Oscillazioni
• Si produce un’oscillazione quando un sistema viene perturbato rispetto
a una posizione di equilibrio stabile
• Caratteristica più evidente del moto oscillatorio è di essere un moto
periodico, ovvero che si ripete con regolarità nel tempo
• Le oscillazioni costituiscono una parte importante del mondo in cui
viviamo. Un esempio famoso e vistoso: oscillazioni indotte dal vento
su di un ponte sul fiume Tacoma, 7 novembre 1940
Moto periodico
Qualunque movimento che si ripeta ad intervalli regolari è definito come
moto periodico.
Il moto periodico è caratterizzato da
• Frequenza f = numero di
oscillazioni compiute in un secondo.
Si misura in Hertz: 1 Hz =1 s−1
• Periodo T = tempo impiegato per
compiere un’oscillazione completa;
T = 1/f .
Moto armonico semplice
Se tendiamo o comprimiamo una molla con una
massa a un estremo e poi la lasciamo andare,
la massa oscillerà avanti e indietro (trascuriamo
gli attriti). Questa oscillazione è chiamata Moto
Armonico (Semplice).
Ad ogni istante: F~ = m~a ma F = −kx da cui
d2 x
ma = m 2 = −kx
dt
ovvero
d2x(t)
k
2
=
−
x(t)
=
−ω
x(t)
2
dt
m
r
k
k
2
, ovvero ω =
(frequenza angolare).
dove si è introdotto ω =
m
m
Dinamica del moto armonico
La soluzione più generale dell’equazione del
d2x(t)
2
moto armonico,
=
−ω
x(t), è
2
dt
x(t) = A cos(ωt + φ) da cui
dx(t)
= −Aω sin(ωt + φ),
v(t) =
dt
d2x(t)
2
2
a(t) =
=
−Aω
cos(ωt
+
φ)
=
−ω
x(t)
2
dt
Periodo dell’oscillazione: T = 2π/ω
Frequenza dell’oscillazione: f = ω/2π.
Ampiezza massima dell’oscillazione: |xmax| = A. Velocità massima:
|vmax| = ωA. Accelerazione massima: |amax| = ω 2A = ω 2|xmax|.
La fase φ e l’ampiezza A sono determinate dalle condizioni iniziali.
Da notare che ω non dipende dall’ampiezza delle oscillazioni!
Moto armonico e moto circolare uniforme
La proiezione su di un asse del moto circolare uniforme su di una
circonferenza di raggio A a velocità angolare ω descrive un moto
armonico
Il moto circolare uniforme su di un piano può essere descritto dal vettore ~r(t):
~r(t) = (x(t), y(t)) = (A cos(ωt + φ), A sin(ωt + φ))
E’ immediato verificare
uniforme:
p che valgono tutte le proprietà del moto circolare
θ(t) = ωt + φ, r = x2(t) + y 2(t) = A, v = ωr (tangenziale), a = ω 2r (centripeta).
Esempio: molla orizzontale
Una massa m = 2 kg attaccata a una molla oscilla
con ampiezza A = 10 cm. A t = 0 la velocità è
massima, e vale v = +2 m/s. Quanto valgono ω e
la costante della molla k ? Qual è la legge del moto?
2m/s
vmax
=
= 20s−1.
vmax = ωA =⇒ ω =
A
10cm
r
k
ω=
=⇒ k = m · ω 2 = 2kg(20s−1)2 = 800N/m
m
x(t) = A cos(ωt + φ),
v(t) = −Aω sin(ωt + φ)
π
Dato che v(0) = −Aω sin φ = −vmax sin φ, deve valere sin φ = −1, ovvero φ = − :
2
π
x(t) = A cos(ωt − ) =⇒ x(t) = A sin(ωt)
2
Notare che servono due condizioni per determinare le due costanti A e φ: per esempio,
ampiezza, velocità a t = 0; o posizione e velocità a t = 0.
Esempio: molla verticale
All’equilibrio, la molla si allunga di una lunghezza y0 data
dalla condizione mg = ky0, ovvero y0 = mg/k.
Se y è misurato a partire dalla posizione di equilibrio,
F = −ky come nel caso della molla orizzontale:
d2 y
F = ma = −ky =⇒ 2 = −ω 2y
dt
p
con ω = k/m. Come nel caso della molla orizzontale, la
soluzione è
y(t) = A cos(ωt + φ)
dove A è l’ampiezza, ω la frequenza angolare (indipendente
dall’ampiezza!), φ una fase.
L’oscillazione avviene intorno al punto di equilibrio (dove la forza risultante è nulla).
v(t) = −Aω sin(ωt + φ),
a(t) = −ω 2 sin(ωt + φ)
Condizioni iniziali
L’ampiezza A e la fase φ di un moto armonico sono determinate dalle condizioni
iniziali. Per esempio:
• x(t = 0) = x0, v(t = 0) = 0
da v(0) = −ωA sin φ = 0 si ottiene φ = 0
da x(0) = A cos φ = x0 si ottiene A = x0:
x(t) = x0 cos ωt
• x(t = 0) = 0, v(t = 0) = v0
da x(0) = A cos φ = 0 si ottiene φ = −π/2
da v(0) = −ωA sin φ = v0 si ottiene A =
v0/ω, da cui infine:
x(t) =
v0
sin ωt
ω
(si è usato cos(θ − π/2) = sin θ)
Energia nel moto armonico
1
1
Energia potenziale nel moto armonico: U = kx2. Cinetica: K = mv 2.
