radici quadrate - la crisi dei Pitagorici

MATEMATICA
RADICE QUADRATA:LA
CRISI DEI PITAGORICI
Prof.ssa M. Rosa
Casparriello
Scuola media di Fontanarosa
• PREREQUISITI
• Conoscere le potenze e saper operare con esse;
• Saper applicare la tecnica di scomposizione di un
numero in fattori primi;
• CONOSCENZE E ABILITA’
• Riconoscere se un numero è un quadrato perfetto;
• Approfondire il concetto di estrazione di radice
quadrata come operazione inversa dell’elevamento a
quadrato;
• Apprendere tecniche diverse per il calcolo della
radice quadrata esatta ed approssimata, compreso
l’uso ragionato delle tavole numeriche;
• CONOSCENZE E ABILITA’
• Conoscere e saper applicare le proprietà della radice
quadrata;
• Acquisire il concetto di numero irrazionale
• Riflettere sul significato dei numeri irrazionali e reali.
• La radice quadrata: attività
laboratoriale:
Costruiamo la chiocciola delle radici quadrate.
Abbiamo bisogno di un foglio, una matita e poi…
riga, squadra e compasso… i colori li usiamo a
casa!!!
• Un po’ di storia
I primi ad occuparsi del problema dell'estrazione di radice quadrata di un
numero sono stati i babilonesi. Essi, tra i primi ad utilizzare un sistema
di numerazione posizionale, avevano elaborato un procedimento per
l'estrazione di radice quadrata che spesso viene attribuito a
matematici posteriori, come Archita (428 - 365 a.C.) oppure ad Erone
di Alessandria (vissuto tra il I° e II° sec. d.C.) oppure a Newton.
I babilonesi avevano ricavato un valore di pari a 1,414222 con un errore
di circa 0,000008 dal valore vero. Di Erone di Alessandria, matematico
e scienziato greco, si hanno poche notizie biografiche. Si occupò di
meccanica, matematica e fisica. A lui si deve la formula (detta appunto
formula di Erone) mediante la quale calcolare l'area di un triangolo
qualsiasi, noti i suoi lati.
• La radice quadrata
A quanto è uguale la radice quadrata di 3 elevata alla
seconda?
• √32 = 3
L’elevamento a potenza e l’estrazione di radice sono due
operazioni l’uno l’inverso dell’altra.
Ovvero è come se avessimo semplificato il 2, indice di radice
sottinteso, con l'esponente 2 della potenza. Da qui
scompare il simbolo della radice.
Def: la radice quadrata di un numero (radicando) è quel
numero che elevato al quadrato da’ il radicando
• Radice quadrata
Come fare se non ho il radicando sotto forma di
potenza?
√144
Cerco nella mia cassetta degli attrezzi “tool box”
e ricordo che c’è uno strumento che mi permette di
scrivere 144 sotto forma di potenza: la
scomposizione in fattori primi.
144=122 ↔ √ 122 =12
• Radice quadrata
• E se gli esponenti sono dispari?
• In questo caso l’indice della radice e l’esponente non
possono essere semplificati.
• Diciamo, quindi, che per semplificare la radice con
l’esponente è necessario che il numero sia un
quadrato perfetto (gli esponenti dei suoi fattori primi
sono tutti numeri pari).
• Radice quadrata
Abbiamo verificato due cose:
• la scomposizione in fattori primi (strumento dalla
"cassetta degli attrezzi"), serve per riconoscere se un
numero è un quadrato perfetto: se gli esponenti
sono tutti pari, il numero è quadrato perfetto (quindi
possiamo estrarre la radice con questo metodo)
• Abbiamo estratto la radice semplificando gli
esponenti di tutti i fattori con lo stesso indice di
radice.
Proprietà della radice quadrata
• Vogliamo calcolare √9x25
√225=√32 x52 =15
• Ma anche
√9 x√25 =15
REGOLA
• La radice quadrata di un prodotto è uguale al prodotto
delle radici quadrate dei singoli fattori (proprietà
distributiva della radice)
• Proprietà della radice
Caso 1:
I due radicandi non sono quadrati perfetti, ma applicando la
proprietà otteniamo un solo radicando che è quadrato
perfetto:
√ 24 x √6 = √24x6 =√144=12
Caso 2:
Se uno dei due fattori non è un quadrato perfetto dobbiamo
lasciare indicata la sua radice:
√20=√22 x 5 =√22 x√5 =2x√5
Proprietà della radice
• Analogamente, se dobbiamo calcolare
√36:9 =√4=2
√36:√9=6:3=2
REGOLA
La radice quadrata di un quoziente è uguale al
quoziente delle radici quadrate del
dividendo e del divisore.
Proprietà della radice
√50 : √2 =√50:2=√25=5
Applicando la proprietà riusciamo a calcolare
la radice di un numero razionale espresso
sotto forma di frazione:
√169/121=√169/√121=13/11
Proprietà della radice
Applicando la proprietà riusciamo a calcolare
la radice di un numero razionale espresso in
forma decimale:
√0.81=√81/100=√81/√100=9/10
√0.7056=√7056/10000=√7056/√10000=
84/100=0.84
Radice quadrata
• In alternativa, una radice di un numero
decimale limitato può essere calcolata
direttamente senza procedere alla sua
trasformazione, purché il gruppo di cifre
decimali del radicando sia in numero pari. Se
questo non lo fosse si pareggerebbero le cifre
aggiungendo degli zeri.
La radice quadrata
Per esempio, se dobbiamo estrarre la radice
quadrata del numero 12,8 aggiungo uno zero per
avere un numero pari di cifre decimali.
