolarità……
Esempio di poliedro non convesso in cui vale:
Esempio di calcolo su un poliedro non convesso:
Ancora l’ipotesi giusta per la validità della formula di
Eulero è che il poliedro sia omeomorfo ad una sfera.
F= 16, V=16, S=32
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⇒ V-S+F = 0: NON VALE.
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Dimostrazione della Formula di Eulero
I poliedri a volte vengono rappresentati mediante dei
diagrammi, detti diagrammi di Schlegel. Un tale
diagramma è il grafo (reticolato piano) che si ottiene
considerando la proiezione del poliedro da un punto
molto vicino ad una sua faccia, in modo che la faccia si
Un diagramma di
Schlegel di un poliedro mostra
proietti in un poligono al cui interno si proiettano tutti i
chiaramente le relazioni di appartenenza tra vertici,
restanti vertici e spigoli del poliedro.
spigoli e facce (relazioni di incidenza) ma altera tutte le
(In modo più intuitivo lo stesso grafo si ottiene
relazioni metriche (aree, distanze, angoli…).
immaginando che il poliedro sia cavo, con la superficie
fatta di gomma sottile. Se si toglie una faccia si può
Il diagramma di Schlegel di un poliedro ha lo stesso
deformare la superficie rimanente per distenderla su un
numero di vertici e spigoli del poliedro stesso, mentre il
piano. In questo modo il reticolato dei vertici e spigoli è
numero delle facce del poliedro è uguale al numero
il diagramma cercato ).
delle componenti connesse del complementare del
grafo.
Lo scopo è mostrare che per tale grafo vale V-S+F=2.
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Per ottenere questo risultato si modificherà il grafo con
Nel grafo ci sono triangoli che hanno un lato sul
una serie di operazioni che non alterano il valore di V-
contorno. Eliminiamoli.
S+F.
Triangoliamo ogni componente connessa limitata del
complementare del grafo, che non sia già un triangolo.
Per ogni diagonale che si traccia in un poligono,
aumenta di 1 sia F che S e dunque V-S+F resta
inalterato. Quindi per triangolare ogni poligono, per
esempio di n lati, si dovranno tracciare le n-3 diagonali
uscenti da uno stesso vertice, che faranno aumentare di
n-3 sia F che S e quindi non cambieranno V-S+F.
Ora abbiamo triangoli con due lati sul contorno.
Eliminando triangoli con un lato sul contorno, F ed S
diminuiscono di uno mentre se eliminiamo triangoli con
due lati sul contorno, F e V diminuiscono di 1 e S di
due. In entrambi i casi V-S+F resta inalterato.
Proseguendo in questo modo si arriva ad avere un grafo
ridotto ad un triangolo, per il quale vale V-S+F =2.
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