2
2
1 2
Se x(t) = A cos(ωt + φ), U (t) = kA cos2(ωt + φ), K(t) = 21 mω 2A2 sin2(ωt + φ)
2
L’energia meccanica E = K + U non dipende dal tempo (è conservata!):
1 2
1
1 2
2
2
2 2
E = kA cos (ωt + φ) + mω A sin (ωt + φ) = kA
2
2
2
Notare che l’energia meccanica dipende dal quadrato dell’ampiezza di oscillazione.
Moto approssimativamente armonico
L’energia potenziale del moto armonico è una funzione quadratica delle coordinate.
Esistono in natura moltissimi casi di moto ”quasi” armonico, dovuto ad un’energia
potenziale ”approssimativamente” armonica. Esempio: energia potenziale fra due
atomi in una molecola, come H2. Attorno alla posizione di equilibrio x0, vale lo
sviluppo in serie di Taylor:
2 dU 1
2 d U
U (x) ' U (x0)+(x−x0)
+
(x−x
)
+...
0
2
dx x0 2
dx x0
ma in x = x0 vale dU
dx = 0 (equilibrio!); ponendo
x0 = x − x0, U 0 = U − U (x0):
1
U 0(x0) ' U0 + k 0x02,
2
2
d U 0
k =
dx2 x0
Dato che F = −dU (x)/dx, un potenziale quadratico produce forze lineari in x.
Il pendolo semplice
Il pendolo semplice è un altro esempio notevole di moto approssimativamente armonico.
Soluzione con le forze (lungo l’arco):
F = ma = mLα = −mg sin θ
Con i momenti (rispetto al punto di oscillazione):
τ = Iα = −mgL sin θ
Dato che I = mL2 si ottiene la stessa equazione.
mgL
Per piccole oscillazioni: sin θ ' θ, da cui α = −
θ ovvero:
I
r
r
mgL
g
α = −ω 2θ , dove ω =
=
. Il pendolo oscilla quindi con periodo
I
L
2π
T = , indipendente dall’ ampiezza delle oscillazioni, nel limite di piccole oscillazioni.
ω
Il pendolo semplice II
Soluzione con la conservazione dell’energia:
1 2
E = K + U = mv + mgL(1 − cos θ)
2
(assumendo U = 0 nel punto più basso) da cui
1
dθ
E= m L
2
dt
2
+ mgL(1 − cos θ) ⇒
dE
=0
dt
2
θ
dθ
d2 θ g
mL
+ mgL sin θ = 0 ⇒ 2 + sin θ = 0
dt dt2
dt
dt
L
2 dθ d
Ricordando che α = d2θ/dt2 e assumendo la validità dell’approssimazione sin θ ' θ,
si riottiene l’equazione del moto armonico come in precedenza. Soluzione generale:
θ(t) = A cos(ωt + θ0).
dθ
dθ
Attenzione!
= −ωA sin(ωt + θ0) 6= ω! ω è una costante,
no (oscilla)!
dt
dt
Il pendolo fisico (o reale)
Solido
ruotare
di forma
attorno a
arbitraria,
un asse
di
fisso
massa M ,
diverso dal
appeso e
suo centro
libero di
di massa.
Scriviamo l’equazione del moto rotatorio. Assumiamo
I =momento d’inerzia per rotazioni attorno ad O.
Iα = τ = −M gd sin θ
dove d è la distanza fra O e il centro di massa (ricordare
che il momento della forza peso è lo stesso che se tutta la
massa fosse concentrata nel centro di massa)
Notare che questa è l’equazione del moto di un pendolo di lunghezza d già trovata in
precedenza. Per piccole oscillazioni:
r
M gd
2
Iα ' −M gdθ ⇒ α = −ω θ,
ω=
I
q
I
Di nuovo, siamo in presenza di oscillazioni armoniche di periodo T = 2π
ω = 2π
M gd
Quiz
• In quale caso la frequenza di oscillazione è maggiore?
Oscillazione smorzate
Consideriamo di nuovo una molla in presenza di forze di attrito o di resistenza.
Per esempio, una molla che oscilla in un liquido viscoso, con forza
di resistenza propozionale alla velocità:
ma = −ky − bv
⇒
d2 y
dy
m 2 = −ky − b
dt
dt
Questa è un’equazione differenziale non del tutto banale
Nel caso in cui la forza di resistenza è piccola rispetto
alla forza armonica, ovvero se b è piccolo, la soluzione
ha la forma:
b t
− 2m
y(t) = Ae
dove ω vale
r
ω=
cos(ωt + φ)
k
b2
−
m 4m2
Oscillazione forzate
Consideriamo ora una molla in presenza di forze di attrito o di resistenza e di una forza
esterna oscillante. Assumiamo che la forza esterna abbia la forma F (t) = f0 cos ω0t.
L’equazione del moto diventa
ma = −ky − bv + f0 cos ω0t
⇒
d2 y
dy
m 2 = −ky − b + f0 cos ω0t.
dt
dt
La soluzione di questa equazione è un po’ complessa. In generale possiamo dire che:
Il moto è oscillatorio con frequenza angolare ω0
e con ampiezza che cresce se ω0 si avvicina a
ω. Se lo smorzamento b è piccolo, l’ampiezza
di oscillazione diventa molto grande per ω0 ' ω,
ovvero quando la frequenza di oscillazione della forza
esterna è prossima ad una freqeunza di vibrazione
interna. Questo fenomeno si chiama risonanza ed è
caratterizzato da un forte trasferimento di energia al
sistema oscillante.
Le immagini all’inizio di queste trasparenze mostrano di cosa sono capaci le risonanze!