Questo perché:
un numero decimale elevato alla seconda non ha
mai un numero dispari di cifre decimali.
Es: 1,22=1,44;
1,232 = 1,5129; ecc...
Algoritmo per l’estrazione della radice
Algoritmo= sequenza operativa per il calcolo
√7’12’89
Suddividiamo il numero dato partendo
da destra in gruppi di due cifre, il primo
gruppo a sinistra può essere formato da una o da due
cifre. Consideriamo il primo gruppo (7) troviamo il più
grande numero che elevato al quadrato è ≤7 (cioè la
radice quadrata esatta o approssimata a meno di una
unità di 7): 22=4 ≤ 7.
2 è la prima cifra del risultato
Algoritmo radice quadrata
√7’12’89
Eleviamo al quadrato questa prima cifra
2
e sottraiamo dal primo gruppo di cifre il risultato
4
Otteniamo così il primo resto.
3
√7’12’89
4
3 1’2
2
Raddoppiamo la prima cifra della radice
(2x2=4) e scriviamo 4 sotto il 2
4
Abbassiamo accanto al resto il
secondo gruppo di cifre e
separiamo l’ultima cifra a destra:
otteniamo così 31
Algoritmo radice quadrata
√7’12’89
4
3 1 ‘2
√7’12’89
4
3 1 ‘2 -
2 76
2
47
26
4 7 x 7= 329
4 6 x 6= 276
0 36
Secondo resto
Eseguiamo la divisione
31:4=7 e scriviamo il
quoziente 7 a destra di 4 (se il
quoziente fosse maggiore di
nove scriveremmo
ugualmente 9)
Moltiplichiamo tutto il numero
(47) per il quoziente stesso
(7). Il numero ottenuto
329>312. Allora diminuiamo
di una unità il quoziente
(passiamo a sei) e ripetiamo il
calcolo: 46x6=276; 276<312.
scriviamo 6 di fianco a 2. A
questo punto tracciamo una
riga sotto quest’ultima
operazione
Algoritmo radice quadrata
√7’12’89
4
3 1 ‘2 -
2 76
3 6 8’9
3689
0000
267
4 7 x 7= 329
4 6 x 6= 276
52 7 x7=3689
Abbassiamo il terzo gruppo di
cifre e separiamo l’ultima
cifra a destra. Raddoppiamo il
numero formato dalle prime
due cifre della radice
(26x2=52) e scriviamo il
risultato sotto la riga
orizzontale. Calcoliamo il
quoziente 368:52=7.
scriviamolo a fianco di 52 e
moltiplichiamo 527 per il
quoziente stesso (7). Infine,
sottraiamo il prodotto
ottenuto da 3689 e otteniamo
così il terzo resto. Riportiamo
7, terza cifra della radice di
fianco a 26.
Algoritmo per l’estrazione della radice
È POSSIBILE CALCOLARE LA RADICE SENZA USARE
L’ALGORITMO DI PRIMA.
Prendiamo un numero a caso
23443654
ha otto cifre, la radice quadrata ne avrà quattro. E' 23 per 10^6 e
radice (25)=5 quindi azzardo una prima stima del tipo.... 5000
Adesso divido il numero iniziale per 5000 e viene (tutte le
calcolatrici hanno le 4 operazioni) 4688
Faccio la media (per far prima, la media aritmetica) con la stima
iniziale e ho una seconda stima 4844 approssimata all'unita'
Divido per la seconda stima e viene 4839 e con altra media
ottengo una terza stima 4842
Toh, la calcolatrice dice che e' 4841.86ecc e non ditemi che i
conti erano difficili....
I numeri irrazionali e la radice quadrata
Fino ad ora ci siamo occupati di numeri decimali limitati o
illimitati periodici, ovvero numeri che possono essere scritti
sotto forma di frazione (numeri razionali) e li abbiamo indicati
con il simbolo Q+, perchè abbiamo considerato solo I numeri
positivi. Esistono, però numeri non periodici, cioè in cui non
esiste un gruppo di cifre che si ripete periodicamente.
Consideriamo il numero
3,010120123012340….
È certamente un numero illimitato non periodico poichè il
numero compreso tra due zeri varia sempre.
Questo numero non può essere scritto sotto forma di frazione
poichè una frazione genera sempre solo numeri decimali finiti o
illimitati periodici o misti. Non è quindi un numero razionale.
I numeri irrazionali e la radice quadrata
Si tratta di un NUMERO IRRAZIONALE
DEF. Un numero decimale illimitato non periodico è un numero
irrazionale.
I numeri irrazionali positivi si indicano con il simbolo I +
L’insieme dei numeri irrazionali positivi e razionali positivi
formano l’insieme dei numeri reali positivi e si indica con
R+
La crisi dei pitagorici
Una sicurezza entra in crisi per colpa della diagonale del
quadrato ... il fatto che questa misura non sia un numero
razionale lasciò i pitagorici sconvolti!
"... Questo semplice quadrato disegnato sul foglio cela un
abisso nel quale sprofondarono varie certezze. S'interrompeva
brutalmente il legame essenziale fra numeri e grandezze, che
garantiva la coerenza dell'universo dei pitagorici, e tutto questo
avveniva in una delle figure base del mondo antico: il quadrato.
Inoltre il colpo era stato inflitto proprio dall'applicazione di due
dei più celebri risultati ottenuti dai pitagorici, il teorema di
Pitagora e la separazione dei numeri interi in pari e dispari...."